1、例析定积分计算的几种方法一、掌握方法例 1：求定积分 的值.10(2)xd解法 1：（用定积分的定义计算定积分）（1）分割：把区间0，1等分成 n 个小区间 （i=1，2，n）.其长度为i,1x= ，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积记为S i（i=1，2，n）.n（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，S i=f（ ）x= ， （i=1，2，n）.21()ii（3）求和： .2211 1()2nnii iS n（4）取极限：S= . 211lm()li()nni所以 .10(2)xd解法 2：（用微积分基本定理计算定积分）函数 y 的一个原函数是 2yx所以 12100(
2、)()()0)2xd解法 3：（用定积分的几何意义计算定积分）表示直线 与 轴所围梯形（如10(2)yx,1x图所示）的面积所以 10()xd1(3)2评注：（1）利用定义法求定积分过程较繁琐，一般地，只有当其它方法计算定积分比较困难时考虑采用，同时应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲；（2）运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数；（3）利用定积分的几何意义计算定积分，一般必须满足被积函数的图象易画，面积较易求出二、灵活运用例 2：求定积分 的值.240cosxd分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解解：因为 ，21cossxx所以可
3、求得函数 的一个原函数是2y1sin24yx所以 24 40 01 11cos(sin)(i)(0sin2)2484xdx 评注：本题由被积函数的特点考虑运用微积分基本定理进行计算，其关键是找到被积函数的原函数，若直接求不出原函数可先对被积函数变形，然后可求得同时注意，为保万无一失，可对原函数求导进行检验例 3：求定积分 的值.320(4)xd分析：本题注意到函数 的图象即圆 的一部分，2(y2()4(0)xy故可利用定积分的几何意义求解解： 表示圆 的一部分与直线 轴所围320(4)xd2()4(0)xy 3,x成的图形（如图所示）的面积，图中阴影部分面积等于一圆心角为 120o，半径为 2 的扇形与一两直角边分别为 1， 的直3角三角形的面积和所以 320(4)xd21432评注：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由联想到圆 的一部分，从而想到用定积分的320() 2()(0)xy几何意义求解，从而简化了运算这也是数形结合思想的又一体现运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力总之，定积分的计算，在实际解题中应因题而异，注意题目特点，灵活运用解题方法，才能快速而准确地解决问题
