1、第二章测评 B(高考体验卷)(时间:90 分钟 满分:100 分)第 卷( 选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014山东高考 )用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程 x3+ax+b=0 没有实根B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程 x3+ax+b=0 没
2、有实根.答案:A2.(2014北京高考 )学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“ 合格”“不合格” .若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好 ”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人解析:用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得 A 的学生最多只有一人,语文成绩得 B 的也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条
3、件,故学生最多为 3 人.答案:B3.(2014湖北高考 )算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖 ”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )A. B. C. D.解析:由题意可知:L=2r,即 r=,圆锥体积 V=Sh=r2h=h=L2hL2h,故, 故选 B.答案:B来源:学优高考网4.(2013广东高考 )设 l
4、 为直线, 是两个不同的平面.下列命题中正确的是 ( )A.若 l,l,则 B.若 l ,l,则 C.若 l ,l,则 D.若 ,l ,则 l解析:如图,在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,对于 A,设 l 为 AA1,平面 B1BCC1,平面 DCC1D1 为 ,.A1A 平面 B1BCC1,A1A平面 DCC1D1,而平面 B1BCC1平面 DCC1D1=C1C;对于 C,设 l 为 A1A,平面 ABCD 为 ,平面 DCC1D1 为 .A1A平面 ABCD,A1A平面 DCC1D1,而平面 ABCD平面 DCC1D1=DC;来源:学优高考网 gkstk对于 D,设平面 A1ABB
5、1 为 ,平面 ABCD 为 ,直线 l 为 D1C1,平面 A1ABB1平面 ABCD,D1C1平面 A1ABB1,而 D1C1 平面 ABCD.故 A,C,D 都是错误的.而对于 B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知 B 正确.答案:B5.(2013辽宁高考 )已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB 为直角三角形 ,则必有( )A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析:若OBA 为直角,则= 0,即 a2+(a3-b)a3=0,又 a0,故 b=a3+;若OAB 为直角时 ,则= 0,即 b(a3-b)=0,得 b=a3;若AOB 为
6、直角 ,则不可能.所以 b-a3-=0 或 b-a3=0,故选 C.答案:C6.(2013浙江高考 )设 a,bR,定义运算 “”和“ ”如下:ab=ab=若正数 a,b,c,d 满足 ab4,c+d4,则( )A.ab2,cd2 B.ab2,cd2C.ab2,c d2 D.ab2,cd2解析:由题意知,运算“” 为两数中取小,运算“” 为两数中取大,由 ab4 知,正数 a,b 中至少有一个大于等于 2.由 c+d4 知,c ,d 中至少有一个小于等于 2,故选 C.答案:C7.(2013陕西高考 )设x表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,有( )A.-x=-x B.=xC.2x=
7、2x D.x+=2x来源:学优高考网 gkstk解析:令 x=1.1,-1.1=-2,而-1.1 =-1,所以 A 错;令 x=-=0,=-1,所以 B 错;令 x=0.5,2x=1,2x=0,所以 C 错;故选 D.答案:D8.(2013四川高考 )设函数 f(x)=(aR,e 为自然对数的底数),若存在 b0,1使 f(f(b)=b 成立,则 a 的取值范围是( )A.1,e B.1,1+eC.e,1+e D.0,1解析:当 a=0 时,f (x)=为增函数, b0,1时,f(b)1, . f(f(b) 1. 不存在 b0,1 使 f(f(b)=b 成立 ,故 D 错;当 a=e+1 时,
8、f( x)=,当 b0,1时,只有 b=1 时,f (x)才有意义,而 f(1)=0, f(f(1)=f(0),显然无意义,故 B,C 错.故选 A.答案:A9.(2012浙江高考 )设 a0,b0,e 是自然对数的底数,( )A.若 ea+2a=eb+3b,则 abB.若 ea+2a=eb+3b,则 abD.若 ea-2a=eb-3b,则 ab.故选 A.答案:A10.(2012江西高考 )观察下列事实:|x|+|y|= 1 的不同整数解(x ,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x ,y)的个数为8,|x|+|y|=3 的不同整数解 (x,y)的个数为 12,则|x|+|y
9、|=20 的不同整数解(x,y )的个数为( )A.76 B.80 C.86 D.92解析:由已知条件得,|x|+|y|=n(nN *)的不同整数解( x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y|= 20 的不同整数解(x ,y)的个数为80,故选 B.答案:B第 卷( 非选择题 共 70 分)二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)11.(2014陕西高考 )观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 . 解析:因为 5+6-
10、9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想 F+V-E=2.答案:F+V-E=212.(2014课标全国 高考) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;乙说:我没去过 C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 . 解析:根据甲、乙、丙说的可列表得ABC甲 乙 丙 答案:A13.(2015山东高考 )观察下列各式:=40;=41;=42;=43;照此规律,当 nN *时,+= . 解析:观察各式有如下规律:等号左侧第 n 个式子有 n 项,且上标分别为 0,1,2,n-1,第 n 行每项的下标均为
11、2n-1.等号右侧指数规律为 0,1,2,n-1.所以第 n 个式子为+=4 n-1.答案:4 n-114.(2014陕西高考 )已知 f(x)=,x 0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN *,则 f2 014(x)的表达式为 . 解析:依题意,f 1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=f,f3(x)=f(f2(x)=f,由此可猜测 fn(x)=,故 f2 014(x)=.答案:15.(2015福建高考 )一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(nN *),其中 xk(k=1,2,n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信
12、过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0).已知某种二元码 x1x2x7 的码元满足如下校验方程组: 其中运算 定义为:0 0=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 . 解析:若 1k3,则 x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足 x4x5x6x7=0;若 k=4,则二元码为 1100101,不满足 x1x3x5x7=0;若 k=5,则二元码为 1101001,满足方程组,故 k=5.答案:5三、解答题(本大题共 5 小题 ,共 50 分
13、.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题 8 分)(2015安徽高考)设 nN *,xn 是曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标.(1)求数列x n的通项公式;(2)记 Tn=,证明:T n.(1)解:y=(x 2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线斜率为 2n+2,从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1).令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1-.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知Tn=.当 n=1 时,T 1=.当 n2 时,因为,所以 Tn.综上可得对任意的
14、nN *,均有 Tn.17.(本小题 8 分)(2014山东高考)在等差数列a n中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求 Tn.解:(1)由题意知(a 1+d)2=a1(a1+3d),即(a 1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2,所以数列a n的通项公式为 an=2n.(2)由题意知 bn=n(n+1),所以 Tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1).因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-
15、bn-1+bn)=4+8+12+2n=,当 n 为奇数时,T n=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.所以 Tn=18.(本小题 10 分)(2014北京高考)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA 1=AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.(1)求证:平面 ABE平面 B1BCC1;(2)求证:C 1F平面 ABE;(3)求三棱锥 E-ABC 的体积.(1)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB 1底面 ABC.所以 BB1AB.又因为 ABBC ,所以 AB平面 B1BCC1.所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证
16、明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG.因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点,所以 FGAC,且 FG=AC.因为 ACA 1C1,且 AC=A1C1,所以 FGEC 1,且 FG=EC1.所以四边形 FGEC1 为平行四边形 .所以 C1FEG.又因为 EG平面 ABE,C1F平面 ABE,所以 C1F平面 ABE.(3)解:因为 AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以 AB=.所以三棱锥 E-ABC 的体积 V=SABC AA1=12=.19.(本小题 12 分)(2015江苏高考)已知集合 X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN *),设 Sn=(a,b)|a 整除
17、b 或 b 整除a,aX,bY n.令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数.(1)写出 f(6)的值;(2)当 n6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)f(6)=13.(2)当 n6 时,f(n )=(tN *).下面用数学归纳法证明: 当 n=6 时,f(6)=6+ 2+=13,结论成立 ; 假设 n=k(k6)时结论成立,那么 n=k+1 时,S k+1 在 Sk 的基础上新增加的元素在 (1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+3=(k+1)+
18、2+,结论成立;2)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立;3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立
19、.综上所述,结论对满足 n6 的自然数 n 均成立.20.(本小题 12 分)(2015陕西高考)设 fn(x)是等比数列 1,x,x2,xn 的各项和,其中 x0,nN,n2.(1)证明:函数 Fn(x)=fn(x)-2 在内有且仅有一个零点(记为 xn),且 xn=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为 gn(x),比较 fn(x)和 gn(x)的大小,并加以证明.(1)证明:F n(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2,则 Fn(1)=n-10,Fn=1+-2=-2=-0,故 Fn(x)在内单调递增,所以 Fn(x)在内有且仅有一个零点 x
20、n.因为 xn 是 Fn(x)的零点,所以 Fn(xn)=0,即-2= 0,故 xn=.(2)解法一:由假设,g n(x)=.来源 :学优高考网 gkstk设 h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+xn-,x0.当 x=1 时,f n(x)=gn(x).当 x1 时,h( x)=1+2x+nxn-1-.若 0xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.若 x1,h(x)0.当 x=1 时,f n(x)=gn(x).当 x1 时,用数学归纳法可以证明 fn(x)0),则 hk(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1).所以,当
21、 01 时,h k(x)0,hk(x)在(1,+)上递增.所以 hk(x)hk(1)=0,从而 gk+1(x).故 fk+1(x)0(2kn),当 x=1 时,a k=bk,所以 fn(x)=gn(x).当 x1 时,m k(x)=nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xn-k+1-1).而 2kn,所以 k-10,n-k+11 .若 01,xn-k+11,mk(x)0,从而 mk(x)在(0,1) 上递减,在(1, +)上递增,所以 mk(x)mk(1)=0.所以当 m0 且 m1 时,a kbk(2 kn),又 a1=b1,an+1=bn+1,故 fn(x)gn(x).综上所述,当 x=1 时,f n(x)=gn(x);当 x1 时,f n(x)gn(x).
