1、1,第八课时,指数与指数函数,第三章 基本初等函数（）,1 根式的概念如果 ，那么x叫做a的n次方根.当n为奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 ；当n为偶数时，正数的n次方根有 ，它们互为 .,2,xn=a,正数,负数,两个,相反数,2有理数指数幂（1）正数的正分数指数幂的意义是 = （a0，m,nN*，n1）.（2）正数的负分数指数幂的意义是 = （a0，m,nN*，n1）.（3）0的正分数指数幂是 ，0的负分数指数幂无意义. （4）有理数指数幂的运算性质 aras= （a0，r、sQ）；,3,0,ar+s,（ar）s= （a0，r、sQ）； （ab）r= （a0,b0,r
2、Q）.3指数函数的图象与性质函数 叫做指数函数，它的定义域是 ，值域是 ，其图象过定点 .若a1，则指数函数为 ；若0a1，则指数函数为 .,4,ars,arbr,y=ax（a0且a1）,R,（0，+）,（0，1）,增函数,减函数,1.下列等式中正确的是（ ）A. B. C. D.,5,B,2.定义运算：ab= 如12=1.则函数f（x）=2x2-x的值域为（ ）A.R B.（0，+）C.（0，1 D.1，+）因为f（x）=2x2-x= 所以f（x）（0，1，选C.,6,3.以下函数中，值域是（0，+）的是（ ）A. B. C. D. 在C中，当x=0时，则y=0；在D中，当x=0时，y=0，
3、从而排除C、D；在A中， ，所以y1，故排除A，应选B.,7,4. = .原式=5.若f（52x-1）=x-2,则f（125）= .令52x-1=125，即52x-1=53，则2x-1=3，所以x=2,故f（125）=0.,8,1.指数幂的概念及运算（1） = ；已知 ，则x+x-1= .（2）已知3a+2=18，31-b= ,则a-b= .,9,2-x,7,3,（3）代数式 （n1,且nN*）对任意aR都是有意义的，当n为奇数时， = ;当n为偶数时， = .2.指数函数的图象与性质（1）若函数y=ax（a0,且a1）在 0，1上的最大值与最小值的和为3， 则a= .,10,|a|,a,2,
4、（2）函数y=ax-3+2（a0,且a1）的图象过定点，这个定点的坐标是 .（3）若函数y=ax+2+b（a0,且a1）的图象与x轴、y轴的交点分别为（-1,0）、（0,2），则a-b= .（4）若函数 的图象不经过第一象限，则b的取值范围是 .,11,（3，3）,4,（-,-12,（5）若函数y=ax（a0,且a1）的图象与函数 的图象关于y轴对称，则a= .3.指数函数的理解和应用（1）函数 的值域为 .（2）若x1、x2是方程 的两个实数根，则x1+x2= .,12,2,0,（1,+）,（3）给出下列关系： （）f（x+y）=f（x）f（y）； （）f（xn）=f（x）n； （）f（nx
5、）=nf（x）； （） （） （）f（xy）=f（x）+f（y），其中能反映指数函数f（x）=ax的特征的有 （填写所有正确的序号）,13,（）（）,题型1 指数与指数幂的运算（1）计算： （2）已知 求 的值.,14,（1）原式= （2）由 ，得x+x-1=7，两边再平方得x2+x-2=47.又因为 所以原式,15,【评注】熟练运用多种运算性质，特别是把根式运算化为指数幂的运算，是解决问题的关键.运算结果（除规定外）一般用指数幂表示，如 应表示为 .运算中，同类字母间作运算.分数指数幂的和式运算中两边平方是常用的技巧.,16,设 ，若0a1,则f（a+a-1）= .函数f（x）的定义域为D=
6、（-,-22,+）. 又0a1，所以a+a-1D. 因为（a+a-1）2-4=a2-2+a-2=（a-a-1）2, 所以f（a+a-1）=|a-a-1|=a-1-a.,17,a-1-a,题型2 指数函数的图象与性质设f（x）=2x+a2-x-1（aR）.（1）当a0时，证明：f（x）是R上的增函数；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，求g（x）的表达式.（1）证明：设x1x2，,18,则因为af（x1），所以f（x）是R上的增函数.（或用导数法：y=ln22x = ln2（2x ）0（a0）.,19,（2）设点（x,y）在y=g（x）的图象上，令它关于直线x=1的对
7、称点为（x0,y0），因为y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，所以y0=2x0+a2-x0-1，于是y=22-x+a2x-2-1.故g（x）=22-x+a2x-2-1.,20,则,【评注】抓住单调函数的定义，掌握指数函数的运算性质和指数函数的单调性是问题解决的三个重要知识点.求点关于直线x=c的对称点，设点（x,y），利用中点坐标公式可以求出它关于直线x=c对称的点为（2c-x,y）.,21,函数f（x）是R上的奇函数，且 有最小正周期2.当x（0,1）时， （1）求f（x）在（-1,1）上的解析式；（2）证明：f（x）在（0,1）上是减函数.（1）设-1x0，则0-x1，,2
8、2,所以 因为f（-x）=-f（x），所以 又f（0）=0，故,23,（2）证明：令00，所以2x1+x2-10，且2x12x2， 于是f（x2）f（x1）. 故函数f（x）在（0,1）上是减函数.,24,题型3 利用指数函数的性质比较实数的大小比较下列各组实数的大小. （1） （2）1.70.3,0.93.1; （3）40.9,80.48,25,（1）由函数 的单调性得 由指数函数的单调性得 所以（2）因为1.70.31,0.93.10.93.1.（3）因为40.9=21.8,80.48=21.44,（ ）-1.5=21.5， 所以由指数函数的单调性得40.9（ ）-1.580.48.,26
9、,【评注】（1）（2）两组数据的底数不同，指数也不同，常见方法是寻找中间量，（1）题，由数的特点，知 是合适的中间量；（2）题，根据指数函数的性质，1是最合适的中间量；（3）题，可转化为同底的指数幂的大小比较，只需应用指数函数的单调性.,27,（1）比较60.7与0.76的大小；（2）若a、b、c都是大于1的正数，且ax1,0.760.76.（2）设d1，则y=dx是增函数，对于x0，当d增大时，函数值也增大.对于x0时，由axbxcx，得abc；当x0时，由axbxcx，得cba.,28,题型4 指数函数的应用若函数y=a2x+2ax-1（a0,且a1）在区间-1,1上的最大值是14，求a的
10、值.设t=ax，则函数化为关于t的函数 f（t）=t2+2t-1=（t+1）2-2（t0）.当a1时，a-1ta，ymax=a2+2a-1=14，解得a=3或a=-5（舍去）;当0a1时，ata-1，ymax=（a-1）2+ 2a-1-1=14，解得a= 或a= （舍去）.故所求a的值为3或 .,29,【评注】将复杂的数学问题转化为熟知的数学问题是数学化归思想的体现.换元法在数学化归思想中占有重要的地位.本题换元后，将函数转化为f（t）=t2+2t-1（t0），使题目的结构一下子变得清晰起来，因为二次函数在闭区间上存在最值是我们熟悉的问题.转化中要保证问题的等价性，一是由t=ax，需要根据函数
11、ax的单调性找出t的取值范围，二是需要分a1和0a1两种情况进行讨论.,30,已知函数y=1+2x+a4x，当x1时，恒有y0，求实数a的取值范围.由1+2x+a4x0，得 （x1）恒成立. 令,31,设t=（ ）x,则函数转化为f（t）=-（t+ ）2+ ，t ,+）.所以f（t）max=f（ ）= .所以a ，即实数a的取值范围是（ ,+）.,32,1.指数与指数运算由整数指数幂推广到有理数指数幂，有两个重要的知识点需要掌握：一是根式的定义和性质；二是分数指数幂的意义.在根式中， （n1，且nN*）总是有意义的，当n为奇数时， =a;当n为偶数时， =|a|，应当注意， ；,33,在分数指
12、数幂中， ，即分数指数幂与根式是能互相转化的；为确保 有意义，对a作了规定“a0”，对于 ，当n为偶数时，其值有两个.下列错误注意防范：（1）因为x4=16，所以x=2；（2） =2；（3） =x；（4） =x；（5）因为x5=32，所以x=2.,34,2.指数函数的概念（1）指数函数y=ax是说明性定义，注意两点：一是底数范围的规定“a0且a1”，二是式子ax没有被其他元素复合，如y=2ax, y=ax-1,y= ,y=ax+1等都不是指数函数.但要注意：对某些关系式，如y=22x,y= 等通过化简后可转化为y=ax的形式的，是指数函数.,35,（2）讨论指数函数问题时，由于a1与01时，是
13、R上的增函数；当0a1时，是R上的减函数，值域为（0,+），函数图象恒过定点（0,1），图象以x轴为渐近线；其次函数y=ax与函数y=a-x的图象关于y轴对称.,36,1.（2008辽宁卷）将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象，则（ ）A. a=（-1,-1） B. a=（1,-1）C. a=（1,1） D. a=（-1,1）将y=2x+1的图象先向左平移1个单位长度得y=2x+1+1的图象，然后将其向下平移1个单位长度得到y=2x+1的图象.答案：A,37,2.（2009山东卷）函数 的图象大致为（ ）因为 所以当x0时,函数为减函数.答案：A,38,3.（2009广东卷）若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（ ）A.log2x B. C. D.2x-2函数y=ax（a0，且a1）的反函数是f（x）=logax（a0，且a）. 又f（2）=1,即loga2=1,所以a=2. 故f（x）=log2x.答案：A,39,试题透析 指数函数命题的背景主要是它的性质，往往是通过不等式、方程的应用来研究定义域、值域、单调性和最值，其中兼顾考查指数及指数的运算性质，大多为选择题和填空题.解答题中，由于指数函数的包容性较强，所以，一般会与其他基本初等函数结合，特别是与二次函数的结合，将问题上升为能力型的考查.,40,
