1、第五讲 函数的定义域,教材知识整合 回归教材,1.函数的定义域是使函数的解析式有意义的实数x的集合.研究函数时应先考虑函数的定义域;常见的有:分式的分母不为零,偶次方根的被开方数大于或等于零,对数的真数大于零,底大于零且不等于1,00没意义,y=tanx的定义域为x|xR且xk kZ,当f(x)是由几个数学式子组成时,定义域是使各式都有意义的x的取值集合.对于实际问题中的函数关系,要考虑实际问题对x范围的制约.,对于复合函数的定义域,是指fg(x)中x的取值范围,在求复合函数的定义域或已知复合函数的定义域求原函数的定义域时,必须保证一条:内函数的值域等于外函数的定义域.,2.求函数的解析式常用
2、的方法有:换元法配凑法待定系数法消元法等.(1)已知fg(x),求f(x),常用换元法和配凑法. (2)已知函数的类型,求函数解析式常用待定系数法. (3)若已知条件中出现“f(x),f ”,“f(x),f(-x)”等对称形式求解析式时常用消元法.,基础自测 1.(2011江西期末测试)若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于( ) A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x 解析:f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x,故f(x)=2+2x2,f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x. 答案:C,2
3、.函数 的定义域为( )A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1,解析:由得-1x1. 答案:C,3.已知f(x)的定义域为1,4,则函数y=f(x)+f(x2)的定义域为( ) A.1,4 B.1,2 C.-2,-11,2 D.-2,2,解析:由题意得解得1x2 答案:B,4.(2010广东)函数f(x)=lg(x-2)的定义域是_.解析:由x-20得x2.答案:(2,+),5.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=_.,解析:由f(x)=x2+4x+3,得f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3
4、=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3 又f(ax+b)=x2+10x+24,答案:2,重点难点突破 题型一 求函数的解析式,(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0) 由f(0)=0,得c=0. 由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+x+1. 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1.,点评 (1)求函数的解析式常用:代入法换元法拼凑法待定系数法消元法以及赋值法等.(2)在求函数的解析式时,一定要注意函数的定义域.,答案:C,题型二 求函数的定义域 【例2】求下列函数的定义域:,点评 (1)要使解析式f(x)有意义
5、,一般注意以下问题:分母不为0;偶次方根被开方数非负;对数的真数大于0,底数大于0且不为1;tanx,cotx有意义的x的范围,每个式子均有意义,故f(x)的x取值应是各部分的交集.(2)对参数进行分类讨论,要确立分类标准,做到不重不漏.,解析: 的定义域为(0,+),结合选择支可知答案为C. 答案:C,【例3】 (1)已知f(x)的定义域为(0,2,求f(x2)的定义域; (2)已知f(x2)的定义域为(0,2,求f(x)的定义域; (3)已知f(x2)的定义域为(0,2,求f(2x)的定义域.,点评 函数的定义域就是自变量x的取值范围,求复合函数的定义域,要把握住一点,内函数的值域等于外函
6、数的定义域.,变式3:已知f(x)的定义域为(0,2,则函数y=f(3x-2)+f(log2x)的定义域为_.,题型三 已知函数的定义域,求字母的值或范围,【例4】 (1)已知 的定义域为(-,1,求a的值; (2)已知函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R,求a的取值范围.,解 (1)欲使原函数有意义,需1+3xa0, 又 的定义域为(-,1, 1+3xa0的解集为(-,1. 即:1+3xa=0的根为1,1+3a=0,a=-.,(2)当a=-1时,函数化为y=lg1有意义,定义域为R. 当a=1时,函数化为y=lg(2x+1)显然不合题意. 当a1且a-1时,由题意得,点
7、评 (1)当函数的定义域不是R时,已知函数的定义域,等于知道了使函数有意义的x的取值范围,这时常转化为不等式的解集问题,进而转化为方程根的问题. (2)当函数的定义域为R,求字母的取值范围时要结合函数的图象去求解. (3)对于最高次项系数带字母的问题,常常要分情况讨论.,变式4:函数y=lg(x2+ax+1)的定义域为R,则实数a的取值范围是a_. 解析:由题意得=a2-40,得-2a2. 答案:(-2,2),解题方法拾遗 求函数的解析式,要根据已知函数的特征性质寻找最佳的解题方案.,点评 利用函数的特征解题可使复杂问题简单化,如本例中(1),若用换元法解难度很大,但使用拼凑法就可迎刃而解了.
8、,考向精测 1.(2011安徽期末)函数 的定义域为( ) A.-4,1 B.-4,0) C.(0,1 D.-4,0)(0,1,解析:由题意得得-4x1且x0. 答案:D,2.若函数f(x)满足f(x)+2f(1-x)=x,则f(x)的解析式为_.,解析:f(x)+2f(1-x)=x f(1-x)+2f(x)=1-x -2得f(x)=-x+. 答案:f(x)=-x+,教师备课资源,1.已知函数f(x)的定义域为0,1,g(x)=f(x+a)+f(x-a)(|a|),求g(x)的定义域.,2.求下列函数的定义域.,3.若函数 的定义域为R,则m的取值范围是_.,答案:0,1,4.已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1. (1)若xN+,试求f(x)的表达式; (2)若xN+,且x2时,不等式f(x)(a+7)x-(a+10)恒成立,求实数a的取值范围.,解:(1)令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+4 f(x+1)-f(x)=2x+4 f(2)-f(1)=6 f(3)-f(2)=8 f(x)-f(x-1)=2x+2 =(x+4)(x-1)=x2+3x-4,f(x)=x2+3x-3 又f(1)=1也符合上式 f(x)=x2+3x-3(xN+).,
