1、第三章 单元综合检测(二)(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中， 等于( )AB BC CC1 D1C1 A. B.AD1 AC1 C. D.AD AB 解析： .AB BC CC1 D1C1 AC1 C1D1 AD1 答案：A 2若向量 a，b 是平面 内的两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则ca0 且 bc 0 是 l 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：用向量的数量积考查线线垂直与线面垂直当 ab 时，由 ca0 且
2、 cb0 得不出 l ；反之，由 l 一定有 ca0 且 cb0，故选 B.答案：B 32013山东省济宁市质检 已知向量 a(2，3,5)与 b(4 ，x，y)平行，则 x，y 的值分别为( )A. 6 和10 B. 6 和 10C. 6 和10 D. 6 和 10解析：本题主要考查空间两向量平行的坐标表示因为向量 a(2，3,5) 与b(4， x，y) 平行，所以 ，解得 x6，y10，故选 B.42 x 3 y5答案：B 42013四川省成都七中期末考试 已知直线 l 过点 P(1,0，1)，平行于向量a(2,1,1)，平面 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则平面 的法向量不可能是(
3、 )A. (1，4,2) B. ( ，1， )14 12C. ( ，1， ) D. (0， 1,1)14 12解析：本题主要考查平面的法向量因为 (0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是PM 平面 的法向量，则必须满足Error!，把选项代入验证，只有选项 D 不满足，故选 D.答案：D 5已知 a(cos，1，sin )，b(sin，1，cos) ，则向量 ab 与 ab 的夹角是( )A90 B60C30 D0解析：因为|a| |b|，所以(ab)(ab)a 2b 2|a| 2|b| 20，则(ab)( ab)答案：A 6如右图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是
4、边长为 1 的正方形，S 到A、B 、C 、D 的距离都等于 2.给出以下结论： 0；SA SB SC SD 0；SA SB SC SD 0；SA SB SC SD ；SA SB SC SD 0，SA SC 其中正确结论的个数是( )A1 B2C3 D4解析：因为 0，所以正确；又因为底面 ABCD 是边长SA SB SC SD BA DC 为 1 的正方形，SASBSC SD2，所以 22 cosASB ， 22cosCSD，而 ASBCSD，于是 SA SB SC SD SA SB ，因此正确，其余三个都不正确SC SD 答案：B 7空间四边形 ABCD 的各边及对角线长均为 1，E 是
5、BC 的中点，则( )A. AE BC AE CD D. 与 不能比较大小AE BC AE CD 解析：如右图，易证 AEBC，故 0，取 BD 中点 F，连接AE BC EF， AF，则 EFCD.在AEF 中，AEAF ，EF ，得AEF 是32 12锐角，所以 ， 是钝角，即 ， 是钝角，所以 0，AE EF AE CD AE CD 故选 C.答案：C 8在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 BB1、B 1C1 的中点，若CMN 90，则异面直线 AD1 与 DM 所成的角为( )A30 B45C60 D90解析：建立如图所示坐标系设 ABa，ADb，AA 1c，则
6、A1(b,0,0)，A (b,0，c )，C 1(0，a,0) ，C (0，a，c )，B 1(b，a,0)，D(0,0，c) ，N ，M(b2，a，0).(b，a，c2)CMN90 ， ，CM MN b2 c20，c b.CM MN (b，0， c2)( b2，0， c2) 12 14 2 ( b，0， b) b 2b 2 0，AD1 DM 2 (b，a， 22b)AD 1DM ，即异面直线 AD1 与 DM 所成的角为 90.答案：D 92014陕西省高新一中期末考试 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA 1B1C1D1，AB 1，BC2，AA 13，则点 B 到直线 A1C 的距离
7、为( )A. B. 27 2357C. D. 1357解析：本题主要考查空间点到直线的距离过点 B 作 BE 垂直 A1C，垂足为 E，设点E 的坐标为 (x，y ，z)，则 A1(0,0,3)，B(1,0,0) ，C (1,2,0)， (1,2，3)，A1C ( x，y，z 3) ， (x1，y，z)A1E BE 因为Error!，所以Error!，解得Error!，所以 ( ， ， )，BE 27107 67所以点 B 到直线 A1C 的距离| | ，故选 B.BE 2357答案：B 102014安徽省合肥一中月考 设 OABC 是四面体，G 1 是ABC 的重心，G 是OG1 上的一点，
8、且 OG3GG 1，若 x y z ，则(x，y，z) 为( )OG OA OB OC A. ( ， ) B. ( ， )1414 14 3434 34C. ( ， ) D. ( ， ， )1313 13 2323 23解析：本题主要考查空间向量的基本定理因为 G1 是ABC 的重心，所以 ( ) ( ) ( 2 )，因 G 是 OG1 上的AG1 23AE 23 12AC AB 13OC OA OB OA 13OC OB OA 一点，且 OG3GG 1，所以 ( ) ( 2 )OG 34OG1 34OA AG1 34OA 34 13OC OB OA ( 2 ) ，所以 xyz ，故选 A.3
9、4OA 14OC OB OA 14OA 14OB 14OC 14答案：A 11在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )A. B.12 23C. D.33 22解析：以 A 为原点建系，设棱长为 1.则 A1(0,0,1)，E(1,0， )，D(0,1,0) ，12 (0,1， 1)， (1,0 ， )A1D A1E 12设平面 A1ED 的法向量为 n1(1，y，z)，则Error!Error!n 1(1,2,2)，平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)cosn 1，n 2 .231 23即
10、所成的锐二面角的余弦值为 .23答案：B 12如右图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD.则下列结论中不正确的是( )AACSBBAB 平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角解析：四边形 ABCD 是正方形，ACBD .又SD底面 ABCD，SDAC .其中 SDBDD，AC面 SDB，从而 ACSB.故 A 正确；易知 B 正确；设 AC 与DB 交于 O 点，连结 SO.则 SA 与平面 SBD 所成的角为ASO ，SC 与平面 SBD 所成的角为CSO，又 OAOC，S
11、ASC，ASOCSO .故 C 正确；由排除法可知选 D.答案：D 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)132014清华附中月考在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1，2,3)、B(2,1，1) ，若直线 AB 交平面 xOz 于点 C，则点 C 的坐标为_解析：本题主要考查空间直角坐标系中，直线与平面相交的交点坐标等基础知识设点 C 的坐标为(x, 0，z) ，则 ( x1,2，z3)， (1,3 ，4) ，因为 与 共线，所以AC AB AC AB ，解得Error!，所以点 C 的坐标为( ，0， )x 11 23 z 3 4 53 13答案：( ，0，
12、)53 13142014湖南省长沙一中期末考试 如图，在三棱锥 ABCD 中，DA，DB，DC 两两垂直，且 DBDC，E 为 BC 中点，则 等于_AE BC 解析：本题主要考查求空间两向量的数量积因为 E 为 BC 的中点，所以 AE DE ( ) ，因为在三棱锥 ABCD 中，DA，DB ，DC 两两垂直，且DA 12DB DC DA OBDC，所以 ( ) ( ) ( )0.AE BC 12DB DC DA DC DB 12DC2 DB2 答案：015如图，在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB 4，AD 3 ，AA 15，BAD90 ，BAA 1DAA 160，则对角线
13、AC1 的长度等于_解析： ( )2AC21 AB AD AA1 2 2 22 2 2 AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 16925243cos90245cos60235cos6050201585，| | .AC1 85答案： 8516正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是_ 解析：如右图，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 ODSOOAOB OC a，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P (0， ， )，a2 a2则 (2a,0,0)， (
14、a， ， )， ( a，a,0)，CA AP a2 a2 CB 设平面 PAC 的法向量为 n，可求得 n(0,1,1)，则 cos ，n ，CB CB n|CB | |n| a2a22 12 ，n60，CB 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 9060 30.答案：30三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 如右图，在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中， CM2MA，A 1N2ND，且 a， b ， c，试用 a，b，c 表示向量 .AB AD AA1 MN 解： MN MA AA1 A1N 13AC AA1 23A1D ( ) ( )13AB AD AA
15、1 23A1A AD 13AB 13AD 13AA1 23AD a b c，13 13 13 a b c.MN 13 13 1318(12 分) 已知 e1，e 2，e 3为空间的一个基底，且2e 1e 23e 3， e 12e 2e 3， 3e 1e 22e 3， e 1e 2e 3.OP OA OB OC (1)判断 P，A ，B，C 四点是否共面；(2)能否以 ， ， 作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一OA OB OC 基底表示向量 .OP 解：(1)假设四点共面，则存在实数 x，y，z 使 x y z ，且 xyz1.OP OA OB OC 即 2e1e 23e 3x
16、(e 12e 2e 3)y(3e 1e 22e 3)z(e 1e 2e 3)比较对应的系数，得一关于 x，y，z 的方程组Error!解得Error!与 xyz1 矛盾，故四点不共面；(2)若向量 ， ， 共面，则存在实数 m，n 使 m n ，同(1)可证，这不OA OB OC OA OB OC 可能，因此 ， ， 可以作为空间的一个基底，令 a， b， c，OA OB OC OA OB OC 由 e12e 2e 3 a，3e 1e 22e 3b，e 1e 2e 3c 联立得到方程组：从中解得Error!所以 17 5 30 .OP OA OB OC 19(12 分) 在棱长为 1 的正方体
17、 ABCDAB CD 中，E，F 分别是 DD，DB的中点，G 在棱 CD 上，CG CD，H 为 CG 的中点14(1)求 EF，C G 所成角的余弦值；(2)求 FH 的长解：设 a， b， c，AB AD AA 则 abb cc a0，|a|2a 21，|b| 2b 21，| c|2c 21.(1) c (ab) (abc)，EF ED DF 12 12 12 c a，C G C C CG 14 (abc )(c a)EF C G 12 14 ( a2c 2) ，12 14 38| |2 (abc )2 (a2b 2c 2) ，EF 14 14 34| |2( c a)2c 2 a2 ，
18、C G 14 116 1716| | ，| | ，EF 32 C G 174cos ， ，EF C G EF C G |EF |C G | 5117所以 EF，C G 所成角的余弦值为 .5117(2) FH FB BC CC C H (ab) bc 12 12C G (ab) bc (c a)12 12 14 a b c，38 12 12| |2( a b c)2FH 38 12 12 a2 b2 c2 .964 14 14 4164FH 的长为 .41820(12 分) 如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍， P 为侧棱 DS 上的点2(1)求证：ACSD
19、 ；(2)若 SD平面 PAC，求二面角 PACD 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE 平面 PAC.若存在，求SEEC 的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于点 O，由题意知 SO平面 ABCD，以 O 点为坐标原点， 、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz.OB OC OS 设底面边长为 a，则高 SO a.62于是 S(0,0， a)，D( a,0,0)，C(0， a,0)，B( a,0,0)，62 22 22 22(0， a,0)，OC 22( a,0， a)，SD 22 62 0.故 OCSD，因此 ACSD .OC SD (2)由题意知，平面 PAC 的一个法向量 ( a,0， a)，平面 DAC 的一个法向量DS 22 62(0,0 ， a)，OS 62设所求二面角为 ，
