1、北大附中 2012 届高考数学满分突破专题训练：点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1设 m， n 是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列条件能使 n 成立的是( )A ， n B ， n C ， n D m ， n m【答案】B2下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 【答案】D3已知直线 l， m，平面 ， ，且 l ， m ，给出下列四个命题：若 ，则 l m；若 l
2、 m，则 ；若 ，则 l m；若 l m，则 .其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3【答案】C4已知 a， b 表示两条不同的直线， 、 表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A若 ， a ， b ，则 a bB若 a ， a 与 所成角等于 b 与 所成角，则 a bC若 a ， a b， ，则 b D若 a ， b ， ，则 a b【答案】D5已知 m 是平面 的一条斜线，点 A ， l 为过点 A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A l m， l B l m， l C l m， l D l m， l 【答案】C6 “直线 a 与平面 M 没有公共点”是“直
3、线 a 与平面 M 平行”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C7如图，在 ABC 中， AB AC，若 AD BC，则 AB2 BDBC；类似地有命题：在三棱锥 A BCD中， AD面 ABC，若 A 点在面 BCD 内的射影为 M，则有 S S BCMS BCD.上述命题是( )2 ABCA真命题B增加条件“ AB AC”才是真命题C增加条件“ M 为 BCD 的垂心”才是真命题D增加条件“三棱锥 A BCD 是正三棱锥”才是真命题【答案】A8设 a、 b 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列四个命题：若 a b， a ， b ，则
4、b ；若 a ， a ，则 ；若 a ， ，则 a 或 a ；若 a b， a ， b ，则 .其中正确命题的个数为( )A1 B2C3 D4【答案】D9下面四个命题：“直线 a直线 b”的充要条件是“ a 平行于 b 所在的平面” ；“直线 l平面 内所有直线”的充要条件是“ l平面 ”；“直线 a、 b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、 b 不相交” ；“平面 平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等” 其中正确命题的序号是( )A BC D【答案】C10已知平面 平面 ， l，点 A ， Al，直线 AB l，直线 AC l，直线m ， m ，则下列四种位置
5、关系中，不一定成立的是( )A AB m B AC mC AB D AC 【答案】D11设 m、 n 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题：Error! Error! m Error! Error! m 其中，真命题是( )A BC D【答案】C12设 b，c 表示两条直线， 表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）A bc/,/则若 B /,/cb则若 C 则若 , D 则若 c【答案】D13正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 为棱 AB 的中点，则异面直线 DM 与 D1B 所成角的余弦值为( )A B C D156 155 153 1510【答案】B14已知平面外一
6、点 P 和平面内不共线三点 A、 B、 C， A、 B、 C分别在 PA、 PB、 PC 上，若延长 A B、 B C、 A C与平面分别交于 D、 E、 F 三点，则 D、 E、 F 三点( )A成钝角三角形 B成锐角三角形C成直角三角形 D在一条直线上【答案】DII 卷二、填空题15 a、 b 表示直线， 、 、 表示平面若 a， b ， a b，则 ；若 a ， a 垂直于 内任意一条直线，则 ；若 ， a， b，则 a b；若 a 不垂直于平面 ，则 a 不可能垂直于平面 内无数条直线；若 l ， m ， l m A， l ， m ，则 .其中为真命题的是_【答案】16如图：点 P 在
7、正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥 A D1PC 的体积不变； A1P面 ACD1； DP BC1；面 PDB1面 ACD1.其中正确的命题的序号是_【答案】17关于直线 ,mn与平面 ,，有以下四个命题： 若 /且 /，则 /n； 若 ,且 ，则 m； 若 /mn且 /，则 ； 若 ,且 ，则 /n；其中正确命题的序号是 。 （把你认为正确命题的序号都填上）【答案】 18如图所示，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是 AC 的中点， AA1 AB 1，则异面直线 AB12与 BD 所成的角为_【答案】6019一个正方体纸盒展开后如图 1
8、37 所示，在原正方体纸盒中有如下结论：图 137 AB EF； AB 与 CM 所成的角为 60； EF 与 MN 是异面直线； MN CD.以上四个命题中，正确命题的序号是_【答案】20设m、n,是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列四个命题，若 m n,m ， ，则 /n；若 或则,；若 /,则 ； 若 则,n.其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上)【答案】三、解答题21如图，已知三棱锥 ABPC 中，APPC， ACBC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且PMB 为正三角形。(1）求证：DM平面 APC； (2）求证：平面 ABC平面 APC；(3）若
9、 BC=4，AB=20，求三棱锥 DBCM 的体积【答案】 （1）由已知得， MD是 ABP 的中位线 APMDAPCD面面 ,面(2） PB为正三角形，D 为 PB 的中点 B，又 A, 面 C面BAP又 B, C面 面平面 ABC平面 APC (3）由题意可知， PBMD面， D是三棱锥 DBCM 的高，7103ShVDBCM22如图，在四面体 PABC 中， PC AB、 PA BC，点 D、 E、 ， F、 G 分别是棱 AP、 CC、 BC、 PB 的中点(1)求证： DE平面 BCP；(2)求证：四边形 DEFG 为矩形；(3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离
10、相等？说明理由【答案】(1)因为 D， E 分别为 AP， AC 的中点，所以 DE PC，又因为 DE平面 BCP， PC平面 BCP，所以 DE平面 BCP.(2)因为 D， E， F， G 分别为 AP， AC， BC， PB 的中点，所以 DE PC FG， DG AB EF，所以四边形 DEFG 为平行四边形，又因为 PC AB，所以 DE DG，所以四边形 DEFG 为矩形(3)存在点 Q 满足条件，理由如下：连接 DF， EG，设 Q 为 EG 的中点，由(2)知， DF EG Q，且 QD QE QF QG EG，12分别取 PC， AB 的中点 M， N，连接 ME， EN，
11、 NG， MG， MN.与(2)同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线交点为 EG 的中点 Q，且 QM QN EG，12所以 Q 为满足条件的点23如图，矩形 BCC1B1所在平面垂直于三角形 ABC 所在平面，且BB1 CC1 AC2， AB BC 又 E， F 分别是 C1A 和 C1B 的中点2(1)求证： EF平面 ABC；(2)求证：平面 EFC1平面 C1CBB1.【答案】(1)在 C1AB 中， E， F 分别是 C1A 和 C1B 的中点， EF AB， AB平面 ABC， EF平面 ABC， EF平面 ABC.(2)平面 BCC1B1平面 ABC，且 BCC1B1为矩
12、形， BB1 AB，又在 ABC 中， AB2 BC2 AC2， AB BC， AB平面 C1CBB1，平面 EFC1平面 C1CBB1.24如图，棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形， AC BD O，侧棱 AA1 BD，点 F 为 DC1的中点(1)证明： OF平面 BCC1B1；(2)证明：平面 DBC1平面 ACC1A1.【答案】(1)四边形 ABCD 为菱形且 AC BD O， O 是 BD 的中点又点 F 为 DC1的中点，在 DBC1中， OF BC1， OF平面 BCC1B1， BC1平面 BCC1B1， OF平面 BCC1B1.(2)四边形 ABCD 为菱
13、形， BD AC，又 BD AA1， AA1 AC A，且 AA1， AC平面 ACC1A1， BD平面 ACC1A1. BD平面 DBC1，平面 DBC1平面 ACC1A1.25如图所示，已知 P、 Q 是单位正方体 ABCD A1B1C1D1的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心求证： PQ平面 BCC1B1.【答案】证法一：如图取 B1B 中点 E， BC 中点 F，连接 PE、 QF、 EF， A1B1B 中， P、 E 分别是 A1B、 B1B 的中点， PE 綊 A1B1.12同理 QF 綊 AB.12又 A1B1綊 AB， PE 綊 QF.四边形 PEFQ 是平行四边形 PQ
14、 EF.又 PQ平面 BCC1B1， EF平面 BCC1B1， PQ平面 BCC1B1.证法二：如图，连接 AB1， B1C， AB1C 中， P、 Q 分别是 A1B、 AC 的中点， PQ B1C.又 PQ平面 BCC1B1，B1C平面 BCC1B1， PQ平面 BCC1B1.26如图，长方体 1DCBA中，DA=DC=2， 31，E 是 1DC的中点，F 是CE 的中点。(1）求证：(2）求证：【答案】(1)连接 AC 交 BD 于 O 点，连接 OF，可得 OF 是 ACE 的中位线， OF AE，又 AE平面 BDF， OF平面 BDF，所以 EA平面 BDF.(2)计算可得 DE
15、DC2，又 F 是 CE 的中点，所以 DF CE，又 BC平面 CDD1C1，所以 DF BC，又 BC CE C，所以 DF平面 BCE，又 DF平面 BDF，所以平面 BDF平面 BCE.27已知四棱锥 P ABCD 的直观图和三视图如图所示， E 是 PB 的中点(1)求三棱锥 C PBD 的体积；(2)若 F 是 BC 上任一点，求证： AE PF；(3)边 PC 上是否存在一点 M，使 DM平面 EAC，并说明理由【答案】(1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 和 1 的矩形，侧棱PA平面 ABCD，且 PA2， VC PBD VP BCD 122
16、13 12 23(2)证明： BC AB， BC PA， AB PA A. BC平面 PAB， BC AE，又在 PAB 中， PA AB， E 是 PB 的中点， AE PB.又 BC PB B， AE平面 PBC，且 PF平面 PBC， AE PF.(3)存在点 M，可以使 DM平面 EAC.连结 BD，设 AC BD O，连结 EO.在 PBD 中， EO 是中位线 PD EO，又 EO平面 EAC， PD平面 EAC， PD平面 EAC，当点 M 与点 P 重合时，可以使 DM平面 EAC.28如图，已知在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC， D 为 AB 的中点， AC
17、BC BB1.(1)求证： BC1 AB1；(2)求证： BC1平面 CA1D.【答案】如图，以 C1点为原点， C1A1， C1B1， C1C 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系设 AC BC BB12，则 A(2,0,2)， B(0,2,0)， C(0,0,2)， A1(2,0,0)， B1(0,2,0)，C1(0,0,0)， D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，所以0440，因此，故 BC1 AB1.(2)取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以 ，12且 ED 和 BC1不共线，则 ED BC1，又 DE平面 CA1D， BC1平面 CA1D，故 BC1平面 CA1D.
