1、1,第三章 函数逼近,2,3.1 函数逼近的基本知识,函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）,第三章 第一节,对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近，逼近函数是不同的.,3,通常叫做数量乘法。,4,5,1，向量空间,几种线性空间,2，多项式空间,3，连续函数空间,4，,5,6,范数,例如,7,赋范线性空间,8,内积,内积空间,Cauchy-Schwarz不等式,9,例如,1,2,10,3,内积导出的范数,11,(2),则称其为区间a,b上的权函数.,(3)a,b非负连续函数,12,定义2 如果函数f(x), g(x) 在a,b上连续,满足,3.2
2、 正交多项式,13,上述是正交化过程,14,(1)它们是次数不超过n的多项式。,15,2 常见的正交多项式系,（1）勒让德多项式,16,17,18, 三项递推关系,19,对零的平方误差最小,20,定义1 Chebyshev多项式,称Tn(x)=cos(n arccosx),|x|1为n次Chebyshev多项式,Chebyshev多项式及其性质,21,Chebyshev多项式的性质,性质1 n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系 ： T0(x)=1,T1(x)=x, Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,.,22,性质2 n次Chebyshev多项式Tn(x)的首
3、项系数为,23,性质3 正交性。Tn(x)在-1,1上是关于权(1-x2)-1/2 正交多项式系,且,24,性质4,性质5,当 时， 交错取到极大值 1 和极小值1，即,25, 显然 是首项系数为1的n次Chebyshev多项式. 又若记 为一切定义在，上首项系数为1的n次多项式的集合,26,函数逼近问题,举例 对被逼近函数f(x)=sqrt(x）,在区间 ，上按如下三种不同的逼近方式求其形如p1(x)=ax+b 的逼近函数.,27,解 （1)按插值法，以x00, x1为插值节点对f(x) 作一次插值所得形如(1)式的p1(x)是p1(x)=x., 按下列的距离定义 dis(f(x),p1(x
4、)=f(x)-p1(x)=max|f(x)-p1(x)|的意义下，在P，中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p1(x)是 p(x)=x+1/8.,按距离 dis (f(x),p(x) =f(x)-p1(x) =(01f(x)-p(x)dx) 1/2的意义下，在P，中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的 p(x)是 p(x)=4/5x+4/15,28,可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.,29,最佳一致逼近 多项式,在 意义下，使得 最小。,偏差,在Pna,b中，是否存在一个元素pn(x)，使不等式 f(x)-p*n(x)f(x)-pn(x) (1) 对任
5、意的pn(x)Pna,b成立?,30,一、 最佳逼近多项式的存在性,定理 对任意的f(x)Ca,b，在Pna,b中都存在对f(x)的最佳一致逼近元，记为p*n(x)，即成立.最小偏差。,31,定义(交错点组) 若函数f(x)在其定义域的某一区间a,b上存在n个点xkn k=1，使得 |f(xk)|=max|f(x)|=f(x)，k=1，2，n; -f(xk)=f(xk+1)，k=1,2,，n-1, 则称点集xkn k=1为函数f(x)在区间a,b上的一个交错点组，点xk称为交错点组的点.,二 最佳一致逼近多项式的充要条件,32,定理 (Chebyshev定理）pn*(x)Pna,b为对f(x)
6、Ca,b的最佳一致逼近多项式的充要条件是误差曲线函数f(x)- pn*(x) 在区间a,b上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组.,即存在点集 a x1 xn+2 b 使得,33,证明充分性,用反证法. 设f(x)- pn(x)在a,b上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组，但pn(x)不是最佳一致逼近多项式. 不妨设Hna,b 中的多项式qn(x)为最佳一致逼近多项式，即 f(x)-qn(x)f(x)-pn(x). (4) 令 Q(x) = pn(x) -qn(x)=f(x)-qn(x)-f(x)- pn(x) 记x1*, x2*, xn+2*为误差曲线函数f(x)- pn(x)在a,b
7、上的交错点组，,34,由(4)式可知n次多项式Q(x)在点集x1*, x2*, xn+2*上的符号完全由f(x)- pn(x)在这些点上的符号所决定， x1*, x2*, xn+2* 为f(x)-pn(x)的交错点组，即f(x)- pn(x) 在这n+2个点上正负(或负 正)相间至少n+1次，从而至少n+1次改变符号，故Q(x)也至少n+1次改变符号，说明n次多项式Q(x)至少在a,b上有n+1个根，矛盾. 即必有 f(x)- pn(x)f(x)-qn(x).,35,三、关于最佳一致逼近多项式的求解,36,37,（1） 当f(x)为，上的n+1次多项式时，求f(x)在Pn,中的最佳一致逼近多项
8、式. 不妨记f(x)=b0+b1x+ bn+1xn+1,|x|1,且设bn+10 ，pn(x)为最佳一致逼近元.由于首项系数为1的n+1次Chebyshev多项式Tn+1(x)无穷模最小，,考虑两种特殊情形,38,例1 设f(x)=4x42xx8x-5/2， |x|1. 求f(x)在P3-1,1中的最佳一致逼近多项式p3(x).,与零的偏差最小。,解 所求的最佳逼近多项式 应该满足：,所以,39,对区间为a,b的情形， 作变换 x=(b-a)t/2+(b+a)/2 (6) 后，对变量为t的多项式用(5)式求得pn(t)，然后再作(6)式的反变换得到a,b上的最佳一致逼近多项式.,40,（2）逼
9、近多项式为低次多项式时,关于交错点组的定理,定理, 设pn*(x)Pna,b为对f(x)Ca,b的最佳一致逼近多项式. 若f(n+1)(x)在区间a,b上不变号，则x=a和b为误差曲线函数f(x)-pn(x)在区间a,b上交错点组中的点.,41,证 用反证法. 若点a (点b类似)不属于交错点组，那么在区间(a,b)内至少存在n+1个点属于交错点组. 若f(x)足够光滑，由交错点组的定义，可以证得(a,b)内的交错点必为误差曲线函数f(x)-pn*(x)的驻点，,即区间(a,b)内n+1个交错点上， f(x)-pn*(x) 的一阶导数等于零. 这样，由Rolle定理便可推得在(a,b)内至少存
10、在一点 ，使得f (n+1) ( ) =0.,这与f(n+1)(x)在a,b上不变号 则f(n+1)(x)无零点矛盾，故点x=a属于交错点组.,42,推论1,设pn*(x)Pna,b为对f(x)Ca,b的最佳一致逼近元. 若f(n+1)(x)在区间(a,b)上不变号，但在x=a (或b)处不存在(但为无穷)而符号与(a,b)内f(n+1)(x)的符号相同，则x=a(或b)属于f(x)-pn*(x)的交错点组.,43,例2设f(x)= x. 求在P10,1中对f(x)的最 佳一致逼近元.,解 由定理和推论1可知x=0,1为f(x)-p1*(x)交错点组的点.,由定理，交错点还差一个，,记这个点为
11、x1（，）. x ，x.,x为区间(0，1)内的交错点，所以x就是误差曲线函数 f(x)- p1*(x)的驻点 .,记 p1*(x)=aax，,由x-(a0+a1x)x，可得,44, x1/(2a).,p1(x)x+1/8 为所求在P10,1中对f(x)= x 的最佳一致逼近多项式.,因为x=0,1为交错点，由x-(a0+a1x)x=0x-(a0+a1x)x=1 得 a1=1,将a代入x1/(2a)得x1/4. 再由,x-(a0+a1x)x1=1/4-x-(a0+a1x)x2=1,得a1/8，故,45,3.3 最佳平方逼近多项式,称满足上式的 为 f(x) 在区间a,b 上的最佳平方逼近多项式
12、。,46,称为正规方程组或法方程。,47,48,49,式(14)是关于 的线形方程组用矩阵表示为,50,（15）,方程组(15)的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。,51,从式(14)中解出 (k=0,1,2,n)，从而可得最佳平方逼近多项式,若 a,b=0,1， 则,52,方程组(15)的系数矩阵为,称为希尔伯特（Hierbert）矩阵。以后，不特别声明，均取,53,例1 求f(x)= 在区间0，1上的二次最佳平方逼近多项式,解：,54,得正规方程组,解得 所以,55,用 作基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，系数矩阵可能是病态矩阵，,求正规方程组的解，舍入误差会很大,这时选正交
13、多项式为基，就可避免这种情况。,56,若取 ,若取 为区间a,b上的正交多项式，系数矩阵为对角矩阵，解为,57,58,例2 求 在区间-1,1上的三次最佳平方逼近多项式,解 取勒让德多项式系中 为基，则,59,60,得,所以,61,62,3.4曲线拟合最小二乘法,一、 线性最小二乘拟合,S(x)关于参数ai是线性的.,63,二、最小二乘法的基本原理,具体的做法是求 S(x) 使,64,1.定义 对给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,m),在上述集合中求S(x),使其满足,这就是一般的线性最小二乘拟合问题.,65,2.求法,由多元函数求极值的必要条件, 可得,66,记,则,67,可用矩阵表
14、示为：,68,69,70,例1 测得铜导线在温度 时的电阻 如表1，求电阻R与温度T的近似函数关系R=a0+a1T。,表1,71,列表如下,72,故得R与T的拟合直线为 R=70.572+0.921T,正规方程组为,解方程组得,73,利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线 的电阻值。例如由R=0 得T= ，即预测温度 时，铜导线无电租。,R=70.572+0.921T,74,75,76,得正规方程组,解得,故拟合多项式为,77,78,79,80,利用正交函数作最小二乘拟合原理 (1)正交函数的概念,三、正交多项式的曲线拟合,81,(2)利用正交函数作最小二乘拟合,82,3)勒让得(Legendre)多项式,83,定理 设函数族 0(x)， 1(x)， n(x)是关于点集xi和权wi (i=0，1，m)的一组正交多项式，且 k(x)是k次多项式，其最高次项xk的系数为1 (k=0，1，2，n)，则相邻三项有如下递推关系,84,85,86,3.5 有理函数逼近,87,帕德逼近,88,89,（7.7）,（7.11）,
