1、三 相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定1.在ABC 中,D 是 AB 上一点 ,在边 AC 上找一点 E,使得ADE 与 ABC 相似,则这样的点最多有( ) 个.A.0 B.1 C.2 D.无数解析:如图所示,DE 1BC,则ADE 1ABC;在 AC 上存在点 E2,使AE 2D=B.又A=A ,则 ADE2ACB,故这样的点最多有 2 个.答案:C2.如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=12,AD= 10,将此矩形折叠使点 B 落在 AD 的中点 E 处,则折痕 FG 的长为( )A.13 B.C. D.解析:过点 A 作 AHFG 交 CD 于点 H,则四边形 AFGH 是平
2、行四边形,所以 AH=FG.因为 FGBE,所以 AHBE.所以ABE+BAH= 90.因为BAH+ DAH= 90,所以ABE=DAH.因为BAE=ADH= 90,所以ABE DAH,所以 .因为 AB=12,AE= AD= 10=5,AD=10,所以 BE= =13.所以 .所以 AH= ,即 FG= .答案:C3.以下列条件为依据,能判定ABC 和 ABC相似的一组是 ( )A.A=45,AB=12 cm, AC=15 cm;A=45,AB=16 cm,AC=25 cmB.AB=12 cm,BC=15 cm,AC=24 cm;AB=20 cm,BC=25 cm,AC=32 cmC.AB=
3、2 cm,BC=15 cm,B=36;AB=4 cm,BC=5 cm,A=36D.A=68, B=40;A=68,B=40解析:选项 A 中,A=A,但 ,则ABC 与ABC 不相似;选项 B 中,则 ABC 与 ABC不相似;选项 C 中 ,B 与B不一定相等,则ABC 与ABC不一定相似;选项 D 中,A= A,B=B,则ABCABC.答案:D4.如图,锐角ABC 的高 CD 和 BE 相交于点 O,图中与 ODB 相似的三角形有( )A.4 个 B.3 个C.2 个 D.1 个解析:与 ODB 相似的三角形有AEB, OEC,ADC,共有 3 个.答案:B5.如图,D,E 分别在 AB,
4、AC 上,下列条件能判定 ADE 与ABC 相似的有( )AED= B, , ,DEBC.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析:由相似三角形的判定定理 1 可知可以判定ADE 与 ABC 相似;由判定定理 2 知也可以判定ADE 与ABC 相似;由预备定理知 同样可以判定 ADE 与ABC 相似.所以共有三个条件可以判定ADE 与ABC 相似.答案:C6.如图,已知 ACBD,DE AB,AC,ED 交于点 F,BC=3,FC=1,BD=5,则 AC= . 解析:由 BC=3,BD=5 可得 CD=BD-BC=2.易证CDFCAB,所以 ,即 ,AC=6.答案:67.如图所示,在
5、ABC 中, ACB=90,CDAB,AC= 6,AD=3,则 AB= . 解析:在 ACD 和 ABC 中,A= A ,ADC=ACB=90,ACDABC. . ,AB=12.答案:128.如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,ABAD ,对角线 BDDC ,则ABD ,BD 2= . 解析:ADC+BCD=180,BDC=90,ADB+ BCD=90.而ADB+ ABD=90,ABD=BCD.又BAD= BDC=90,Rt ABDRt DCB. .BD 2=ADBC.答案: DCB ADBC9.如图,已知ACB=E,AC=6,AD=4,求 AE 的长.解:因为ACB=E,DAC=CAE,所
6、以DACCAE.所以 .所以 AE= =9.10.如图所示,在ABC 中,D 是 BC 边的中点,且 AD=AC,DEBC ,DE 与 AB 相交于点E,EC 与 AD 相交于点 F.求证: ABCFCD.证明:因为 BD=DC,DEBC ,所以BEC 为等腰三角形 .所以B=1.又因为 AD=AC,所以2=ACB.所以ABCFCD.11.如图所示,在ABC 中,AD,CE 是两条高,连接 DE,如果 BE=2,EA=3,CE=4,在不添加任何辅助线和字母的条件下,写出三个正确的结论(要求: 分别为边的关系、角的关系、三角形相似等),并对其中一个结论予以证明.分析:题图中有高,所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度 .由 AE=3,CE=4,可知 CA=5,这样可知 AC=AB,ABC 是一个等腰三角形,再寻找条件就比较容易了.解:AB=AC ;B=ACB; CEBADC.下面仅证明CEBADC.CEAE,AE=3,CE=4,AC= =5.又AB=AE+BE=5,AC=AB. B=ACB.又CEB=ADC=90,CEBADC.
