1、西南财经大学经济类数学分析第四章（函数的连续性）习题选解 第 1页 第四章（函数的连续性）习题选解 1 连续性概念（P73） 1按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 ) ( ； 证：法 1 x x f 1 ) ( 的定义域为 (, 0 )( 0 ,) D ，当 D x x 0 , 时，有 0 0 0 1 1 x x x x x x 由三角不等式可得： 0 0 x x x x ， 故当 0 0 x x x 时，有 0 0 2 0 0 0 1 1 x x x x x x x x 对任意给的正数 ，取 , 0 1 0 2 0 x x 则 0 x ，当 D x 且 0 x x
2、时， 有 0 0 1 1 ) ( ) ( x x x f x f 可见 ) (x f 在 0 x 连续，由 0 x 的任意性知： ) (x f 在其定义域内连续. 法 2 f 的定义域为 (, 0 )( 0 ,) D ，对其定义域上任一点 0 0 x ， 有 ) ( 1 1 lim ) ( lim 0 0 0 0 x f x x x f x x x x ，故 f 在 0 x 连续，由 0 x 的任意性知， f 在其定 义域内连续. 2指出下列函数的间断点及类型： （3） ) (x f cos x ； 解：因为 n x n x x x f 1 0 | cos | ) ( ， 所以 f 在 ) ,
3、 2 , 1 , 0 ( n n x 间断. 由于 lim cos 0 xn x ，从而 ) , 2 , 1 , 0 ( n n x 是 f 的可去间断点. （5） ) sgn(cos ) ( x x f 解 因为 西南财经大学经济类数学分析第四章（函数的连续性）习题选解 第 2页 2 3 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 1 ) sgn(cos ) ( n x n n x n x n x x f ， 所以 f 在 ) 2 , 1 , 0 ( 2 2 n n x 间断。由 1 ) sgn(cos lim 2 2 x n x ， 1 ) sgn(cos lim 2 2 x n x ， 1
4、) sgn(cos lim 2 2 x n x ， 1 ) sgn(cos lim 2 2 x n x ， 故 ) 2 , 1 , 0 ( 2 2 n n x 是 f 的跳跃间断点. （6）见课程主页（http:/ （7） ) (x f x x x x x x x 1 , 1 1 sin ) 1 ( 1 7 , 7 , 7 1解 ) (x f 在 7 x 及 1 x 间断，且 7 ) ( lim 7 x f x ， ) ( lim 7 x f x 不存在，故 7 x 是 ) (x f 的第二类间断点.又因 0 1 1 sin ) 1 ( lim ) ( lim 1 1 x x x f x x
5、， 1 ) ( lim 1 x f x ，故 1 x 是 ) (x f 的跳跃间断点. 4若 f 在 0 x 点连续，则 f ， 2 f 是否也在 0 x 连续？又若 f 或 2 f 在I 上连 续，那么 f 在I 上是否连续？ 解（1）若 f 在 0 x 点连续，则 f 与 2 f 在 0 x 连续. （i） f 在 0 x 点连续。事实上，由于 f 在 0 x 点连续，从而对任给正数 ，存在 正数 ，当 0 x x 时，有 ) ( ) ( 0 x f x f ，而 ) ( ) ( 0 x f x f ) ( ) ( 0 x f x f 故当 0 x x 时，有 ) ( ) ( 0 x f
6、x f ，因此 f 在 0 x 点连续. 西南财经大学经济类数学分析第四章（函数的连续性）习题选解 第 3页 （ii） 2 f 在 0 x 点连续。事实上，由于 f 在 0 x 点连续，从而由局部有界性知： 存在 0 M 及 0 1 使当 1 0 x x 时， 有 () fxM ， （1） 有连续性定义知：对任给正数 ，存在正数 2 ，当 2 0 x x ，有 0 () () fx fx （2） 先取 , min 2 1 ，则当 0 x x ，上（1）与（2）式同时成立，因此 ) ( ) ( 0 2 2 x f x f ) ( ) ( 0 x f x f ) ( ) ( 0 x f x f )
7、 ( ) ( 0 x f x f ) ) ( ) ( ( 0 x f x f 0 ( ) ) Mfx 故 2 f 在 0 x 点连续. （2）逆命题不成立。例如设 为无理数 为有理数 x x x f , 1 , 1 ) ( ，则 f ， 2 f 均为常数，故是连续函数， 但 ) (x f 在 ) , ( 任一点都不连续. 2 连续性的性质（P81） 1.讨论复合函数 g f 与 f g 的连续性： （1） ) (x f x sgn ， 2 1 ) ( x x g ； 解（1）由于 ) (x f x sgn ， 2 1 ) ( x x g ， 故 ) ( g f 1 ) 1 sgn( ) ( 2
8、 x x ，可见 g f 是连续函数。 又因为 . 0 , 1 , 0 , 2 ) )( ( x x x f g 因此 0 x 是 f g 的可去间断点，其余点处处连续. 3 设 g f , 在区间I 上连续，记 ) ( ), ( max ) ( x g x f x F ， ) ( ), ( min ) ( x g x f x G ， 证明F 和G也都在I 上连续. 西南财经大学经济类数学分析第四章（函数的连续性）习题选解 第 4页 证 因 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( x g x f x g x f x F （据 P21 总练习题 1） ， 再由 P. 7 3 习题 4，知
9、 | ) ( ) ( | x g x f 在I 上连续，所以 ) (x F 是区间I 上连续函数 g f , 经四则 运算而得，故 ) (x F 也在I 上连续. 同理由 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( x g x f x g x f x G 知 ) (x G 也在I 上连续. 4设 f 为R上连续函数，常数 0 c ，记 . ) ( , , ) ( ), ( , ) ( , ) ( c x f c c x f x f c x f c x F 若 若 若证明F 在R上连续，提示： ) ( , min , max ) x f c c x F （ . 证 由于 ) (x F 可表示
10、为 ) ( ) ( 2 1 ) ( x f c x f c x F ， 且 ) (x f 是连续函数，故 c x f ) ( 与 ) (x f c 都是连续函数，从而 c x f ) ( 与 ) (x f c 都是连续函数，所以 ) (x F 是连续函数. 6设 f 在 ) , a 上连续，且 ) ( lim x f x 存在。证明： f 在 ) , a 上有界。又 问 f 在 ) , a 上必有最大值或最小值吗？ 证 由于 ) ( lim x f x 存在，不妨记 A x f x ) ( lim ，对 1 ，存在正数M ， 当 M x 时， 有 1 ) ( A x f ，从而 1 ) ( A
11、 x f （1） 又因 f 在 ) , a 上连续，故 ) (x f 在 , M a 上连续，由连续函数有界性可知：存 在正数 1 G ，对任给 , M a x ，有 1 ) ( G x f （2） 取 1 , max 1 A G G ，则对任何 ) , a x 由（1） ， （2）便有 G x f ) ( . f 在 ) , a 上不一定有最大值或最小值。例如函数 1 () fx x 在 ) , 1 上连 续，但没有最小值；函数 1 ()1 fx x 在 ) , 1 上连续，但没有最大值. 7若对任何充分小的 0 ， f 在 , b a 上连续，能否由此推出 f 在 ) , ( b a 内连
12、续. 西南财经大学经济类数学分析第四章（函数的连续性）习题选解 第 5页 解 可推出 f 在 ) , ( b a 内连续，事实上，对任给 ) , ( 0 b a x ，取 0 2 , 2 min 0 0 0 x b a x ，则 ) , ( 0 0 0 b a x , 0 0 b a ，由于 ) (x f 在 , 0 0 b a 上连续，故 ) (x f 在 0 x 连续。由 0 x 的任意性，可知 ) (x f 在 ) , ( b a 内连 续. 12证明 x x f ) ( 在 ) , 0 上一致连续。 证 因 x x f ) ( 在 1 , 0 上连续，从而一致连续. 0 2 , 0 ，
13、当 ) , 1 , 2 1 x x ， 2 1 x x 时 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 2 2 2 2 1 x x所以 ) (x f 在 ) , 1 上也一致连续. 从而 x x f ) ( 在 ) , 0 上一致连续. 13证明： 2 ) ( x x f 在 , b a 上一致连续，但在 ) , ( 上不一致连续. 证 先证 2 ) ( x x f 在 , b a 上一致连续，对任给 , , 2 1 b a x x ，因 ) ( ) ( 2 1 x f x f = 2 2 2 1 x x = 2 1 x x 2 1 x x , max 2 b a 2 1 x x 于是，对任给正数 ，取 , max 2 b a ，当 2 1 x x 时，有 ) ( ) ( 2 1 x f x f 故 ) (x f 在 , b a 上一致连续. 再证 ) (x f 在 ) , ( 上不一致连续。取 1 0 ，不论正数 取的多么小，只 要n充分大，总可以使 n n x n 1 与 n x n “ 的距离 n x x n n 1 “ ，但 “ 0 2 1 ()()2 nn fx fx n 故 ) (x f 在 ) , ( 上不一致连续.
