1、第四章 多元函数微积分,1 多元函数的概念 2 偏导数和全微分 3 二元函数的极值 4 二重积分的概念 5 在直角坐标系下计算二重积分,1 多元函数的概念,1.1 预备知识 1.2 二元函数的定义 1.3 二元函数的极限与联系,1.1 预备知识,1.1.1 平面点集平面上满足某个条件P的一切点构成的集合。 例如：集合,表示在坐标平面上不包括圆周,的圆周内所有点的集合。,例如：集合,1.1.2 邻域,1.1.3 平面区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,区域的表示方法联立不等式表示法,A1,A2,区域D,在区域D上凡以x为横坐标的一切点的纵坐标都满足下面的不等式,0
2、,1,x,y,x,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间点的直角坐标系,1.1.4 空间曲面简介,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之相应地三,元一次方程所表示的平面被称为一次曲面,二 空间曲面,二 空间曲面,1 一次曲面（平面）,例 画出下列方程的图形：,2 二次曲面简介,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从 而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,（一）椭球面,椭球面与三个
3、坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,（二）抛物面,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与平面 的交线为椭圆.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得两条抛物线,当 变动时，这种椭圆 的中心都在 轴上。,与平面 不相交。,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均
4、可得抛物线.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,（三）双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,（ 与 同号）,双曲抛物面（马鞍
5、面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,定义,（四）柱面,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,1.2 二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,1.3 二元函数的极限与连续,一 二多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例6 讨论函数,当（x,y） (0,0)时的极限,解,当,其值随k的不同而变化，,极限不存在,二、二元函数的连续性,定义3,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,例,解,与一元函数类似，如果函数 在平面区域D内的每一个点上都联系，那么我们就说函数 在D内是连续的。 区域上连续函数的图形是一张连续的曲面。,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,
