1、Click to edit Master subtitle style* 1Click to edit Master title styleLOGO 数学模型 DVD在线租赁问题数学模型华东理工大学数学系 鲁习文问题提出 1问题分析 2假设条件 3模型建立与求解 4模型评价 5DVD在线租赁问题数学模型 DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 随着信息时代的到来 ,电子商务已成为一个重要的商业途径。在线 DVD租赁就是其中一种典型的经营方式，但在实际的经营过程中还是存在很多问题。下面我们从复杂的现实情况中考虑一个典型的情景。鉴于业务量的考
2、虑，网站有必要采用会员制度，顾客需缴纳一定数量的月费成为会员。会员对哪些 DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就能立即了解他们的需求，并通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单内容包括他对哪几张 DVD感兴趣，对不同的 DVD的偏爱度，用数字表示。这些 DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2次，每次获得 3张 DVD。会员看完 3张 DVD之后，只需要将 DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。问题提出 DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 为深入研究网站的经营策略，我们
3、从以下几个角度由浅入深得进行考察：1）至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD的会员中 至少 50%在一个月内能够看到？若要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到呢？1、由于 DVD的更新速度很快，网站必须时常更新现有产品，因此在现有会员中随机抽取 1000个会员进行调查，以得知愿意观看不同 DVD的人数（表 1.1给出了其中 5种 DVD的数据）。虽然网站规定每位会员每月只能借两次 DVD，但从历史数据显示， 60%的会员每月租赁 DVD两次，而另外的 40%只租一次。现在我们假设网站现有 10万个会员，并已经知道会员对 DVD的需求，以及会员每月订 DVD的规律。问题是应该至少准备多
4、少张，才能保证希望看到该 DVD的会员中至少 50%在一个月内能够看到？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到呢？DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5愿意观看的人数 200 100 50 25 10表 1.1 对 1000个会员调查的部分结果问题提出 DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察：1）至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD的会员中 至少 50%在一个月内能够看到？若要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到呢？2）如何对手中已有的 DVD进行分配，以使所有会员的满意度和达到
5、最大。2、 尽可能多的满足会员是经营中的一大目标，但每个会员对不同 DVD的偏爱度是大相径庭的，虽然他们都对该 DVD下了订单，但最后得到该张DVD收到的效果差别 很大，所以还要考虑会员满意度的问题。表 1.2列出了网站 中 20种 DVD的现有张数和当前需要处理的 100位会员的在线订单。如何对手中已有的 DVD进行分配，以使所有会员的满意度和达到最大 ？D001 D020表示 20种 DVD, C0001 C0100表示 100个会员，会员的在线订单用数字 1,2, 表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字 0表示对应的 DVD当前不在会员的在线订单中。 表 1.2 现有 DVD张数和当
6、前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号 D001 D002 D003 D004 DVD现有数量 8 1 22 10 会员在线订单C0001 0 0 2 0 C0002 1 0 9 0 C0003 0 6 0 0 C0004 0 0 0 0 C0005 5 0 0 0 问题提出 DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 为深入研究网站的经营策略，我们从以下几个角度由浅入深得进行考察：1）至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD的会员中 至少 50%在一个月内能够看到？若要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到呢？2）如何对手中已有的 DVD进行分配，以使所有会员的满意度
7、和达到最大。3）作为网站经营管理员，如何决定每种 DVD的购买量，以及如何对这些 DVD进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大呢？问题提出 3、 在实际的经营过程中，不可能像刚才讨论的两个问题这么简单，我们不可能将顾客的满意率与他们的满意度割裂开来分开研究，可以说这是两个问题是相互牵制的关系。假设表 1.2中 DVD现有数量全部为 0。作为网站经营管理人员，如何决定每种 DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大呢？只有弄清楚这个问题，我们才能初步的对 DVD在线租赁问题有个认识。DVD 在
8、 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 问题一类似于 “ 货物存储问题（ Inventory problem） ” ，基本思路是跟踪 DVD在一个月（三个月）内的流动情况，目标是计算出 DVD的流转次数，然后再结合满意率要求得出所需准备的 DVD数量。问题二类似于 “ 分配问题 ” 或 “ 指派问题（ Assignment problem） ” ，我们可以对偏爱度进行适当的处理以满足我们的要求。 0-1规划是处理 该问题的最佳方法，因此如何使用这一方法将是研究问题二的关键。问题三看似是问题一与问题二的结合 （存贮 +分配），但实际要复杂得多。他综合考虑一个月内 DVD的购买、分配方案，是一个多目
9、标线性规划。从经济效益看，在保证 95%以上会员一个月内看到想看的 DVD的情况下，希望购买尽量少的 DVD，从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大。这时，可以将多目标变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优。由于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束函数会和问题一、问题二有很大差别。 而问题三的模型又可从当前满意度最大和一段时间内满意度最大两个角度来考虑。问题分析 1.对 1000名会员的调查足以反映 10万名会员对于各种 DVD的需求及喜好2.所有会员提交订单的时间是随机的3.一个月的天数为 30天4.会员中有 60%的会员每月租赁 DV
10、D两次， 40%的会员每月租赁 DVD一次5.会员只有在需要再次租赁 DVD时，才会将上次租赁的 DVD归还6.会员临近两次借的 DVD种类不会重复7.每位会员每月至少租赁 1次8.会员本次提交后没得到该 DVD，则他下次仍要看该 DVD，且偏爱度不变9.每类租赁出的 DVD有 60%在每月租赁 2次的会员中， 40%在每月租赁 1次的会员中10.公司收到订单时不知道此会员在一个月内会借一次或两次DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 假设条件在实际建模中还会遇到其他问题，比如问题一中可以淡化会员每次借三张的条件，即会员每次借的 DVD数量不固定；问题二中不考虑多次分配的问题；问题三中
11、对顾客满意率的不同理解。因此，我们将在以下的讨论具体问题时再给出。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解：第 时间节点上第 种 DVD的可分配量：所有会员中愿意观看第 种 DVD的人的概率：所有会员中每月借 2次的人的概率：需要满足的会员比例：会员总数：所考虑的时间跨度，即月份数：第 个会员对第 种 DVD的偏爱程度：第 个会员对第 种 DVD的满意度：分配变量， 表示第 个会员得到第 种 DVD，否则为 0：网站第 种 DVD的现有数量其余特殊的变量将在后面的讨论中具体说明参数与变量说明DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一的模型
12、与求解 问题一是简化的情形，在制定方案时，暂时不考虑每个会员每次最多借 3张DVD的限制，也不考虑各种 DVD间产生的影响及数量间的横向联系，单独考虑每种DVD的准备量。如上所述，我们称每个月只租赁一次 DVD的会员为 1类会员，每个月租赁两次的会员为 2类会员。虽然借一次和两次的会员并不固定，但其占总体会员的比例是一定的。由于每个月租赁两次 DVD的会员的不确定性，无法预知每种 DVD到底会借给哪类会员。因此，在制定购买方案时我们分别考虑悲观情况估计及均值估计两种方式。问题一包含两个部分，一是至少准备多少张 DVD，才能保证希望看到该 DVD的会员中至少 50%在一个月内能看到；二是至少准备
13、多少张 DVD，才能保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD。我们分别称上述两种情况为 “ 一月情况 ” 和 “三月情况 ” 。 “ 三月情况 ” 是 “ 一月情况 ” 的延续。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一：悲观情况 估计 一个月 假设 DVD1其购买量为 ，从表 1可以认为想看 DVD1的有 2万人，而会员一个月借 1次或借 2次是随机的，这就可能出现极端的情况，即第一次分配时正好所有 1类会员都分配到了 DVD1，我们把这种情况称为悲观情况。则 的一部分首先被会员总数 40%的 1类会员借走了，而且在该月不会归还。那么，为了保证至少有
14、50%的会员在一个月内能看到该 DVD，则 DVD1总的购买量应满足： 同理，设 为愿意看第 种 DVD的人的概率， 可从表 1中将愿意看该 DVD的人数除以总人数可获，则 5种 DVD的购买量为 :DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5购买量 9000 4500 2250 1125 450DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一：悲观情况 估计 三个月 从 “ 一月情况 ” ，我们可以推广到 “ 三月情况 ” 。如果 ，则每次分配都将只能由每月借一次的会员的到 DVD，这样三个月中 DVD1的流动量就仅为 ，为了保证至少有 50%的会员在
15、一个月内能看到该 DVD，那么此时 DVD1总的购买量应该满足同理，对于其余 4种 DVD的购买量有，为保证三个月内至少 95%的会员看到他想看的 DVD，每种 DVD的购买量为：DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5购买量 6334 3167 1584 792 317DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一： 均值情况估计现实中，每天都会有订单提交，也有 DVD归还，而且都是服从参数为 的普哇松分布。考虑平均情况，认为： 60%的会员 15天归还 DVD， 40%的会员一个月归还，即对于每张 DVD有 60%的可能 15天流通一次， 40
16、%的可能 30天流动一次。假设所有会员在每个月的某天（不妨为 1号）提交订单，那些 2类会员也集中在 15号归还并提交下一份订单，则可以发现上述的简化是普哇松分布的平均情况。因此，在处理时可以不考虑每个会员的具体租赁、归还的时间，而只考虑每个月两次的分配方案，即 1号和 15号的分配方案。同时，在 DVD租赁出去后，对于某种 DVD，是均匀的分布在 1类会员和 2类会员中，即在 15号，该 DVD将有 60%归还。我们用下图表示租赁情况，每块代表长度为 15天的时段，上方的箭头表示该时刻借出的数量，下方表示归还的数量。则初始时刻 有 张可用于分配。第二次 第四次 第六次 第一次租赁 第三次 第
17、五次 时间DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一： 均值情况估计 一月 对于 “ 一月情况 ” ，仅观察上图中的前两段。在分配时，每张 DVD都有 60%的可能被分配给一月个借 2次的会员， 40%的可能分配给每月借 1次的。在初始时刻会将所有 DVD借出，因此 即表示网站对 的购买量，而问题目标则是要求出 的最小值，以达到效益的最优。由假设可知，第 1个月月中有 的 归还，另外 40%仍在会员中，这时网站可将 的 借出。则 与 有如下关系：这样就可以计算 在一个月中的流通量 即一个月内 DVD的流通量为月初购买量的 1.6倍，称这个 “ 1.6” 为 “ 一
18、月流通系数 ” 。那么 DVD一个月最小购买量可通过以下公式来计算： DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一： 均值情况估计 一月 由表 1得到 1000人中愿意观看每种 DVD的概率分别为：由于这 1000人为 10万人的子样本， 也可表示 10万人中愿意观看每种 DVD的概率。则 表示 10万人中愿意观看第 种 DVD的人。经计算，各种 DVD的最少月初购买量为：总的最少购买量 S=12033DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5购买量 6250 3125 1563 782 313DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建
19、立与数值求解问题一： 均值情况估计 三月 该情况需要考虑 6个时段，而且各个时段节点互相影响。在 “ 一月情况 ” 中已经知道 与 之间的关系： 在第 3个时间点，会有 张 DVD归还。观察 张 DVD的组成，第 1个时间点有40%的 DVD分配给了 1类会员，则在第 3个时间点归还，数量为 。而对于第 2个时间点中收回的部分 DVD同样有 60%的可能分配给 2类会员， 40%的可能分配给 1类会员，因此在第 3个时间点，会有 60%的人归还，数量为 。则第 3个时间点收回的 来源于两个部分，分别为第 1时间点借给 “ 一类会员 ” 的 DVD以及第 2个时间点借给 “ 二类会员 ” 的 D
20、VD。所以有 。三个月内 6 DVD租出数如下：第一次： 第二次： 第三次： 第四次： 第五次： 第六次： 由此，可以得出一个通用的递推公式： DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一： 均值情况估计 三月 通过上面的递推公式就可以建立与 “ 一月情况 ” 相似的模型：经计算，各种 DVD的最少月初购买量为DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5购买量 4232 2116 1058 529 212总的最少购买量 S=8147由上面的递推公式可得 “ 三月情况 ” 中 DVD的流通量：“ 4.49” 为 “ 三月流通系数 ” 。DVD 在 线
21、租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一： 理论证明 事实上，不必认为所有人都在 1号来借 DVD。以 DVD1为例，设某种 DVD一个月内被看到 1次的概率为 0.4，被看到 2次的概率为 0.6，则其服从分布：为使想看该 DVD的会员中至少 50%在一个月内能够看到，即要 成立的概率尽可能大，不妨取：由于 是独立同分布的，且 的数量很大，有中心极限定理知， 近似服从正态分布。将其化为标准正态分布即为：查表并求解得：同理也可推出其他解，由此证明了均值情况下的估计是完全可行的。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题一： 一般情况推广 在上面的基础
22、中，我们把模型推广到范围更广的现实经济生活中。假设通过问卷调查分析推算出任意客户群体的借阅分布情况，设 为 2类会员的概率， 为需要满足的会员比例， 为所考虑的时间跨度，即月份数， 为会员总数，则可得到下面更一般的带约束的线性规划模型（这里人设 DVD种类为 5种）：DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题二的模型与求解 问题二是在现有一定数量 DVD的前提下，如何分配以使会员总的满意度最大。这与 “ 分配问题 ” 或 “ 指派问题（ Assignment problem） ” 有很多相同点。我们可以通过一些变化来使求解 “ 分配问题 ” 的模型能运用于该问题。我
23、们把问题二中 “ 100个会员对 DVD的需求 ” 理解为 “ 需要完成的 100项任务” ， “ 20种 DVD数量 ” 理解为 “ 有 个人可以承担这些任务 ” ， “ 会员对于不同DVD的偏爱度 ” 理解为 “ 不同人去完成不同工作的效率 ” ，通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二中了。分配问题最常用的方法是 0-1型整数规划。在具体使用前，还需要将每个会员对不同 DVD的偏爱度转化为满意度。因为我们的目标是总体满意度最大。从表 1.2中可以看到：会员的在线订单用数字 1,2, 表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字 0表示对应的 DVD当前不在会员的在线订单中。通过观察我们用一
24、个大于 9的固定数值来减偏爱数 ,把这个差值作为满意度。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题二 :参数定义 1、设矩阵 为偏爱度矩阵，矩阵中的元素 为表 1.2中的偏爱数，表示第 个会员对 的偏爱数。 越小表示会员的满意程度越高， 为 1时最高，为 0时表示客户没有下订单。于是就得到了偏爱度矩阵 2、设矩阵 为满意度矩阵，矩阵中的元素 为满意度，表示第 个会员对第 的满意度。 可通过如下算法获得：3、令 为分配变量， 表示第 个会员得到 ； 表示 未分配给第 个会员。由此得到我们要求的分配矩阵通过矩阵 就能应用 0-1规划进行求解 。4、令 表示 的现有数量，
25、则有数量矩阵5、令 表示所有会员满意度的总和，我们的目标就是求出其最大值。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题二 :模型建立 1.因为表 1.2中的数字 0意义特殊，不直接与满意度产生关系。 0代表该 DVD没有出现在订单中，即会员不需要看该 DVD。从分配费用考虑，避免把该 DVD分配给会员。根据 的定义，不妨认为： ，则 时， 也等于 0，即避免了上述情况的发生。2.由于一次最多只能借 3张，那么就有： ，又 分配给各会员的数量肯定不超过现有数量 ，所以： 。由以上分析可得问题二的模型：用 LINGO 数学软件实现对此题 0-1规划模型的求解。DVD 在
26、线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题二 :模型改进 -约束条件改进 根据上述模型的求解，我们发现又些会员没有分配到 3张 DVD，即他们的需要没能被满足。从网站的社会效益考虑，这样的情况会导致网站客户的流失。所以希望在满足所有会员都能借到 3张 DVD的前提下，再通过会员总满意度最大来决定分配方案。这就需要对上面的模型做一些改进。我们可以将 改为 ，则得到模型DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题二 :模型改进 -约束条件改进 以上修改，约束条件加强了，可能导致模型无可行解。事实通过 LINGO 程序也发现该模型无解。因为约束条件中规定了不
27、能分配给会员不要的 DVD，而会员每次都被分到 3张，则网站至少有 300张 DVD，而现仅有 303张，只比最低限度多 3张，则当某 DVD需求较大时就会供不应求。所以要放宽条件 1，才能找到最优解。最优值在第 165次迭代后得到 Z=2024。以上两个模型的结果是相同的，由于约束条件的放宽，后一个模型的迭代次数较少，则在说明每个会员一次能借到 3张 DVD不会影响会员整体满意度，而且从模拟结果看，改进后的对原有分配策略影响不大。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题二 :模型改进 -满意度定义 改进 以上的讨论都是基于用一个固定数去减会员偏爱数作为满意度来分
28、析的。但存在一定的不合理性。比如，当看到了最想看的 DVD时，心理上满足是非常大的 ，但当仅仅得到了第二想看的 DVD，那满足感会大打折扣，而如果仅得到了第三想看得 DVD，满足感会更低，但与仅获得第二想看的 DVD相比，也许失落感并不会如没有获得第一想看的 DVD那么大。所以，如果只是简单得把会员订单中的 DVD进行了相同差别的处理，无法表示出会员的真实满意度差别。所以我们想到了用偏爱数的倒数来表示会员的满意度，对满意度矩阵 的元素 重新定义：把新定义的满意度代入上述模型中，并由 LINGO 程序计算，最优值在第 54次迭代后得到 Z=153.9984。我们对分配策略的分析发现，该结果与上一
29、个模型相比并没有太大的变动，这是因为两种满意度的定义其实质是一样的。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题三的模型与求解 在现实的网站经营中需要综合考虑问题一、二，这就需要我们进一步讨论问题三的模型，它需要考虑两次分配方案，但我们可以简化为仅考虑当前时间点下如何用最小的 DVD购买来满足 95%的会员并找出最佳分配方案使会员总满意度最大。那么如何将这两个目标同时放入一个目标函数呢，最简单的方法就是相加。由问题二知道，目标是使所有会员满意度总和 尽可能地大，而且每种 DVD数量 是固定的，但问题三中 DVD的购买量是自己定的，因此设置一个新的变量 表示当前需要购买
30、 的数量， 则表示总的购买数量，而且从盈利角度考虑总的购买数量越小越好。所以我们可以将目标函数定如下：DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题三 :等权情况 （ 会员总体满意度与 DVD购买量权重相等 ） 针对 “ 使一个月内 95%的会员得到想看的 DVD” 的要求，可以参照问题一的处理方法，从表 1.2中统计出原意观看 的人数占全体会员比例。结果如下：由问题一的流通量可得由于网站可自由决定其 DVD的购买量，则有DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 DVD6 DVD7 DVD8 DVD9 DVD10愿意观看人数 53 37 46 34
31、37 42 42 48 41 51占全体会员比例 0.53 0.37 0.46 0.34 0.37 0.42 0.42 0.48 0.41 0.51DVD名称 DVD11 DVD12 DVD13 DVD14 DVD15 DVD16 DVD17 DVD18 DVD19 DVD20愿意观看人数 48 41 43 45 52 41 43 45 44 31占全体会员比例 0.48 0.41 0.43 0.45 0.52 0.41 0.43 0.45 0.44 0.31为了计算上的方便直观，我们选择用 10减会员偏爱数的来定义会员满意度。并建立模型。最优值在第 85次迭代后得到 :Z=1878DVD 在
32、 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题三 :不 等权情况 （ 会员总体满意度与 DVD购买量权重 不 相等 ） 如果不考虑会员总体满意度与 DVD购买量之间的权重差异，这会导致其中某个目标对整个函数的影响被过分得夸大，所以有必要进行标准化。1、先来看 的最大值和最小值对于当前的分配，最理想的是每位会员都得到了最想看的 3张 DVD，此时就达到了最大值。通过表 1.2的统计我们得到最大值为 。 最差情况就是会员得到了 3张没有出现在订单中的 DVD，此时达到最小值 0。2、再来看 的最大值和最小值由 “ 每位会员每次分配到 3张 DVD” 和 “ 一个月内 95%的会员得到
33、想看的 DVD”的约束，则由 计算出各种 DVD最小购买量，相加得 的最小值 522只要某 DVD出现在订单中，就应将其购入，也就是说保证会员可以拿到他想看的任何一张 DVD，则会员在一个月中的满意率为 100%。此时，统计各种 DVD的购买量并相加得 最大值 864DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题三 :不 等权情况 （ 会员总体满意度与 DVD购买量权重 不 相等 ） 我们取 和 的最大值及最小值的平均数 1200和 693来确定各自权重。因此，它们的权重分别为 和 。建立带权重的模型：同样用 LINGO 程序对其进行求解，最优值在第 116次迭代后得到
34、 Z=688.43，DVD购买总量为 532张。比较两个模型的计算结果，发现 DVD的购买量和分配策略没有发生变化，这是由于 和 的数量级相差并不大。DVD 在 线 租 赁 问 题 数 学 模 型 模型建立与数值求解问题三 :综合最佳方案 以上的决策是基于当前时刻的考虑。事实上， 60%的 DVD会面临二次分配，考虑所有会员在一个月内总的满意度就需要对二次分配进行分开考虑。在此我们假设：不要求会员每次借 DVD都必须被分配到 3张，但分配到的必须是在其订单中的。而每次只有拿到 3张的会员才能算满意。由于要对二次分别进行讨论，所以需要设置两个新的变量：1、 ：第一次分配的分配变量，表示第一次分配时第 位会员得到了 表示第一次分配时第 位会员未得到2、 ：第二次分配的分配变量，表示第二次分配时第 位会员得到了 表示第二次分配时第 位会员未得到因此在等权情况下目标函数应为：
