1、北大附中 2012 届高考数学满分突破专题训练：基本初等函数I 卷一、选择题1已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是（ ） A B C D【答案】C2 设1.50.90.48123,2yy，则 ( ）A 312B 13C 132yD 123y【答案】C3函数 12()sinlogfxx的零点个数是 ( ）A2 B3 C4 D5【答案】D4已知定义在 R 上的函数 )(xfy满足下列三个条件：(1）对于任意的 x都有 4f；(2）对于任意的 201都有 )(21x；(3）函数 )(xfy的图象关于 y轴对称.则下列结论正确的是（ ）A )5.1()5.6(ffB )5.1().6()5ffC
2、61D .【答案】A5方程 mx22( m1) x m30 仅有一个负根，则 m 的取值范围是( )A(3,0) B3,0)C3,0 D1,0【答案】C6如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P处有一棵树与两墙的距离分别是 a米(012)a、 4 米，不考虑树的粗细现在想用 16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD设此矩形花圃的面积为 S平方米， 的最大值为 )(af，若将这棵树围在花圃内，则函数 )(afu的图象大致是（ ）【答案】C7若点( a,9)在函数 y3 x的图像上，则 tan 的值为( )a6A0 B 33C1 D 3【答案】D8若 ()fx，则 ()f ( ）A
3、2 B4 C 2D10【答案】A9 2log 510log 50.25( )A0B1C2D4【答案】C10若 x( e1, 1)， aln x， b2ln x， cln 3x，则( )A a0，那么该函数在(0, 上是减函数，在 ，ax a a)上是增函数(1)如果函数 y x 在(0,4 上是减函数，在 4，)上是增函数，求实常数 b 的值；2bx(2)设常数 c1,4，求函数 f(x) x (1 x2)的最大值和最小值cx【答案】 (1)由函数 y x 的性质知： y x 在(0， 上是减函数，在 ，)上是ax 2bx 2b 2b增函数， 4，2 b162 4， b4.2b(2) c1,4
4、， 1,2c又 f(x) x 在(0, 上是减函数，在 ，)上是增函数，cx c c在 x1,2 上，当 x 时，函数取得最小值 2 c c又 f(1)1 c， f(2)2 ，c2f(2) f(1)1 c2当 c1,2)时， f(2) f(1)0， f(2)f(1)，此时 f(x)的最大值为 f(2)2 c2当 c2 时， f(2) f(1)0， f(2) f(1)，此时 f(x)的最大值为 f(2) f(1)3.当 c(2,4 时， f(2) f(1)x23，f(x1) f(x2) ax1 ax21x21 1x2 a(x1 x2)x2 x21x21x2( x1 x2)(a )x1 x2x21
5、x2 x1 x20， f(x)在3，)上为增函数， a ，即 a 在3，)上恒成立x1 x2x21x2 1x1x2 1x21x2 ， a 1x1x2 1x21x2227 227方法二：用导数求解，简解如下：/3()f，由题意得 /32()0fxa在3，)上恒成立，即 32ax在3，)上恒成立，令 3()g，而 g在3，)单调递减， 所以，max2()7g，所以 27a。27某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低 0.02 元，根据市场调查，销售商一次订购量不
6、会超过 600 件(1)设一次订购 x 件，服装的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【答案】(1)当 0 x100 时， p60；当 100 x600 时，p60( x100)0.02620.02 x. pError!(2)设利润为 y 元，则当 0 x100 时， y60 x40 x20 x；当 100 x600 时，y(620.02 x)x40 x22 x0.02 x2. yError!当 0 x100 时， y20 x 是单调增函数，当 x100 时， y 最大，此时 y201002 000；
7、当 100 x600 时，y22 x0.02 x20.02( x550) 26 050，当 x550 时， y 最大，此时 y6 050.显然 6 0502 000.所以当一次订购 550 件时，利润最大，最大利润为 6 050 元28已知：函数 2()1fxa.(1) 若 13a，且 ()fx在 1,3上的最大值为 ()Ma，最小值为 ()Na，令()gMN，求 ga的表达式；(2) 在(1)的条件下，求证： ()2；(3）设 0a，证明对任意的 1,)xa， 1212|()|fxfax.【答案】 （1） 2()f由 3得 3a (Nf.当 2，即 1时， )Ma(395,故 1()96ga
8、；当 1，即 32时， 1f，故 2.,;()196,(,.2ag(2）当 ,3a时， 21)ga0，函数 ()ga在 1,32上为减函数；当 1(2时， (9，函数 在 上为增函数，当 时， )取最小值， min()()2,故 ()ga.(3）当 0时，抛物线 2()1fxa开口向上，对称轴为 1xa，函数 ()fx在 1,a上为增函数， (或由 2得 xa，函数 ()fx在 ,)a上为增函数）不妨设 1x，由 12,)得 12 |()|ffx21()()fxfx21()xaa令 2()1fx， x,)a抛物线 ()yx开口向上，对称轴为 2ax，且 12a函数 在 1,a上单调递增， 对任意的 12,)， 1x有 21()x，即 21()()fxafxa22|(|ff
