1、第三章 复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念 3.1.1积分的定义 有向曲线 平面中带有方向的曲线 称为有向曲线，若规定起点到终点为正方向，那么从终点到起点的方向就为负方向，相应的曲线记为 ，简单闭曲线的正方向规定为当曲线上的点P顺此方向沿曲线前行时，邻近P点的曲线内部始终位于点P的左方，与之相反的方向就是曲线的负方向.,积分定义 设函数 定义在区域 内， 为区域 内起点为 终点为 的一条光滑的有向曲线，把曲线任意分成 个弧段，设分点为是弧段 上任意一点，若不论对 的分法和对 的取法如何，当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值 趋于零时，和式的极限唯一存在，则称此极限为函数 沿曲线 从
2、到 的积分，记作 ，,即如果 为闭曲线，那末沿此闭曲线的积分记作 . 3.1.2 积分存在的条件及其计算方法 1) 当 是连续函数且 是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。 2) 可以通过两个二元实变函数的积分来计算。,设 由参数方程 给出，则若 是由 等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，则定义今后所讨论的积分，若无特殊说明，总假定被积函数是连续的，曲线 是按段光滑的.,例1计算 ，其中 为从原点到点 直线段。,解 直线的方程可写成 ，,或,于是,又因为,容易验证，右边两个线积分都与路线 无关， 所以 的值无论 是怎样的曲线都等于,例2计算 ，其中 为以 中心， 为半径的正向
3、圆周, 为整数.,解: 的方程可写成,所以,因此,例3计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，1）的线段：,解,例4计算 的值，其中 为沿从（0，0）到 （1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线 段所连结成的折线。,解,3.1.3 积分的性质 从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.1、 ；2、3、 ；4、设曲线 的长度为 ，函数 在 上满足 ，那么,3.2 柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理 如果函数 在单连通域 内处处解析，那末函数 沿 内的任何一条封闭曲线的积分值为零。即,3.3 基本定理的推广复合闭路定理 闭路变形原
4、理在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 复合闭路定理 设 为多连通域 内的一条简单闭曲线，是在 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以 为边界的区域全含于 .,如果 在 内解析，那么1） 其中 及 均取正方向;2) 这里 为由 及 所组成的复合闭路（其方向是： 按逆时针进行， 按顺时针进行）. 例如：根据闭路变形原理，例2中包含 的任何一条正向简单闭曲线 都有：,例3.3.1 计算 的值， 为包含圆周 在内的任何正向简单闭曲线.,解：函数 有两个奇点 和 ，,在 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周 与 ， 只包含奇点 ， 只包含 ，,那末根
5、据复合闭路定理，有,3.4 原函数与不定积分 定理一 如果函数 在单连通域 内处处解析，那么积分 与连结起点及终点的路线 无关. 由定理一，积分 在 内确定了一个单值函数 ，即 定理二 如果 在单连通域 内处处解析，那么函数 必为 内的一个解析函数，并且,定义 如果函数 在区域 内的导数等于 ，即 ，那么称 为 在区域 内的原函数.的任意两个原函数相差一个常数. 定义 的原函数的一般表达式（其中 为任意常数.）为 的不定积分，记作定理三 如果 在单连通域 内处处解析，为 的一个原函数，那么这里 为域 内的两点.,从定理三可以看出，用牛顿莱布尼兹公式计算积分，首先，要看积分上、下限的两点是否可以
6、包含在一个单连通域内，且被积函数是否在该单连通域内解析；其次，要易于求出被积函数的原函数。 例1 求积分 解：,例2 求积分 的值.,解：函数 在全平面内解析，容易求得 它有一个原函数 ，所以,例3 计算积分,解：因为 在复平面上处处解析，,所以,练习：计算积分 （1） ； （2） ； （3） ； （4）计算积分 的值，C是0到的摆线： .,解： （1） ； （2） ； （3）0； （4）注意到积分与路径无关.,3.5 柯西积分公式 定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域D内处处解析， C为内D的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D , 为C内的任一点,那末 (3.5.1) 公式(3.5
7、.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.,例3.5.1 求下列积分： 1） ；2）,解：1） ；,2）,3.6 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理 定理 解析函数 的导数仍为解析函数,它的n 阶导数为:其中 C 为在函数 的解析区域D内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于D.,高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分.,例3.6.1
8、 求下列积分的值，其中C为正向圆周,1） ；2）,解：1）函数 在C内的 处不解析， 但 在C内处处解析.故有,2）在C内以 为中心作正向圆周 ，以 为 中心作正向圆周 ，则根据复合闭路定理有,Morera定理 设函数 在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线C都有 ，那么在B内解析. 练习：计算积分 ，C为以下曲线： 1） ；2） ；3） .,解： 有两个奇点 ， ，,1） 在 内有一个奇点 ，故,2） 在 内有一个奇点 ，故,3） 在 内有两个奇点 ， ，故,3.7 解析函数与调和函数的关系 调和函数 如果二元实变函数 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程那么称 为区域
9、D内的调和函数. 定理 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数.,共轭调和函数 设 为区域D内给定的调和函数，我们把使 在D内构成解析函数的调和函数称为 的共轭调和函数.在D内满足柯西黎曼方程 的两个调和函数中， 为 的共轭调和函数. 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,例1 证明 为调和函数，并求 其共轭调和函数 和由它们构成的解析 函数.,证明：1）只须证明 .,2）利用柯西黎曼方程应用偏积分的方法 可得 .,从而可得一个解析函数,这个函数可化为 .,方法2：因 ，,故 ，从而,故 .,其中c为任意纯虚数，这是因为 的实部 为已知函数，不可能包含实的任意常数.,例2 已知一调和函数 ， 求一解析函数 ，使 .,解：类似例1可得,从而可得,由 ，得 ，所以所求解析函数为,
