实变函数期末复习资料试卷.pdf

1、（第 1 页，共 24页）安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院 第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期实变函数试卷一实变函数试卷一实变函数试卷一实变函数试卷一专业 _班级 _姓名 学号注 意 事 项1 、本试卷共 6 页。2 、 考生答题时必须准确填写专业 、 班级 、 学号等栏目 ， 字迹要清楚 、 工整 。一、 单项选择 题 （ 3 分 5 = 1 5 分）1 、 1 、 下列各式正确的是（ ）（ A） 1l i m n kn n k nA A = = ; （ B ） 1l i m n kn k nn A A = = = ;（ C） 1l i m n kn n

2、 k nA A = = ; （ D ） 1l i m n kn k nn A A = = = ;2 、设 P 为 Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（ A ） =P c (B) 0mP = (C) PP = (D) PP =3 、 下列说法不正确的是 （ ）( A ) 凡外侧度为零的集合都可测 （ B ） 可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （ D ） 波雷耳集都可测4 、设 ( )nf x 是 E 上的 . .a e 有限的可测函数列 , 则下面不成立的是 ( )题号 一 二 三 四 五 总分得分得 分考生答题不得超此线（第 2 页，共 24页）（ A ）若 ( )

3、 ( )nf x f x , 则 ( ) ( )nf x f x (B) s up ( )nnf x 是可测函数（ C ） i nf ( )nn f x 是可测函数 ; （ D ）若 ( ) ( )nf x f x , 则 ( )f x 可测5 、 设 f(x)是 , ba 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )( xf 在 , ba 上有界 (B) )( xf 在 , ba 上几乎处处存在导数（ C ） )( xf 在 , ba 上 L 可积 (D) =ba afbfdxxf )()()(二 . 填空 题 ( 3 分 5 = 1 5 分 )1 、 ( ) ( ( ) )s sC A

4、 C B A A B = _ _2 、设 E 是 0,1 上有理点全体，则 E = _,oE = _,E = _.3 、 设 E 是 nR 中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集 T 都 有_，则称 E 是 L 可测的4 、 )( xf 可测的 _条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 .（填 “ 充分 ” ， “ 必要 ” ， “ 充要 ” ）5 、 设 ( )f x 为 ,a b 上 的 有 限 函 数 ， 如 果 对 于 ,a b 的 一 切 分 划 ， 使_,则 称 ( )f x 为 ,a b 上的有界变差函数。三、 下列命 题是否 成立 ? 若成 立 , 则证 明之 ; 若不 成

5、立 , 则举反例说明 . ( 5 分 4 = 2 0 分 )1 、设 1E R ，若 E 是稠密集，则 C E 是无处稠密集。2 、 若 0=mE ，则 E 一定是可数集 .得 分得 分（第 3 页，共 24页）3 、 若 | ( ) |f x 是可测函数，则 ( )f x 必是可测函数。4 设 ( )f x 在可测集 E 上可积分，若 , ( ) 0x E f x ，则 ( ) 0E f x 四、 解答题 （ 8 分 2 = 1 6 分） .1 、 （ 8 分 ） 设 2 ,( ) 1 ,x xf x x= 为无理数为有理数 ， 则 ( )f x 在 0,1 上是否 R 可积 ， 是否 L

6、可积，若可积，求出积分值。得 分（第 4 页，共 24页）2 、 （ 8 分） 求 0 l n( )l i m c osxn x n e x dxn +五、 证明题 （ 6 分 4 + 1 0 = 3 4 分） .1 、 （ 6 分） 证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c .得 分考生答题不得超过此线（第 5 页，共 24页）2 、 （ 6 分 ） 设 ( )f x 是 ( ), + 上 的 实 值 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 意 常 数, | ( ) a E x f x a= 是闭集。3 、 （ 6 分） 在 ,a b 上的任一有界变差函数 ( )f x 都可以表示为两个增

7、函数之差 。4 、 （ 6 分） 设 , ( )m E f x ，存在闭子集 F E ，使 ( )f x 在 F 上连续，且 ( )m E F = 是一开集 .得 分（第 11页，共 24页）2.(6分 ) 设 0, ,G E 开 集 使 * ( )m G E ， 必存在E 上的连续函数 ( )x ，使 | ( ) ( ) |ba f x x dx = 是一开集 .得 分（第 17页，共 24页）3 、 （ 6 分 ） 设 ( )f x 是 可 测 集 E 的 非 负 可 积 函 数 ， ( )g x 是 E 的 可 测 函 数 ， 且| ( ) | ( )g x f x ，则 ( )g x

8、也是 E 上的可积函数。4 、 （ 6 分）设 ( )f x 在 E 上积分确定，且 ( ) ( ) .f x g x a e= 于 E ，则 ( )g x 在 E 上也积分确定，且 ( ) ( )E Ef x dx g x dx= （第 18页，共 24页）5 、 （ 10 分 ） 设 在 E 上 )()( xfxf n , 而 )()( eaxgxf nn = 成立 , ,2,1=n , 则有 )()( xfxg n 得 分阅卷人复查人（第 19页，共 24页）安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院 第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期实变函数试卷四实变函数试

9、卷四实变函数试卷四实变函数试卷四专业 _班级 _姓名 学号注 意 事 项1 、本试卷共 6 页。2 、 考生答题时必须准确填写专业 、 班级 、 学号等栏目 ， 字迹要清楚 、 工整 。一 . 单项 选择题 （ 3 分 5 = 1 5 分）1 设 P 为 Cantor集，则（ A ） =P 0 (B) 1=mP (C) PP = (D) PP =2. 下列说法不正确的是 ( )(A) 0P 的任一领域内都有 E 中无穷多个点，则 0P 是 E 的聚点(B) 0P 的任一领域内至少有一个 E 中异于 0P 的点，则 0P 是 E 的聚点(C) 存在 E 中点列 nP ，使 0nP P ，则 0P

10、 是 E 的聚点(D) 内点必是聚点3.设 )( xf 在 E 上 L 可积 , 则下面不成立的是 ( )(A) )( xf 在 E 上可测 (B) )( xf 在 E 上 a.e.有限题号 一 二 三 四 五 总分得分得 分考生答题不得超此线考生答题不得超此线（第 20页，共 24页）(C) )( xf 在 E 上有界 (D) )( xf 在 E 上 L 可积4. 设 nE 是 一列可测集， 1 2 nE E E ，则有（ ） 。（ A ） 1 l i mn nn nm E m E= (B) 1 l i mn nn nm E mE= = （ C ） 1 l i mn nn nm E m E=

11、 = ; （ D ）以上都不对5.设 )( xf 为 , ba 上的有界变差函数 , 则下面不成立的是 ( )(A) )( xf 在 , ba 上 L 可积 (B) )( xf 在 , ba 上 R 可积(C) )( xf 在 , ba 上 L 可积 (D) )( xf 在 , ba 上绝对连续二 . 填空 题 ( 3 分 5 = 1 5 分 )1 、设 1 1 , 2 , 1 , 2,nA nn n= = ，则 = nnAl i m _。2 、设 E R , 若 ,EE 则 E 是 集； 若 0EE ，则 E 是_集；若 EE = ，则 E 是 _集 .3 、设 iS 是一列可测集，则 11

12、_i iiim S m S= 4 、 鲁津定理 ： _5 、设 ( )f x 为 ,a b 上的有限函数，如果对于 ,a b 的一切划分，使_， 则称 ( )f x 为 ,a b 上的有界变差函数 。得 分得 分阅卷 人复查 人（第 21页，共 24页）三 . 下列命题 是否成立 ? 若成立 , 则证明之 ; 若不成立 , 则说 明原因或 举出反例 . ( 5 分 4 = 2 0 分 )1 、 A 为可数集， B 为至多可数集，则 A B 是可数集 .2 、 若 0=m E ，则 0=Em .3 、 若 | ( ) |f x 是可测函数，则 ( )f x 必是可测函数4 设 ( )f x 在可

13、测集 E 上可积分，若 , ( ) 0x E f x ，则 ( ) 0E f x 得 分（第 22页，共 24页）四 . 解答 题 ( 8 分 2 = 1 6 分 )1 、 设 ,( ) 1,x xf x x= 为无理数 为有理数 ， 则 ( )f x 在 0,1 上是否 R 可积 ， 是否 L 可积 ，若可积，求出积分值。2 、 （ 8 分） 求 0 l n( )l i m c osxn x n e x dxn +.得 分（第 23页，共 24页）五 . 证明 题 ( 6 分 3 + 8 2 = 3 4 分 )1 、 （ 6 分 ） 设 ( )f x 是 ( ), + 上 的 实 值 连 续

14、 函 数 ， 则 对 于 任 意 常 数, | ( ) a E x f x a= 是闭集。2.(6分 ) 设 0, ,G E 开 集 使 * ( )m G E ，则 E 是可测集。3. （ 6 分）设 ) ( xf n 为 E 上可积函数列， eaxfxf nn .)()(l i m = . 于 E ，且 E n kdxxf |)(| ， k 为常数，则 )( xf 在 E 上可积 .得 分（第 24页，共 24页）4.（ 6 分 ） 设函数列 ( )nf x ( 1 , 2 , )n = 在有界集 E 上 “ 基本上 ” 一致收敛于 ( )f x ，证明： ( ) . .nf x a e 收敛于 ( )f x .5.（ 10 分）试用 Fatou引理证明 Levi定理 . 得 分阅卷人复查人