1、3.3.3 函数的最大（小）值与导数（2 课时） 项目 内容课题 （共 2 课时）修改与创新教学目标使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念，掌 握 可 导 函 数 在 闭)(xf区 间 上 所 有 点 （ 包 括 端 点 ） 处 的 函 数 中 的 最 大 （ 或 最 小 ） 值 必ba, ba,有的充分条件；使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重、难点教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：我们知道，极值反映的是函数在某一点
2、附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果 是函数 的极大（小）值点，那么0xyfx在点 附近找不到比 更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函0xf数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果是函数的最大（小）值，那么 不小（大）于函数 在相应区0 0fxyfx间上的所有函数值二、讲授新课：观察图中一个定义在闭区间 上的函数ba,的图象图中 与 是极小值，)(xf )(1xf3f x3x2x1 ba xOy是极大值函数 在 上的最大值是 ，最小值是 2()fx)(xfba, )(bf3()fx1 结论：一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连,yx续
3、不断的曲线，那么函数 在 上必有最大值与最小值()yfx说明：如果在某一区间上函数 的图像是一条连续不断的曲线，则称函数 在这个区间上连续 （可以不给学生讲）()yfx给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 内连续的函数 不一(,)ab)(xf定有最大值与最小值如函数 在 内连续，但没有最大值与最xf1)(0小值；在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最)(xfba,)(xfba,小值的充分条件而非必要条件 （可以不给学生讲）2 “最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个
4、局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端)(xf点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(fba,求 在 内的极值；x将 的各极值与端点处的函数值 、
5、 比较，其中最大的一)(f )(afbf个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值)(xfba,三典例分析例 1 （课本例 5）求 在 的最大值与最小值 314fx0,3解： 由例 4 可知，在 上，当 时， 有极小值，并且极小0,2x()fx值为 ，又由于 ，(2)3ff1f因此，函数 在 的最大值是 4，最小值314xx,3是 4上述结论可以从函数 在 上的图象得到直观验3fxx0,证例 2求 函 数 在区间 上 的最大值与最小值524y2,解 ： 先求导数，得 x3/令 0 即 解 得/y043x 1,0,132x导 数 的正负以及 ， 如下表/ )2(f(f从上表知，当 时
6、，函数有最大值 13，当 时，函数有最小值 4 2x 1x例 3已知 , (0,+).是否存在实数 ,使23()logxabfab、同时满足下列两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在)(xf (f1，+)上是增函数；（2） 的最小值是 1，若存在，求出 ，若不xab、存在，说明理由.解：设 g(x)= ba2f(x)在（ 0，1）上是减函数，在1 ，+) 上是增函数y=x4-2x2+512108642-4-2 42 xOyg(x)在（ 0，1）上是减函数，在1，+ )上是增函数. 解得3)(310ba1ba经检验，a =1,b=1 时，f(x )满足题设的两个条件.四课堂练习1 下列说
7、法正确的是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数 y=f(x)在区间 a,b上的最大值是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f( x) ( )A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能3函数 y= ，在1，1上的最小值为( )2341xxA.0 B.2 C.1 D. 234 求 函 数 在区间 上 的最大值与最小值54xy,5课本 练习课堂小结：1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最
8、大值与最)(xfba,)(xfba,小值的充分条件而非必要条件；3闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ； 开 区 间 内 的 可 导 函 数, ),(不 一 定 有 最 值 ， 若 有 唯 一 的 极 值 ， 则 此 极 值 必 是 函 数 的 最 值 4利用导数求函数的最值方法布置作业：P99 A 组 6板书设计3.3.3 函数的最大（小）值与导数1 一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数,ab()yfx在 上必有最大值与最小值。()yfx,2 利用导数求函数的最值步骤:由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函)(f数值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(xfba,求 在 内的极值；将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大)(xf )(afbf值，最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值。x,教学反思这里求最值，仅仅只对在闭区间且图像是一条连续不断的函数，所以求解较为简单。鉴于课标的要求，教学时，对不满足条件的函数求最值，不做补充。但是，对在开区间，且函数只有一个极值点的，可举例分析其最值的情况，及求解。函数只有一个极（大）小值，则该极（大）小值也是最（大）小值。这一点，学生不难理解。
