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宁夏银川市第九中学高中数学人教a版选修2-2教案:132函数的极值与导数(2课时).doc

上传人:无敌 文档编号:525559 上传时间:2018-04-09 格式:DOC 页数:5 大小:429.50KB
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资源描述

1、1.3.2 函数的极值与导数(2 课时)教学目标:1.理解极大值、极小值的概念;2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;3.掌握求可导函数的极值的步骤;教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程:一创设情景观察图 3.3-8,我们发现, 时,高台跳水运动员距水面高度最大那么,函数ta在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化()ht规律?放大 附近函数 的图像,如图 3.3-9可以看出 ;在 ,当 时,ta()ht ()hatta函数 单调递增, ;当 时

2、,函数 单调递减, ;这就说明,在()h0ta()t0附近,函数值先增( , )后减( , ) 这样,当 在 的t t()()tt附近从小到大经过 时, 先正后负,且 连续变化,于是有 ah()ht ha对于一般的函数 ,是否也有这样的性质呢?yfx附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二新课讲授1问题:图 3.3-1(1) ,它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数ht的图像,图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化2()4.9

3、6.510htt vt的函数 的图像()8.vt运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图像,我们可以发现:(1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 随时间 的增加而增加,即 是增ht()ht函数相应地, ()0vth(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少,即 是减t()t函数相应地, ()vt2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图 3.3-3,导数 表示函数 在点 处的切线的斜率在 处,0()fx()fx0,)y0x,切线是“左下右上”式的,这时,函数 在 附近单调递增;在 处,

4、0()fx (fx0 1,切线是“左上右下”式的,这时,函数 在 附近单调递减 )1结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间 内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增;如果(,)ab()0fx()yfx,那么函数 在这个区间内单调递减)0fxy说明:(1)特别的,如果 ,那么函数 在这个区间内是常函数()fx()yfx3求解函数 单调区间的步骤:()yf(1)确定函数 的定义域;x(2)求导数 ;()yf(3)解不等式 ,解集在定义域内的部分为增区间;0x(4)解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区间()f三典例分析例 1已知导函数 的下列信息:()fx当 时, ;14x()0fx当 ,或

5、时, ;1当 ,或 时,x()fx试画出函数 图像的大致形状y解:当 时, ,可知 在此区间内单调递增;14x()0fx()yfx当 ,或 时, ;可知 在此区间内单调递减;当 ,或 时, ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” x()fx综上,函数 图像的大致形状如图 3.3-4 所示y例 2判断下列函数的单调性,并求出单调区间(1) ; (2)3()fx2()3fx(3) ; (4)sin(0,)x41x解:(1)因为 ,所以, 3()f 22()()0fx因此, 在 R 上单调递增,如图 3.3-5(1)所示x(2)因为 ,所以, 2()3f()2fxx当 ,即 时,函数 单调递增;0

6、x13当 ,即 时,函数 单调递减;()f2()fx函数 的图像如图 3.3-5(2)所示23x(3) 因为 ,所以,()sin(0,)fx()cos10fx因此,函数 在 单调递减,如图 3.3-5(3)所示(4) 因为 ,所以 32()41fxx当 ,即 时,函数 ;02()fx当 ,即 时,函数 ;()fx 3函数 的图像如图 3.3-5(4)所示32()41fxx注:(3) 、 (4)生练例 3 如图 3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像ht分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,

7、所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快反映在图像上, (A)符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解: 1,2,3,4BADC思考:例 3 表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭” ;反之,函数的图像就“平缓”一些如图 3.3-7 所示,函数 在 或 内的图像“陡峭” ,在 或 内的图像“平缓”()yfx0,b,a,b,a例 4 求证:函数 在区间 内是减函数321yxx2,1证明:

8、因为 2666x当 即 时, ,所以函数 在区间 内是,1xx0y321yx2,减函数说明:证明可导函数 在 内的单调性步骤:f,ab(1)求导函数 ;x(2)判断 在 内的符号;f,(3)做出结论: 为增函数, 为减函数0x0fx例 5 已知函数 在区间 上是增函数,求实数 的取值23()4()faR1,a范围解: ,因为 在区间 上是增函数,所以 对 2()fxxfx, ()0fx恒成立,即 对 恒成立,解之得:1,x20xa1,x1a所以实数 的取值范围为 a1,说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则 ;若函数单调递减,则 ”来求解,注意此()0fx()0fx时公式中的等号不能省略,否则漏解四课堂练习1求下列函数的单调区间1.f(x)=2x36 x2+7 2.f(x)= +2x 13. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx,02课本 P101 练习五回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数 单调区间()yfx(3)证明可导函数 在 内的单调性,ab六布置作业

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