1、2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,第4章 无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,函数项级数,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,第4章 无穷级数,第1节 常数项级数 第2节 函数项级数 第3节 幂级数 第4节 Fourier级数,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,函数项级数的定义,第2节 函数项级数,（1）,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,2.1 函数项级数处处收敛性2.2一致收敛性及其判定义2.3一致收敛级数的性质,第2节
2、函数项级数,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,2.1 函数项级数处处收敛性,数项级数,定义2.1（函数项级数处处收敛性与和函数）,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,数的和函数。,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,则当,时，有,数的余项和。,显然，,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,例如，几何级数,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,例1,讨论函数项级数,的收敛性，并求其和函数。,解,书上P282例2.2,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,例
3、2,解,级数收敛,级数发散,级数发散,故级数的收敛域为（0，+）,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,因为对任意 x 都有:,所以它 在(, +)内处处收敛，,例3 函数项级数,解,求其收敛域。,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,有限项和的极限、连续、导数和积分的性质,对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？,问题的引入,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,得和函数：,该级数每一项都在0,1是连续的，,考察例1的函数项级数,和函数的连续性,因为对任意 x 都有:,所以它 在(, +)内处处收敛，,但各项求导后的级数,
4、其一般项不趋于0,所以对任意 x 都发散 .,例3 函数项级数,问题: 对什么样的函数项级数才有:,逐项连续,和函数连续;,逐项求导 = 和函数求导;,逐项积分 = 和函数积分,函数项级数一致收敛性的条件很重要！,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,?,?,?,?,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,定义2.2,2.2一致收敛性及其判定,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,解,级数收敛,级数发散,级数均发散,原级数的收敛域为,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,几何解释:,2010年2月24
5、日,19,定理2.1 （Cauchy一致收敛准则）,有,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,例4,解,余项的绝对值,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,2010年2月22日,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,例5,研究例1中的级数,在区间( 0 , 1）内的一致收敛性.,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,例5,研究例1中的级数,在区间( 0 , 1）内的一致收敛性.,解,对于任意一个自然数,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,因此级数在( 0, 1 )内不一致连续,说明:,从下图可以看出:,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,2
6、5,小结 一致收敛性与所讨论的区间有关,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,定理2.2（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）,一致收敛性简便的判别法：,也称M-判别法,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,证,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,例,证明级数,证,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,说明:,1.维尔斯特拉斯判别法也称为M判别法,2.当不易观察到不等式,可利用导数求,例如, 级数,用求导法可得,已知,收敛,因此原级数在0, +) 上一致收敛 .,2010年2月24日,南
7、京航空航天大学 理学院 数学系,30,2.3一致收敛级数的性质,?,?,?,?,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,31,定理2.3,南京航空航天大学 理学院 数学系,32,(1),(2),同样有,证,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,33,(3),由(1)、(2)、(3)可见,南京航空航天大学 理学院 数学系,34,定理2.4,(4),2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,35,证,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,36,根据极限定义，有,即,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,37,定理2.5,(5),2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,38,注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.,例如，级数,逐项求导后得级数,所以原级数不可以逐项求导,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,39,小结,1、函数项级数一致收敛的定义；,2、一致收敛级数的判别法魏尔斯特拉斯判别法；,3、一致收敛级数的基本性质；,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,40,注意: 这里(1)都必须先求得其极限函数(或和函数),
