1、第11章 函 数,11.1 函数和选择公理 11.2 函数的合成和函数的逆 11.3 函数的性质,定义 设 f：XY, (1) 若ran( f ) = Y, 则称 f 是满射.(2)若x1,x2X, x1x2, 都有f(x1)f(x2) ,都称 f 是单射.(3)若 f 既是满射又是单射的, 则称 f 是双射.,x1,x2,x3,y1,y2,X,Y,满射,函数的分类,|X|Y|,x1,x2,x3,y1,y2,Y,y3,X,y4,单射,f(x1) = f(x2) x1= x2,x1,x2,x3,y1,y2,Y,y3,X,双射,|X|=|Y|,判断下面函数是否为单射, 满射, 双射,f：RR, f
2、(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射。 f：Z + R, f(x)=lnx单调上升, 是单射. 但不满射, ranf=ln1, ln2, . f：RZ, f(x)= x满射, 但不是单射, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1. f：RR, f(x)=2x+1满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ranf=R. f：R+R +, f(x)=(x2+1)/x 有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射.,构造从A到B的双射函数,一、有穷集之间的构造 例 A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 解： A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B=
3、f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,.,令 f：AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f7,二、实数区间之间构造双射 构造方法：直线方程 例 A=0,1 B=1/4,1/2 构造双射 f :AB,构造从A到B的双射函数（续）,解1： 令 f：0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4,解2： 令 f：1, 01/4,1/2 f(x)=-x/4+1/2=-(x-2)/4,构造从A到B的双射函数
4、（续）,三、A 与自然数集合之间构造双射 方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应 例 A=Z, B=N，构造双射 f：AB将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是：,构造从A到B的双射函数（续）,三、A 与自然数集合之间构造双射 例： A=NN， B=N，构造双射 f：AB将A中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： 则对应所表示的函数是：,11.1.3 常用的函数,1. 设f：AB, 若存在 cB 使得 xA 都有 f(x)=c, 则称 f：AB是常函数.2. 称 A 上
5、的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所有的 xA 都有 IA(x)=x.3. 设 f：RR，如果对任意的 x1, x2R，x1 x2, 就 有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的； 如果对任意的 x1, x2A, x1 x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为 严格单调递增 的. 类似可以定义单调递减 和严格单调递减 的函数.,集合的特征函数,设 A 为集合, A A, A 的 特征函数 A：A0, 1 定义为,实例：集合：X = A, B, C, D, E, F, G, H , 子集：T = A, C, F, G, H T 的特征函数T ： x A B C D
6、 E F G H T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1,设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：AA/R g(a) = a, aA 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射. 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一般来说是满射.,自然映射,例如：A=1, 2, 3, R=,IA 则有：g(1) = 1,2, g(2) = 1,2, g(3) = 3,11.2 函数的合成与函数的逆,函数的合成 设 g：AB f：BC，则 (1) f g是函数 f g： AC (2)对xA，有 (f g)(x)= f (g(x) 说明： 函数合成后还是函数。 只有当两个函数中一个的定义域与另一个
7、函数的值域相同时，它们的合成才有意义。且 dom(g)=dom(f g) 实例： 设g:RR, f:R+R, g(x)=x+1, f(x)=lnx ，则gf(x) =g(f(x) =g(lnx) = lnx+1,fg(x) =f(g(x) =f(x+1) = ln(x+1),一般地，gffg,gf 和 fg的定义域不同,函数合成的性质,定理11.2.2设 f：BC, g：AB. 则有 若 f 和g 都是满射的, 则 fg也是满射. 若 f 和g 都是单射的, 则 fg也是单射. 若 f 和g 都是双射的, 则 fg也是双射. 证明：若 f 和g 都是满射, 则 fg也是满射.证： cC, f
8、是满射, 必bB, 使得 f(b)=c. 对这个b, 又 g 是满射, 必aA, 使得 g(a)=b. 由合成定理有： c = f(b)= f(g(a)= fg(a)证毕.,说明函数的合成 运算能够保持函数单射、满射、双射的性质。,函数合成的性质,定理11.2.3设 f：BC, g：AB. 则有 若 fg是满射. 则f 是满射的 若 fg是单射. 则g是单射的 若 fg是双射. 则f 是单射的，g 是满射的。 设 f: BC, g: AB,举例说明: fg是满射，但 g不是满射。设：A=a1,a2, B=b1,b2, C=c, 定义函数如图，则 fg(a1)= fg(a2)=c,说明函数合成运
9、算性质的逆命题不为真。,A B C,g,f,函数合成的性质,定理11.2.3设 f：BC, g：AB. 则有 若 fg是满射. 则f 是满射的 若 fg是单射. 则g是单射的 若 fg是双射. 则f 是单射的，g 是满射的。 设 f: BC, g: AB,举例说明: fg是单射，但 f 不是单射。设：A=a1,a2, B=b1,b2,b3, C=c1,c2, 定义函数如图， 则 fg(a1)=c1, fg(a2)=c2,说明函数合成运算性质的逆命题不为真。,g,f,11.2.2 函数的逆,任给函数 f, 它的逆f 1不一定是函数, 是二元关系. 实例： f =,， f 1 =, 定理11.2.
10、6 设 f：AB是双射函数，则 f 的逆关系f 1 是B到 A的双射函数。 例如， 设A=1,2,3，B=a,b,c。f=1, a ,2, c ,3, b 显然，f是A到B的双射函数。 f的逆关系 f 1 =a,1,c,2,b,3 是B到A的双射函数，记为f 1 。也称为反函数。,函数的逆,定理11.2.7 若f：AB为双射函数，对xA, 有f -1(f(x)=x,对yB, 有f(f-1(y)=y。 反函数的性质 对双射函数 f：AB，有 f 1f = IB, ff 1 = IA 对双射函数 f：AA, 有 f 1 f = ff 1 = IA 例：设A=0,1,2, B=a,b,c, f：AB
11、, f=0,c,1,a,2,b 解： f -1= a,1,b,2,c,0f -1f =0,0,1,1,2,2 IAff -1=a,a,b,b,c,c IB,f f -1 f,11.3 函数的性质,定义11.3.1设 f：AB, g：CD. 若xAC都有f(x)=g(x), 就说f和g是相容的。 定义11.3.2设C是由一些函数组成的集合，若C中任意两函数 f 和 g 都是相容的，就说C是相容的。 例：Cf, g, h, 其中 f :a,b 1,2, f =, g :a,c 1,2, g =, h :b,c 1,2, h =, f和g相容、f和h相容，但g和h不相容，所以C是不相容的,11.3.
12、2 函数与等价关系的相容性,定义11.3.3设R是A上的等价关系，且 f：AA, 若x,yA, 有 R R 则称关系R与函数f是相容的。 例： A=1,2,3, R是A上的等价关系，商集A/R=1,2,3, 设f：AA 定义为f(1)=3, f(2)=3, f(3)=1 对 R, 有= R 对 R, 有= R 所以R与f是相容的。,第12章 集合的基数,12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数,12.2 集合的等势,势就是集合的基数，等势就是集合的基数相等。 定义12.2.1 设A和B是集合，若存在A到B的双射函数，则称集合A和集合B等势。记作AB。否则，称A和
13、B不等势，记作AB。 即对有限集合A和B，若AB，则|A|=|B|。即A和B中元素个数相等。 例： R R ，因为存在双射函数a,b,c 3，因为存在双射函数f:a,b,c 3 , f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2,集合的等势举例,Z N，因为存在双射函数R R ，因为存在双射函数a,b,c 3，因为存在双射函数f:a,b,c 3 , f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2,集合的等势,定理12.2.1 对任意集合A，有： P(A) A2 其中，因为2=0,1, 所以, A2是所有函数 f: A 0,1 组成的集合。 可以构造双射函数H: P(A) A2, H(B)= B(x
14、) 其中， B(x) 是以A为全集时B的特征函数，对BP(A),有B A ,则存在唯一的特征函数B(x)，,集合等势所具有的性质,定理12.2.2 设A，B，C是任意三个集合。则集合的等势有下列性质。 自反性: AA。 对称性: 若A B，则BA。 传递性: 若A B，BC，则AC。 定理12.2.3（康托尔定理）(1) NR(2) 对任意的集合A，AP(A) 定义12.3.1 集合A是有限集合，当且仅当存在nN, 使nA. 集合A是无限集合，当且仅当A不是有限集合，即不存在nN, 使nA.,12.3 有限集合与无限集合,定理12.3.1 不存在与自己的真子集等势的自然数。(抽屉原理) 推论1
15、：不存在与自己的真子集等势的有限集合。证明： 设A为任一有限集，BA， 则C=A-B 。 |B|=|A|-|C|A|，即|A|B|， 由双射的性质，A与B之间不存在双射函数。 所以，A与B不等势,有限集合与无限集合,推论1：不存在与自己的真子集等势的有限集合。 推论2：任何与自己的真子集等势的集合是无限集合，N和R都是无限集合。 推论1和推论2给出了有限集合与无限集合的另一种定义 不能和自己的任何真子集等势的集合称作有限集合 能与自己的某个真子集等势的集合称作无限集合。 推论3：有限集合只与唯一的自然数等势。,12.4 集合的基数,定义12.4.1 对任意集合A和B，它们的个数分别用card(
16、A)和card(B)表示，并且card(A) = card(B) A B (等势集合的基数相同) 对有限集合A和nN, 若A n, 则card(A) = n。 自然数集合N的基数 N的基数不是自然数，因为N不与任何自然数等势，把card(N)记作0。读作“阿列夫零”。 凡与自然数集合N等势的集合叫做可数集. 可数集的势叫做可数势.记做: 0 NZNN 0,集合的基数,实数集合R的基数 R的基数不是自然数，也不是0，因为由康托尔定理得NR。 把card(R)记作1。读作“阿列夫壹”。 实数集R是不可数的. card(0,1)=card(0,1)=card(R+)= 1,12.6 基数的比较,若集合A到集合B存在一个单射，则称A的基数不大于B的基数或称A的基数小于等于B的基数，记为|A|B|。 若集合A到集合B存在一个单射，但不存在双射，则称A的基数小于B的基数，记为|A|B|。 区间0,1与(0,1)有相同的基数。 证明：作单射函数f：(0, 1)0,1，f(x)=x |(0,1)|0,1|g：0,1(0,1)，f(x)= + |0,1|(0,1)|所以 card(0,1)=card(0,1),作业14,P211: 3，6，9，10 P212: 13，15 P223: 2 P224: 4, 9,
