1、1一 平面直角坐标系学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.知识点一 平面直角坐标系思考 1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？答案 直角坐标系；在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.思考 2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？答案 建立平面直角坐标系；通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中心为图形的
2、顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.梳理 (1)平面直角坐标系的概念定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.相关概念：数轴的正方向：水平放置的数轴向右的方向、竖直放置的数轴向上的方向分别是数轴的正方向.x 轴或横轴：坐标轴水平的数轴.y 轴或纵轴：坐标轴竖直的数轴.坐标原点：坐标轴的公共点 O.对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对( x， y)之间一一对应.(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻
3、译成几何结论.知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换思考 1 如何由 ysin x 的图象得到 y3sin2 x 的图象？答案 ysin x ysin2 x 横 坐 标 缩 为 原 来 的 12 纵 坐 标 不 变y3sin2 x. 纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 3倍 横 坐 标 不 变2思考 2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数方法研究
4、几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x， y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 ：Error! 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x， y)，称_ _为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.类型一 坐标法的应用命题角度 1 研究几何问题例 1 已知 ABC 中， AB AC， BD， CE 分别为两腰上的高，求证： BD CE.证明 如图，以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.设 B( a,0)， C(a,0)， A(0， h).则直线 AC 的方程为 y x h，ha即 hx ay ah0.直线 AB 的方程
5、为 y x h，ha即 hx ay ah0.由点到直线的距离公式，得|BD| ，| CE| .|2ah|a2 h2 |2ah|a2 h2| BD| CE|，即 BD CE.反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，选对称中心为原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.跟踪训练 1 在 ABCD 中，求证：| AC|2| BD|22(| AB|2| AD|2).3证明 如图，以 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系.设 B(a，0)， C(b， c)，则 AC 的中心 E ，(b2， c
6、2)由对称性知 D(b a， c)，所以| AB|2 a2，| AD|2( b a)2 c2，|AC|2 b2 c2，| BD|2( b2 a)2 c2，|AC|2| BD|24 a22 b22 c24 ab2(2 a2 b2 c22 ab)，|AB|2| AD|22 a2 b2 c22 ab，所以| AC|2| BD|22(| AB|2| AD|2).命题角度 2 求轨迹方程例 2 如图，圆 O1与圆 O2的半径都是 1，| O1O2|4，过动点 P 分别作圆 O1，圆 O2的切线PM， PN(M， N 分别为切点)，使得| PM| |PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹2方程.
7、解 如图，以直线 O1O2为 x 轴，线段 O1O2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则O1(2,0)， O2(2,0).设 P(x， y)，则|PM|2| O1P|2| O1M|2( x2) 2 y21，|PN|2| O2P|2| O2N|2( x2) 2 y21.| PM| |PN|，| PM|22| PN|2，2( x2) 2 y212( x2) 2 y21，即 x212 x y230，即( x6) 2 y233.动点 P 的轨迹方程为( x6) 2 y233.4反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：尽量把点和线段放在坐标轴上；对称中心一般放在原点；对称轴一般作为坐标轴.跟踪训
8、练 2 在 ABC 中， B(3,0)， C(3,0)，直线 AB， AC 的斜率之积为 ，求顶点 A 的轨49迹方程.解 设 A(x， y)，则 kAB ， kAC (x3).yx 3 yx 3由 kABkAC ，化简可得 1，yx 3 yx 3 49 x29 y24所以顶点 A 的轨迹方程为 1( x3).x29 y24类型二 伸缩变换例 3 求圆 x2 y21 经过 ：Error!变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形状.解 Error! Error!把 x， y 代入方程 x2 y21，得 1.x 29 y 216即所求新曲线的方程为 1.x29 y216新曲线是以长轴为 8，短轴
9、为 6，焦点在 y 轴上的椭圆.引申探究1.若曲线 C 经过Error!变换后得到圆 x2 y21，求曲线 C 的方程.解 曲线 C 经过Error!变换后得到的圆为 x2 y21.( x， y)满足 x2 y21，即 x 2 y 21. 2 21，(12x) (13y) 1 即为曲线 C 的方程.x24 y292.若圆 x2 y21 经过变换 后得到曲线 C： 1，求 的坐标变换公式.x225 y216解 设 ：Error!Error!代入 x2 y21，得 1.x 2 2 y 2 2曲线 C的方程为 1.x2 2 y2 2又已知曲线 C的方程为 1，x225 y216Error! Erro
10、r! ：Error!5反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.跟踪训练 3 在同一直角坐标系中，将直线 x2 y2 变成直线 2x y4，求满足条件的伸缩变换.解 设满足条件的伸缩变换为Error!将其代入方程 2x y4，得 2x y 4，与x2 y2 比较，将其变成 2x4 y4.比较系数
11、得 1， 4.所以Error! 直线 x2 y2 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2x y4.1.在同一平面直角坐标系中，将曲线 y3sin2 x 变为曲线 ysin x的伸缩变换是( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!答案 B2.在同一平面直角坐标系中，曲线 y3sin2 x 经过伸缩变换Error!后，所得曲线为( )A.ysin x B.y9sin4 xC.ysin4 x D.y9sin x答案 D解析 伸缩变换Error!Error!代入 y3sin2 x，可得 y3sin x，13即 y9sin x.故选 D.3.已
12、知 ABCD 中三个顶点 A， B， C 的坐标分别是(1,2)，(3,0)，(5,1)，则点 D 的坐标是( )A.(9，1) B.(3,1)C.(1,3) D.(2,2)答案 C解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点 D 的坐标.设 D(x， y)，则Error! 即Error!解得Error!故点 D 的坐标为(1,3).4.在 ABC 中， B(2,0)， C(2,0)， ABC 的周长为 10，则 A 点的轨迹方程为_.6答案 1( y0)x29 y25解析 ABC 的周长为 10，| AB| AC| BC|10，而|BC|4，| AB| AC|64. A 点的轨迹为除
13、去长轴两顶点的椭圆，且2a6，2 c4. a3， c2， b2 a2 c25. A 点的轨迹方程为 1( y0).x29 y255.用解析法证明：若 C 是以 AB 为直径的圆上的任意一点(异于 A， B)，则 AC BC.证明 设 AB2 r，线段 AB 的中心为 O，以线段 AB 所在的直线为 x 轴， O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆 O 的方程为 x2 y2 r2.设 A( r，0)， B(r，0)， C(x， y)，则 kAC ， kBC ，则 kACkBC ，yx r yx r yx r yx r y2x2 r2又 x2 y2 r2，所以 y2 r2 x2，所以 kACkBC
14、 1，r2 x2x2 r2所以 AC BC.1.平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征.2.伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.一、选择题1.如图所示是永州市几个主要景点示意图的一部分，如果用(0,1)表示九嶷山的中心位置点C，用(2,0)表示盘王殿的中心位置点 A，则千家峒的中心位置点 B 表示为( )A.(3,1) B.(1，3)C.(1，3) D.
15、(3，1)7答案 A解析 根据题意建立平面直角坐标系，由坐标系可知，千家峒的中心位置点 B 表示为(3,1).故选 A.2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线 C 变为曲线 2x 28 y 20，则曲线 C 的方程为( )A.25x236 y20 B.9x2100 y20C.10x24 y0 D. x2 y20225 89答案 A3.在平面直角坐标系中，方程 3x2 y10 所对应的直线经过伸缩变换Error!后的直线方程为( )A.3x4 y10 B.3x y10C.9x y10 D.x4 y10答案 C4.在直角坐标系中，点 A(2，3)关于直线 x y10 对称的点
16、是( )A.(2,1) B.(2，1)C.(1，2) D.(2，1)答案 A解析 设点 A 关于直线 x y10 对称的点为 B(m， n)，则 AB 的中心为 M ，(m 22 ， n 32 )因为点 M 在直线 x y10 上，直线 AB 与直线 x y10 垂直，所以Error!解得 Error!故点 A 关于直线 x y10 对称的点为(2,1)，故选 A.5.直角坐标系中到两坐标轴的距离之差等于 1 的点的轨迹方程是( )A.|x| y|1 B.|x y|1C.|x| y|1 D.|xy|1答案 C6.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(1,0)， B(1,0)， C(1,1)，
17、 D(1,1)，四边形 ABCD 在伸缩变换Error!( a0)的作用下变成正方形，则 a 的值为( )A.1B.2C. D.12 23答案 C解析 如图，8由矩形 ABCD 变为正方形 A B C D，已知 y y，边长为 1， AB 的长由 2 缩为原来的一半， x x， a .12 12二、填空题7.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线 C 变为曲线 x 29 y 29，则曲线 C 的方程是_.答案 x2 y21解析 将Error!代入 x 29 y 29，得 x2 y21.曲线 C 的方程为 x2 y21.8.若点 P(2016,2017)经过伸缩变换Error!
18、后的点在曲线 x y k 上，则 k_.答案 1解析 P(2016,2017)经过伸缩变换Error!得Error! 代入 x y k，得 k x y1.9.可以将椭圆 1 变为圆 x2 y24 的伸缩变换为_.x210 y28答案 Error!解析 将椭圆方程 1，化为 4，x210 y28 2x25 y22 2 24.令Error!(2x5) (y2)得 x 2 y 24，即 x2 y24.伸缩变换Error!为所求.10.已知平面内有一固定线段 AB 且| AB|4，动点 P 满足| PA| PB|3， O 为 AB 中点，则|PO|的最小值为_.答案 32解析 以 AB 为 x 轴，
19、O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点 P 的轨迹是以 AB 为实轴的双曲线的一支.其中 a ，故| PO|的最小值为 .32 32三、解答题11.求证等腰梯形对角线相等.已知：等腰梯形 ABCD，求证： AC BD.证明 取 B， C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系.9设 A( a， h)， B( b,0)，则 D(a， h)， C(b,0).| AC| ，| BD| .b a2 h2 a b2 h2| AC| BD|，即等腰梯形 ABCD 中， AC BD.12.已知一条长为 6 的线段两端点 A， B 分别在 x 轴， y 轴上滑动，点 M
20、 在线段 AB 上，且AM MB12，求动点 M 的轨迹方程.解 设 A(a,0)， B(0， b)， M(x， y)，| AB|6， a2 b236. AM MB12，2 .AM MB 又 ( x a， y)， ( x， b y)，AM MB Error! Error!将式代入式，化简可得 1.x216 y2413.在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图象经过伸缩变换Error!后的图象形状.(1)y22 x；(2)x2 y21.解 由伸缩变换Error!可知Error!(1)将Error! 代入 y22 x，可得 4y 26 x，即 y 2 x.32故经过伸缩变换后的图象还是抛物线.
21、(2)将Error! 代入 x2 y21，得(3 x) 2(2 y) 21，即 1.x 219y 214故经过伸缩变换后的图象为焦点在 y 轴上的椭圆.四、探究与拓展14.已知函数 f(x) ，则 f(x)的最小值为_.x 12 1 x 12 1答案 2 2解析 f(x)可看作是平面直角坐标系下 x 轴上一点( x,0)到两定点(1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得， f(x)的最小值为 2 .21015.已知椭圆 C： 1， P， Q 为椭圆 C 上的两点， O 为原点，直线 OP， OQ 的斜率的乘x216 y24积为 ，求| OP|2| OQ|2的值.14解 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， OP， OQ 的斜率为 k1， k2，则 k1k2y1y2x1x2 ，1416 x211416 x2x1x2 14 x 16 x .2 21又| OP|2| OQ|2 x y x y21 21 2 2 x x 20，21 (414x21) 2 (4 14x2)| OP|2| OQ|2的值为 20.
