1、第三章 导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率1.已知函数 y=f(x)= ,那么当自变量 x 由 2 变到 时,函数值的增量 y 为( )A. B.- C. D.-答案:y=f -f(2)= .答案:C2.在曲线 y=x2+x 上取点 P(2,6)及邻近点 Q(2+x,6+y),那么 为( )A.2+x B.2x+(x)2C.x+5 D.5x+(x)2解析:因为 y=(2+x)2+(2+x)-6=(x)2+5x,所以 =x+5,故选 C.答案:C3.某地某天上午 9:20 的气温为 23.40, 下午 1:30 的气温为 15.90,则在这段时间内的气温变化率为( )A.0.0
2、3 /min B.-0.03 /minC.0.003 /min D.-0.003 /min解析: =-0.03.答案:B4.一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为 s=3+t2,则在一小段时间 2,2.1内相应的平均速度为( )A.3 B.4 C.4.1 D.0.41解析:利用求平均变化率的方法和步骤来解决 .s=(3+2.12)-(3+22)=0.41,t=2.1-2=0.1,所以 =4.1.答案:C5.函数 f(x)=x2 在 x0 到 x0+x 之间的平均变化率为 k1,在 x0-x 到 x0 之间的平均变化率为 k2,则k1,k2 的大小关系是( )A.k1k2C.k1=k2 D.
3、无法确定解析:k 1= =x+2x0,k2= =2x0-x,k1-k2=(x+2x0)-(2x0-x)=2x,x 符号不确定,故无法确定 k1 与 k2 谁大.答案:D6.已知函数 f(x)=ax+b 在区间1,8上的平均变化率为 3,则实数 a= . 解析:平均变化率 =a=3.答案:37.已知函数 y=x3,当 x=1 时, = . 解析:因为 y=(1+x)3-13=(x)3+3(x)2+3x,所以 =(x)2+3x+3.答案:(x) 2+3x+38.设某产品的总成本函数为 C(x)=1100+ ,其中 x 为产量数,生产 900 个单位到 1000 个单位时总成本的平均变化率为 . 解
4、析: .答案:9.求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间 x0,x0+x上的平均变化率,并求当 x0=2,x=0.1 时平均变化率的值.解:函数 y=f(x)=3x2+2 在区间 x0,x0+x上的平均变化率为= =6x0+3x.当 x0=2,x=0.1 时,函数 y=3x2+2 在区间2,2.1上的平均变化率为 62+30.1=12.3.10.已知气球的体积为 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V(r)= r3.(1)求半径 r 关于体积 V 的函数 r(V).(2)比较体积 V 从 0L 增加到 1L 和从 1L 增加到 2L 半径 r 的平均变化率;哪段半径变化较快(精确到 0.01)?此结论可说明什么意义?解:(1) 因为 V= r3,所以 r3= ,r= ,所以 r(V)= .(2)函数 r(V)在区间0,1上的平均变化率约为 0.62(dm/L),函数 r(V)在区间1,2 上的平均变化率约为 0.16(dm/L).显然体积 V 从 0L 增加到 1L 时, 半径变化快,这说明随着气球体积的增加 ,气球的半径增加得越来越慢.
