1、第五节 对 数 函 数,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)对数的概念: 如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=_.,logaN,(2)对数的性质、换底公式与运算性质:,0,1,N,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,(3)对数函数的定义、图象与性质:,y=logax(a0,且a1),(0,+),(-,+),(1,0),y0,y0,增函数,减函数,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)换底公式的两个重要推论 logab= 其中a0,且a1,b0,且b1,m,nR.,(2)对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,
2、则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:换元法、图象平移法. (2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想.,(3)记忆口诀:换底公式的记忆口诀 换底公式真神奇,换成新底可任意, 原底加底变分母,真数加底变分子. 对数函数性质口诀 对数函数很简单,图象恒过(1,0)点. a大1时单调增,(0,1)之间单调减. 图象都在y轴右,第一象限底逆减.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)logax2=2logax.( )(3)函数y=ln 与y=ln(1+x
3、)-ln(1-x)的定义域相同.( ) (4)若logamlogan,则mn.( ),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P68T3(2)改编) 的值是( ) A. B.1 C.10 D.100,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015哈尔滨模拟)函数y= 的定义域为( ) A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1,(2)(2014陕西高考)已知4a=2,lg x=a,则x= .,(3)(2015唐山模拟)函数f(x)=ln(x+1)的单调增区间是 .,【规律方法】对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形
4、式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒:在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.,【变式训练】1.(2014安徽高考)计算： = .,【加固训练】1.(2014大连模拟)若2a=5b=m,且 =2,则实数m 的值为( ),考点2 对数函数的图象及应用 【典例2】(1)(2014山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数. 其中a0,a1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a1,c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,【规律方法】利用对数函数的
5、图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.,【变式训练】(2014福建高考)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( ),【解题提示】利用图象的变换知识,或利用函数的增减性来排除干扰 项. 【解析】选B.由题得,a=3,因此,A选项函数为y=3-x= ,在定义域内 是减函数,图象不对;B选项函数为y=x3,图象正确;C选项函数为y= (-x)3,在定义域内应是减函数
6、,图象不对;D选项y=log3(-x)应与 y=log3x的图象关于y轴对称,因此不符.,【加固训练】1.函数y= 的图象大致为( ),2.函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,考点3 对数函数的性质及其应用 知考情对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,主要考查比较对数值的大小,解简单的对数不等式,有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题.多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.,明角度 命题角度1:求函数的定义域 【典例3】(2014山东高考)函数f(x)= 的定义域为( ) A.(
7、0,2) B.(0,2 C.(2,+) D.2,+),【解题提示】本题考查了函数的定义域,对数函数的性质,利用定义域的求法:1.分母不为零;2.被开方数为非负数;3.真数大于0求定义域. 【解析】选C.由定义域的求法知:解得x2,故选C.,命题角度2:比较对数值的大小 【典例4】(2014辽宁高考)已知 则( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 【解题提示】结合指数函数与对数函数的图象及性质,判断a,b,c的范围,确定大小.,【解析】选C.由于指数函数y=2x在R上为增函数, 则0ab.,命题角度3:解对数不等式 【典例5】(2015宁波模拟)设函数f(x)= 若f(a)f(-
8、a),则实数a的取值范围是( ) A.(-1,0)(0,1). B.(-,-1)(1,+) C.(-1,0)(1,+) D.(-,-1)(0,1),【解题提示】由a0或af(-a),列出不等式组求解,化简中注意到换底公式的应用. 【规范解答】选C.由题意可得或 解得a1或-1a0.,悟技法 1.求对数型函数定义域的策略. 列出对应的不等式(组)求解,注意对数函数的底数和真数的取值范围. 2.比较对数式大小的类型及相应的方法. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.,(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比
9、较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 3.解对数不等式的类型及方法. (1)形如logaxlogab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.,通一类 1.(2013新课标全国卷)设a=log32,b=log52,c=log23,则( ) A.acb B.bca C.cba D.cab,【解析】选D.方法一:a=log32log22=1, 又log32= ,log52= ,lg3log52,综上cab.故选D. 方法二:因为 log22, 所以 1, 所以cab.,2.(2015开封模拟
10、)设函数f(x)= 则满足f(x)2的 x的取值范围是( ) A.-1,2 B.0,2 C.1,+) D.0,+) 【解析】选D.当x1时,21-x2,解得x0,所以0x1;当x1时, 1-log2x2,解得x ,所以x1.综上可知x0.,3.(2015中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a0,a1), 若f(x)1在区间1,2上恒成立,则实数a的取值范围为 . 【解析】当a1时,f(x)=loga(8-ax)在1,2上是减函数, 由f(x)1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)1, 解之得1a ,若01恒成立,则f(x)min=loga(8-a)1, 故8-2a0,所
11、以a4,又因为0a1,故不存在. 综上可知,实数a的取值范围是(1, ). 答案:(1, ),自我纠错6 对数函数的参数求值问题 【典例】(2015兰州模拟)已知函数y=logax(2x4)的最大值比 最小值大1,则a的值为_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:对数函数的底数含有参数a,错在没有讨论a与1的大小关系而直接按a1解题.,【规避策略】 1.注意分类讨论 对数函数的底数决定了对数函数的单调性,对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性,如果对数函数的底数含有参数,在处理有关问题时,必须对参数进行讨论. 2.解决与对数有关问题的两个关注点: (1)务必先研究函数的定义域.(2)对数函数的单调性取决于底数a,应注意底数的取值范围.,【自我矫正】(1)若a1, 则函数y=logax(2x4)为增函数, 由题意得loga4-loga2=loga2=1, 所以a=2,又21,符合题意.,(2)若0a1, 则函数y=logax(2x4)为减函数, 由题意得loga2-loga4=loga =1, 所以a= ,又0 1,符合题意. 综上可得a=2或a= . 答案:2或,
