1、121 复数的加法与减法学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念知识点 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a bi)(c di)( ac)( bd)i.梳理 (1)运算法则设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，那么( a bi)( c di)( a c)( b d)i，( a bi)( c di)( a c)( b d)i.(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3C，有
2、z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)1在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部( )2复数的加、减法满足交换律和结合律( )类型一 复数的加法、减法运算例 1 (1)若 z12i， z23 ai(aR)，复数 z1 z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数 z 满足| z|i z13i，则 z_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)1 (2)1 i43解析 (1) z1 z2(2i)(3 ai)5( a1)i，由题意得 a10，则 a1.(2)设 z x yi(x， yR)，则| z| ，x2 y22| z
3、|i z i x yi x( y)ix2 y2 x2 y213i，Error! 解得Error! z1 i.43反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有| z|与 z 时，一般用待定系数法，设 z x yi(x， yR)跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 zi33i，则 z_.(2)(a bi)(2 a3 bi)3i_( a， bR)(3)已知复数 z 满足| z| z1i，则 z_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)62i (2) a(4 b3)i (3)i解析 (1) zi33i， z62i.(2)(a
4、 bi)(2 a3 bi)3i( a2 a)( b3 b3)i a(4 b3)i.(3)设 z x yi(x， yR)，| z| ，x2 y2| z| z( x) yi1i，x2 y2Error! 解得Error! zi.类型二 复数加、减法的应用例 2 (1)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O， A， C 对应的复数分别为0，32i，24i.求： 表示的复数； 表示的复数； 表示的复数AO CA OB 解 因为 A， C 对应的复数分别为 32i，24i，由复数的几何意义知， 与 表示的复数分别为 32i，24i.OA OC 因为 ，所以 表示的复数为32i.AO OA AO 因为
5、，CA OA OC 所以 表示的复数为(32i)(24i)52i.CA 3 ，OB OA OC 所以 表示的复数为(32i)(24i)16i.OB (2)已知 z1， z2C，| z1| z2|1，| z1 z2| ，求| z1 z2|.3解 根据复数加减法的几何意义，由| z1| z2|知，以 ， 为邻边的平行四边形 OACB 是OA OB 菱形如图， 对应的复数为 z1， 对应的复数为 z2，OA OB | | |， 对应的复数为 z1 z2，| | .OA OB OC OC 3在 AOC 中，| | |1，| | ，OA AC OC 3 AOC30.同理得 BOC30， OAB 为等边三
6、角形，则| |1， 对应的复数为 z1 z2，| z1 z2|1.BA BA 引申探究 若将本例(2)中的条件“| z1 z2| ”改为“| z1 z2|1” ，求| z1 z2|.3解 如例 2(2)解析中的图，向量 表示的复数为 z1 z2，| |1，BA BA 则 AOB 为等边三角形， AOC30.取 AB 与 OC 的交点为 D，则| | ，| | ，而 表示的复数为 z1 z2，OD 32 OC 3 OC | z1 z2| .3反思与感悟 (1)技巧：形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用
7、于几何之中(2)常见结论：在复平面内， z1， z2对应的点分别为 A， B， z1 z2对应的点为 C， O 为坐标原点，则四边形： OACB 为平行四边形；若| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为矩形；若| z1| z2|，则四边形 OACB 为菱形；4若| z1| z2|且| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为正方形跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量 ， 表示的复数分别是2i,32i，则OA AB | |_.OB (2)若 z12i， z23 ai，复数 z2 z1所对应的点在第四象限上，则实数 a 的取值范围是_答案 (1) (2)(，1)10解
8、析 (1) ，OB OA AB 表示的复数为(2i)(32i)13i，OB | | .OB 12 32 10(2)z2 z11( a1)i，由题意知 a10，即 a1.1已知复数 z1 i 和复数 z2cos60isin60，则 z1 z2等于( )12 32A1 B1C. i D. i12 32 12 32答案 A解析 z2 i， z1 z21.12 322设 z134i， z223i，则 z1 z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 z1 z257i， z1 z2在复平面内对应的点位于第四象限3在复平面内， O 是原点， ， ， 表示的复数
9、分别为2i，32i,15i，则 表示的OA OC AB BC 复数为( )A28i B66iC44i D42i5答案 C解析 ( )44i.BC OC OB OC AB OA 4已知复数 z1( a22)( a4)i， z2 a( a22)i( aR)，且 z1 z2为纯虚数，则a_.答案 1解析 z1 z2( a2 a2)( a4 a22)i( aR)为纯虚数，Error!解得 a1.5设平行四边形 ABCD 在复平面内， A 为原点， B， D 两点对应的复数分别是 32i 和24i，则点 C 对应的复数是_答案 52i解析 设 AC 与 BD 的交点为 E，则 E 点坐标为 ，设点 C
10、坐标为( x， y)，则(52， 1)x5， y2，故点 C 对应的复数为 52i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则一、选择题1实数 x， y 满足 z1 y xi， z2 yi x，且 z1 z22，则 xy 的值是( )A1 B2C2 D1答案 A解析 z1 z2( y x)( x y)i2，即Error! x y1，则 xy1.2已知复数 z1( a22)3 ai， z2 a( a22)i，若 z1 z2是纯虚数，则实数 a 的值为( )A1 B2C2 D2 或
11、1答案 C解析 z1 z2( a2 a2)( a23 a2)i，由题意知Error! 解得 a2.3设复数 z 满足关系式 z| z|2i，则 z 等于( )6A i B. i34 34C i D. i34 34答案 D解析 设 z a bi(a， bR)，则 z| z|( a ) bi2i，a2 b2则Error! 解得Error! z i.344设 f(z)| z|， z134i， z22i，则 f(z1 z2)等于( )A. B510 5C. D52 2答案 D解析 z1 z255i， f(z1 z2)| z1 z2|5 .25在复平面内点 A， B， C 所对应的复数分别为 13i，i
12、，2i，若 ，则点 D 表示AD BC 的复数是( )A13i B3iC35i D53i答案 C解析 点 A， B， C 对应的复数分别为 13i，i,2i， 对应的复数为 22i.设 D(x， y)，BC ，( x1， y3)(2,2)，AD BC Error! 解得Error!点 D 表示的复数为 35i.6已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z1 所对应的向量正确的是( )答案 A解析 由图知 z2i，则 z11i，由复数的几何意义可知，A 正确7复数 z11icos ， z2sin i，则| z1 z2|的最大值为( )7A32 B. 12 2C32 D. 12 2答案 D解析
13、| z1 z2|(1sin )(cos 1)i| 1 sin 2 1 cos 2 3 2cos sin .3 22cos( 4) max1，|cos( 4)| z1 z2|max 1.3 22 2二、填空题8计算(55i)(2i)(34i)_.答案 10i解析 (55i)(2i)(34i)(523)(514)i10i.9已知 x， yR，i 为虚数单位，( x2)i3 y1i，则 x y( x y)i_.答案 13i解析 依据复数相等的条件，得到Error!即Error! 所以 x y( x y)i13i.10若复数 z 满足 z| z|34i，则 z_.答案 4i76解析 设 z a bi(
14、a， bR) z| z|34i， a bi 34i，a2 b2Error! 解得Error! z 4i.7611已知 z1(3 x y)( y4 x)i(x， yR)， z2(4 y2 x)(5 x3 y)i(x， yR)设z z1 z2，且 z132i，则 z1_， z2_.答案 59i 87i解析 z z1 z2(3 x y4 y2 x)( y4 x5 x3 y)i(5 x3 y)( x4 y)i132i，Error! 解得Error! z159i， z287i.三、解答题812计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解 (1)(12i)(34i)(56i
15、)(135)(246)i18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.13设 mR，复数 z1 ( m15)i， z22 m(m3)i，若 z1 z2是虚数，求 m 的m2 mm 2取值范围解 z1 ( m15)i， z22 m(m3)i，m2 mm 2 z1 z2 ( m15) m(m3)i(m2 mm 2 2) ( m22 m15)i.m2 m 4m 2 z1 z2为虚数， m22 m150 且 m2，解得 m5， m3 且 m2( mR)四、探究与拓展14已知复数( x2) yi(x， yR)的模为 ，则 的最大值为_3yx答案 3解析 | x2 yi| ，3( x2) 2
16、y23，故( x， y)在以 C(2,0)为圆心， 为半3径的圆上， 表示圆上的点( x， y)与原点连线的斜率yx如图，由平面几何知识易知， 的最大值为 .yx 315已知复平面内平行四边形 ABCD， A 点对应的复数为 2i，向量 对应的复数为 12i，BA 向量 对应的复数为 3i，求：BC (1)点 C， D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积9解 (1)因为向量 对应的复数为 12i，向量 对应的复数为 3i，BA BC 所以向量 对应的复数为(3i)(12i)23i.AC 又 ，OC OA AC 所以点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i.因为 ，AD BC 所以向量 对应的复数为 3i，AD 即 (3，1)AD 设 D(x， y)，则 ( x2， y1)(3，1)，AD 所以Error! 解得Error!所以点 D 对应的复数为 5.(2)因为 | | |cosB，BA BC BA BC 所以 cosB .BA BC |BA |BC | 3 2510 210所以 sinB .7210所以 S| | |sinB 7，BA BC 5 10 7210所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.
