圆锥曲线动弦中点轨迹的探究.doc

1、案例 42圆锥曲线动弦中点轨迹问题的研究案例背景本案例由上海市卢湾区教师进修学院高中数学教研员徐庆惠老师设计。本案例可在单元复习时使用。预备知识直线、圆锥曲线方程。问题提出2005 年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷第 22 题中的第（3）小题要求画出如图 42-1 所示的椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心。解决此问题的关键在于找到并利用椭圆的一组平行弦的中点所具有的特性。本案例对此问题以及对与此问题相关的其他一些问题开展研究。研究目标1通过研究椭圆的动弦的中点轨迹，对椭圆的几何性质有更深刻的理解；2体验对字母参数进行分类讨论的数学思想方法，从特殊到一般的研究方法，解析

2、几何中数形结合的思想方法，以及将双曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究的思想方法。研究过程一对特定的椭圆的动弦中点的轨迹的研究。1对特定的椭圆的平行弦中点的轨迹的研究。问题 1：求椭圆 中斜率为 1 的平行弦的中点轨迹。24xy解：设动弦 所在直线的方程为 （ ） ，并设点 、 的坐标AByxmRAB图 42-1分别为 ， ，它们应为方程组 的实数解。1(,)xy2(,)21()42xym将 代入 并整理，得 ， （3）()()2258()0x当 ，即 时，方程 有两个22801)6()mm5()不同的实数解，即弦 存在。AB设 的中点为 ，由方程 得 ，故 ，ABM(,)xy(3)1285x

3、m1245xm，消去 ，得 。5yxm40由 ，及 ，可得 ，5xm4,5x即点 的轨迹方程为 ， 。M40y,得点 的轨迹是过原点，斜率为 ，且在已知椭圆内不包括端点的线段。12对特定的椭圆的平行弦中点的轨迹的研究。问题 2：求过点 的直线与椭圆 相交所得的动弦 的中点10,2P214xyAB的轨迹。M解：（1）当过点 的直线的斜率不存在时，弦 即为椭圆的短轴， 的AB中点 即为原点；（2）当过点 的直线的斜率存在时，设过点 的直线方程为 ，并PP12ykx设点 、 的坐标分别为 ， ，它们应为方程组 AB1(,)xy2(,)2()41ykx的实数解。将 代入 并整理，得 ，(2)(1)2(

4、14)30()kx恒成立，即方程 恒有两个不同的实数解，亦即弦2640kk()存在。AB设 的中点为 ，由 ，可得 ，M(,)xy1224kx1224xk，由 ，得 ，代入 中，得点 的轨迹21(4)ykxk4kykM方程为 ，即 。220xy22146yx(0)x因此点 的轨迹是以 为中心，焦点在直线 上，且长轴和短轴的M1,14y长分别为 和 的椭圆。12二对椭圆 中的动弦中点的轨迹的研究。21xyab(0)上述两个问题都是在特定的椭圆、特定的直线的情况下研究的，下面将问题作一般化的研究。问题 3：设直线 ： 交椭圆 ： 于不同的两点lykxmC21xyab(0)、 ，求 中点 的轨迹。A

5、BM解：设点 、 的坐标分别为 ， ，它们应为方程组AB1(,)xy2(,)的实数解。21()xyabkm将 代入 ，并整理得 ，(2)()2222() 0(3)bakxmaab当 ，即 时，弦 存224)0abkm2bkAB在。设 的中点 的坐标为 ，得 。ABM(,)xy2122xkmabk讨论：（1）当 为定值， 为参数时，直线 为一束平行直线，由kml，得点 的轨迹方程为 ，2xkayb20bxkay22( )bbyakak即点 的轨迹是过椭圆中心，且在椭圆内，不包括端点的线段。M（2）当 为定值， 为参数时，直线 为过定点的直线系，由 ，mkl 2xkayb得 ，故 ，整理得 ，2b

6、xkay2bxay220bxaym。2224因此点 的轨迹方程为 。M2214yxmb22( )bbyakak即点 的轨迹是以 为中心且位于已知椭圆内部的椭圆。0,23结论的应用。至此，可解决本案例开始时所提出的问题。问题 3：如图 42-1，已知一椭圆，试在图中作出该椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点。分析：根据前面研究的结果可以得到椭圆的几何性质：一组平行直线与椭圆相交所得的弦的中点在一条过椭圆中心的定直线上。为进一步确定椭圆中心的位置，可另行选择一组平行直线与椭圆相交，并使所选的两组平行直线具有不同的斜率。于是椭圆中心又应在第二组平行直线与椭圆相交所得的弦的中点所在的直线上。这样这两条直线的

7、交点即为椭圆的中心。作法：（1）确定椭圆的中心。方法一：作两条平行直线分别交椭圆于 、 和 、 ，并分别取 、 的ABCDABCD中点 、 ，连接直线 ；再作两条平行EGE线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、 和 、 ，并分别取 、1AB11AB图 42-1CABD11BEG1O图 42-2的中点 、 ，连接直线 。那么直线 和 的交点 即为椭圆1CD1EG1EGE1GO的中心（图 42-2） 。方法二：作两条平行直线分别交椭圆于 、 和 、 ，并分别取 、ABCDAB的中点 、 ，连接直线 ，与椭圆交于两点，取它们的中点即为该椭圆EE的中心 。O（2）确定椭圆的对称轴及顶点。以 为圆心作圆

8、，使得该圆与椭圆有四个交点 、 、 、 ，连接这四个交点构成一矩形HIJK，过椭圆的中心 分别作与矩形两组对边O分别平行的直线，即为椭圆的两条对称轴，对称轴和椭圆的交点 、 、 、 即为椭圆的四LMNP个顶点（图 42-3） 。（3） 确定椭圆焦点的位置根据椭圆的几何性质，以短轴的一个端点为圆心，长半轴为半径作弧，该圆与椭圆长轴的两个交点即为该椭圆的两个焦点 、 （图 42-4） 。1F2相关研究同样可以完成对双曲线的研究：1求双曲线 中斜率为 1 的平行弦的中点轨迹。24xy2求过点 的直线与双曲线 相交所得的动弦 的中点10,P24xyAB的轨迹。M3设直线 ： （ ）与双曲lykxmba

9、线 ： 交于不同的两点 、 ，求C21xabAB中点 的轨迹。AB4如图，已知一双曲线，试在图中作出该OHKJPNMLI图 42-31F1FR1FP2FNLOM图 42-4第 4 题双曲线的中心、对称轴、顶点、渐近线及焦点。参考解答1设平行弦 所在直线的方程为 （ ） ，AByxmR于是点 、 的坐标 ， 为方程组 的实数解，1(,)xy2(,)21()42yx将 代入 并整理，得 ， （3）(2)()22384(1)0mx当 ，即 或 时，方程 有两22841)6(5)mm(3)个不同的实数解，即弦 存在。AB设 的中点 的坐标为 ，由方程 ，得 ，可得ABM(,)xy(3)1283x， ，

10、消去 得 。1243xm3ym40y又 或 ，及 ，可得 ，4x54,3x即点 的轨迹方程为 ， ，M0y4,因此点 的轨迹是斜率为 ，其所在直线过原点的并除去端点的两条射线。142 （1）当过点 的直线的斜率不存在时，弦 即为双曲线的虚轴， 的PABAB中点 即为原点；M（2）当过点 的直线的斜率存在时，设过点 的直线方程为 ，P12ykx于是点 、 的坐标 ， 为方程组 的实数解，AB1(,)xy2(,)21()4xyk将 代入 并整理，得 ，(2)(1)2(14)50(3)kx当 时，解得 ，此时方程 有两个不同260)kk4k()的实数解，即弦 存在。AB设 的中点 的坐标为 ，由方程

11、 得 ，可得M(,)xy(3)1224kx， ，1224xk21(4)yk又 ，得 或 。50y由 ，得 ，代入 中，得点 的轨迹方程为4xkyxy12kxM，即 （ 或 ） 。220x2146y0综上所述，点 的轨迹是以 为中心，焦点在 轴上，且实轴和虚轴M10,4y的长分别为 和 的双曲线的一部分。123由题设点 、 的坐标 ， 为方程组 的实AB1(,)xy2(,)21()2xyabkm数解，将 代入 ，并整理得 ，(2)(1)2222() 0(3)bakmx令 ，得 ，此时弦 存在。24)0abmkbAB设 的中点 的坐标为 ，得ABM(,)xy2122,xkabm讨论：（1）当 为定

12、值， 为参数时，直线 为一束平行直线，kml点 的轨迹方程为 。20bxay当 ，时，点 的轨迹方程是 （ 或kaM20bxkay2bak） ，即点 的轨迹是不包括端点的两条射线；2byk当 时， 恒成立，点 的轨迹方程是 ，即点 的bka0M20bxkayM轨迹是过双曲线中心的一条直线。（2）当 为定值， 为参数时，直线 为过定点的直线系，点 的轨迹方mkl程为 ，即点 的轨迹是以 为中心的双曲线（已知双曲2214yxb0,2m线的左右两侧） 。4作法：（1） 确定双曲线的中心。作两条平行直线分别交双曲线于 、A和 、 ，并分别取 、 的中点 、BCDABCDE，连接直线 ；又作两条平行线（

13、与前GE两条直线不平行）分别交双曲线于 、 和1B、 ，并分别取 、 的中点 、1C1AB1CE，连接直线 ，那么直线 和 的GEG1G交点 即为双曲线的中心（图（1） ） 。O（2）确定双曲线的对称轴及顶点以 为圆心作圆，使得该圆与双曲线有四个交点 、 、 、 ，连接这四个交点构成HIJK一矩形 。过双曲线的中心 分别作与矩O形 两组对边分别平行的直线，即为双曲IJ线的两条对称轴，对称轴与双曲线的两个交点、 即为双曲线实轴的两个顶点（图（2） ） 。LM（3）确定双曲线的渐近线以及焦点的位置由（2）可知，两个顶点之间的距离即为双曲线实轴的长，不妨设为 ，并以 为原2aOCABD1A1BCEG

14、1O第 4 题（1）OHKJMLI第 4 题（2）1FL2FMPON第 4 题（3）QRSUT点，双曲线实轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系，此时可设双曲线方程为x。21xyab过双曲线的右顶点 作垂直于实轴的直线，取 ，连接 ，可得M|MNaO。再以 为圆心、 的长为半径作弧，交实轴所在直线于点 ，|2ONO|NP此时 的坐标为 ，过 作实轴的垂线交双曲线于 ，将 代入双曲P(,0)aPQ2x线方程 ，计算可得 ，即 。过点 作实轴的平行线与21xyab|Qb(2,)ab交 于点 ，此时 ，这时就可以作出边长为 和 的矩形MNR2|Oac2ab，直线 和 就是双曲线的两条渐近线。最后，以 为圆心、 的STUSUO|R长为半径作弧交实轴于 、 ，即为双曲线的两个焦点（图（3） ） 。1F2