1、 第 1 页 共 3 页 对数函数典型例题例析在解决与对数函数有关的问题时，应遵循：一要“定义域优先”的原则，即优先考虑其定义域；二要重视底数、真数应满足的条件，以及不同条件下，性质和图象的差异只有完全掌握了这些，才能处理好对数函数单调性涉及的综合问题下面举例说明 例 1 已知 y = log (2ax )在区间0，1上是 x 的减函数，求实数 a的取值范围解法一：由 y = log (2ax )在区间0，1上是 x 的减函数，当 0x1 时，2a0，即 a 恒成立，所以 a( ) = 22min又知 a0，u = 2ax 为减函数，因此对数函数的底 a1综合得 1a2解法二：根据 y = l
2、og (2ax )，则 a0 且 a1，2ax0，所以 x ，a2即函数定义域为( ， )函数在区间0 ，1上是减函数，1 ，即 a2 又 u = 2ax 为减函数，y = log u 是增函数，则 a1 a综合、得 1a2例 2 求关于 x 的函数 y = lgx ( a + 2)x + 1 (其中 a为实数)，在其定2义域内单调区间，并指出其单调性解：要使函数有意义，必须 x (a + 2)x + 102设 g(x) = x (a + 2)x + 1，其判别式 = (a + 2) 4 = a(a + 4) ，2 2当4a0 时， 0，恒有 g(x)0，函数 y 的定义域为 R，又 y 与g
3、(x)单调性一致所以在 (， 上，y 单调递减；在 ，+ )上，y2a2单调递增；当 a =4 时， = 0，y = lg(x + 1) ，其定义域为x | x1，xR ，2在 (，1)上 y 单调递减；在(1，+ )上，y 单调递增；第 2 页 共 3 页 当 a = 0 时， = 0，y = lg(x 1) ，其定义域为x | x1，xR，2在 (，1)上 y 单调递减；在(1，+ )上，y 单调递增；当 a4 或 a0 时， 0，函数的定义域为：(， )( ，+) 2424(a在 (， )上，y 单调递减；在( ，+)a24(a上，y 单调递增例 3 已知函数 (x) = lg + ，x
4、( 1，1 )，问 y = (x) 的图象上是否f12f存在两个不同的点 A、B，使 AB y 轴，若存在，求 A、 B 的坐标，若不存在，说明理由解：先证明 (x)是单调函数设1x x 1，则f 2( x ) ( x ) = lg + lg = lg + f1f21x221x)1(2x，)2(11x 1x x 1， x x 0， 1x 1x 0，1 + x 1 + x 0，22 22 1， 0，即 ( x ) ( x )0，)(12x)2(11xf1f2第 3 页 共 3 页 函数 (x)是单调递减函数f假设函数 (x)的图象上存在不同的两点 A(x ， y )，B(x ， y )使直线 ABy 轴，则f 12x x ，y = y ，这与函数是减函数矛盾1212y = (x)的图象上不存在两个不同的点 A、B，使 ABy 轴f评析：直线 ABy 轴或 ABx 轴 x x y y ，从函数的单调性上可以找到解题的突破口
