1、开始 学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 1.一般地 ,函数 y=xa叫做 ，其中 x是自变量 ,a是常数 . 2.幂函数 y=xa具有下面性质： （ 1）所有的幂函数在区间 上都有定义，并且函数图象都通过 点 . （ 2）如果 a0，则幂函数的图象都通过点 ，并且在区间 上是增函数 . （ 3）如果 a0,即 k2-2k-3b0） ; (4) 346 . 2 )与(6 . 3 )( 34 51)54( 51)65( -1)(b . ,1.1 ,1.4 1.1 324343（ 1） , 且 1,6.36.2, 与 实际上是幂函数 y=x 在 x=6.3与 x=6.2的函数值，根据幂函数的性
2、质知函数 y=x (x0)是增函数，即 (6.3) (6.2), (-6.3) (-6.2) . 34( 6 . 2 )6 . 2 )( 3434( 6 . 3 )6 . 3 )( 3434346.3)( 346.2)( 343434 34 34 34返回 （ 2） ，而 ， 则 , （ 3） 0,而 (a-1)=a-,(b)-1=b-, a-0, 定义域 (0,+)不关于原点对称，为非奇非偶函数 . （ 3） y= , x R, 满足 f(-x)=f(x),f(x)为 R上的偶函数 . 23x 3xxx121 3 434 xx 返回 学点四 幂函数的单调性 证明：幂函数 f(x)= 在 0,
3、+)上是增函数 . x【 分析 】 由函数单调性定义作出证明 . 【 证明 】 任取 x1,x2 0,+)，且 x10, 所以 f(x1)0,x1x20, f(x1)-f(x2)0, 即函数 f(x)在 (0,+)上单调递减 . 12x22x12x2112 )(2xxxx 212112 )2)(xxxxxx 22x学点五 幂函数的简单应用 （ 1）已知 (0.71.3)mx ，求 x的取值范围 . 32 53【 分析 】 根据幂函数图象、单调性比较大小 . 【 解析 】 （ 1） 根据幂函数 y=x1.3的图象知当 01时 ,y1， 1.30.71,于是有 0.71.30时，随着x增大，函数值
4、也增大， m0. 返回 （ 2） 函数 y=x 与 y=x 的定义域都是 R， y=x 的图 象分布在第一、二象限； y=x 的图象分布在第一、三象限 . 当 x (-,0)时， x x ; 当 x=0时，显然不合题意； 当 x (0,+)时， x 0,x 0, =x 1, x1. 即 x1时， x x . 综上所述，满足条件的 x的取值范围为 x|x1. 【 评析 】 由幂函数不等式求变量范围，实质上仍是对图象与单调性的考查 . 32 53 32533253325332xx15132 53返回 已知幂函数 y= (m N*)的图象关于 y轴对称，且在 (0,+)上 ,函数值随 x的增大而减小，求满足 的 a的取值范围 . 33 2 a )-(31)(a mm 3-2m-m2x根据条件确定 m的值，再利用幂函数的增减性求 a的取值范围 . 函数在 (0,+)上递减， m2-2m-33-2a0或 0a+13-2a或 3-2a0a+1,解得 1时，在第一象限为下凹的； （ 2）当 0 1时，在第一象限为上凸的； （ 3）当 0时，在第一象限为下凹的 . 4.幂函数的单调性与奇偶性 （ 1）单调性要由 的取值范围确定； （ 2）奇偶性讨论：由于我们主要研究指数为分数的幂函数，因而先将其化为根式，再由奇偶性定义判断 . 返回
