1、 每天发布最有价值的高考资源1 / 10双曲线的简单几何性质一、要点精讲1双曲线的标准方程和几何性质标准方程 =1（a0，b0）2xy =1（a0， b0）2ybx图 形范围 或 ，axRy， 或Rxay对称性 对称轴： 坐标轴 ； 对称中心： 原点渐近线 xaby xby顶点坐标，0,1A,2，bB，aA,01,2，B0轴 实轴 的长为 虚轴 的长为21a21Bb离心率 ，其中ce，其中1ace2ba准线 准线方程是 cax2准线方程是 cy2、双曲线的第二定义：在平面内，到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常e1a
2、c数 是双曲线的离心率 3等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 ，离心02yx率 ，渐近线方程 。2exy4、共渐近线的双曲线系方程：与 =1 有相同渐近线的双曲线系方程可设为2axby 2ax，若 ，则双曲线的焦点在 轴上；若 ，则双曲线的焦点02by 0在 轴上。5、共焦点的双曲线系方程：与 =1 焦点相同的双曲线系方程可设为2axby2221xyba二、基础自测1、 （ 2010 安徽理）双曲线方程为 21xy，则它的右焦点坐标为A、 2,0B、 5,0C、 6,0D、 3,02 （2013 年湖北）已知 ,则双曲线 : 与 :41221sincosxy2C的 （
3、 ）221cosinyxA实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等3 （2013 课标）已知双曲线 的离心率为 ,则 的渐近线方2:1xyab(0,)b52C程为 （ ）A B C D14yx3yx12yxyx4 （2013 湖南）设 F1、F 2 是双曲线 C, (a0，b0) 的两个焦点。若在 C 上存在一2b点 P，使 PF1PF 2，且PF 1F2=30，则 C 的离心率为_ _.135.（2010 北京）已知双曲线2xyab的离心率为 2，焦点与椭圆2159xy的焦点相每天发布最有价值的高考资源3 / 10同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 4,030xy6(2
4、012 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1 的离心率为 ，则 m 的x2m y2m2 4 5值为_解：由题意，双曲线的焦点在 x 轴上且 m0，所以 e ，所以 m2.m2 m 4m 5三、典例精析题型一：求双曲线中的基本量1、已知双曲线的方程 ，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、0,22bayxb焦点坐标、渐近线方程2. 已知双曲线 )0(12byx的左、右焦点分别是 1F、 2，其一条渐近线方程为xy，点 ),3(0P在双曲线上.则 1PF 2A. 12 B. 2 C. 0 D. 4解：由渐近线方程为 xy知双曲线是等轴双曲线， 双曲线方程是 22yx，于是两焦点坐标分别是（2，
5、0）和（2，0） ，且 )1,3(P或 ),(.不妨去 )1,3(P，则)1,3(1PF，2. PF 2 01)3(),)(,( 3(2011 浙江)已知椭圆 C1： 1(ab0)与双曲线 C2：x 2 1 有公共的焦点，x2a2 y2b2 y24C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点若 C1 恰好将线段 AB 三等分，则( )Aa 2 Ba 213 Cb 2 Db 22132 12解：依题意 a2b 25，根据对称性，不妨取一条渐近线 y2x，由Error!解得 x，ab4a2 b2故被椭圆截得的弦长为 ，又 C1 把 AB 三等分，所以 ，两边平方并整25ab4
6、a2 b2 25ab4a2 b2 2a3理得 a211b 2，代入 a2b 25 得 b2 ，故选 C.12考点二：离心率问题4、双曲线 的右焦点 到过点 ， 的直线的距离等于0,12yx2F0,aAbB,双曲线虚半轴长的一半，求双曲线的离心率5、(2010 辽宁)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.2 33 12 5 12解：设双曲线方程为 1(a0，b0) ，F(c,0)，B(0，b)，则 kBF ，渐近线方程x2a2 y2b2 bc为 y x，ba 1，即 b2ac，c 2a 2a
7、c，e 2e10，解得 e .又 e1，ebcba 1 52.5 126、设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是122ayxe(A) (B) (C) (D) 2, 5,5,5,27.（2012 浙江）如图，F 1,F2 分别是双曲线 C： （a ,b0）的左、右焦点，B 是21xyb虚轴的端点，直每天发布最有价值的高考资源5 / 10线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M，若|MF2|=|F1F2|，则 C 的离心率是A. B。 C. D. 3623解：由题意知直线 的方程为： ，联立方程组F1bxcy0,byaxc得点 Q ，联立
8、方程组 得点 P ，所以 PQ 的中点),(acb0,byax),(c坐标为 ，所以 PQ 的垂直平分线方程为： ，令 ，得),(2b )(22bax0y，所以 ，12acxcc3)1(2所以 ，即 ，所以 。故选 Bb2a6e8(2012 湖北)如图，双曲线 1(a，b0) 的两顶点为 A1，A 2，虚轴两x2a2 y2b2端点为 B1，B 2，两焦点为 F1，F 2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B，C，D.则(1) 双曲线的离心率 e_.(2) 菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 _.S1S2解：(1)由
9、图可知，点 O 到直线 F1B2 的距离 d 与圆 O 的半径 OA1 相等，又直线 F1B2 的方程为 1，x c yb即 bxcybc0.所以 d a，整理得得 c2a 2ac .所以 e2e10，解得 ebcb2 c2(负值舍去)5 12(2)连接 OB(图略)，设 BC 与 x 轴的交点为 E，由勾股定理得|BF 1| b.c2 a2由等面积法得|BE| ，则| OE| .|F1B|OB|F1O| abc |OB|2 |BE|2 a2c进一步得到 S22|OE|2|EB | . 又因为 S1 |F1F2|B1B2|2bc，所以4a3bc2 12 e3 .S1S2 c32a3 12 5
10、229 （2013 重庆）设双曲线 的中心为点 ,若有且只有一对相较于点 、所成的角为COO的直线 和 ,使 ,其中 、 和 、 分别是这对直线与双曲061AB212AB12A线 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 zhangwlx （ ）CA B C D23(3,)3(,)3,)解：设双曲线的焦点在 x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率 必须满足ba(B) 12 (D) 1e25双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 ，则双曲1342yx 0yx线方程为（ ）(A) (B) (C) 8021602xy 2412(D) 9612yx6已知双曲线 上一点 M 到右准线的距离是
11、 10， 是右焦点， 是 的452y 2FN2MF中点，O 为坐标原点，则 等于（）ON(A)2 (B) 2 或 7 (C)7 或 12 (D) 2 或 12点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为（）7双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 ， ， 则双曲线的离心率21,F120M为 8、如图，已知 为双曲线 的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线21,F,02bayx交双曲线于点 ，且 ，求双曲线的渐近线方程P30219求以过原点且与圆 相切的两直线为渐近线，且过椭圆0342xy两焦点的双曲线方程42xy10、双曲线的渐近线为 ，双曲线的同一支上的两点 M、N 到焦点 F 的距离之和为xy4316，求 MN 的中点 E 到相应于 F 的准线的距离11、双曲线 的两个焦点分别为 F1、F 2，P 为双曲线上的任意一点，求证：22ayx、 、 成等比数列1PFO2
