1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/第 卷 第 期年 月宁 波 高 等 专 科 学 校 学 报】 二 洲 有 理 函 数 曲 线 的 渐 近 线 求 法贝 颂 民公 安 海 誉 高 等 专 科 学 校 浙 江 宁 波摘 要 文 章 阐 述 了 求 有 理 函 数 曲 线 的 渐 近 线 , 不 仅 可 用 常 规 的 通 过 求 极 限 值 的 方 法 来 确 定 , 还 可 用 初 等 方 法 来确 定 。关 键 词 有 理 函 数 曲 线 渐 近
2、线 求 法中 图 分 类 号 文 献 标 识 码 文 章 编 号 一 一 一引 言 在 直 角 坐 标 系 中 , 描 绘 函 数 图 形 的 过 程 时 , 对 函 数 图 形 无 限 远 离 原 点 的 情 形 , 往 往 借 助于 渐 近 线 来 描 绘 。 可 见 , 曲 线 的 渐 近 线 对 确 定 曲 线 的 形 状 有 重 要 的 意 义 。 现 就 在 教 学 过 程 中 对 求 有理 函 数 曲 线 的 渐 近 线 方 法 介 绍 如 下 , 目 的 在 于 抛 砖 引 玉 。曲 线 的 渐 近 线 定 义如 果 一 个 点 沿 着 曲 线 离 坐 标 原 点 无 限 远
3、移 时 , 与 某 一 直 线 的 距 离 趋 近 于 零 , 则 称为 曲 线 的 一 条 渐 近 线 。曲 线 渐 近 线 的 三 种 情 形对 于 平 面 内 任 一 曲 线 至 多 有 三 种 情 形 的 渐 近 线 垂 直 、 水 平 、 斜 渐 近 线 。 根 据 曲 线 渐 近 线 的 定义 , 在 高 等 数 学 讲 义 一 书 中 , 已 经 证 明 了 求 这 三 种 曲 线 渐 近 线 的 方 法 如 下曲 线 的 垂 直 渐 近 线 如 果 极 限 螃 二 , , 则 。 为 曲 线 二 的 一 条 垂 直 渐 近 线 。曲 线 的 水 平 渐 近 线 如 果 极 限
4、阿 二 。 存 在 , 则 为 曲 线 的 一 条 水 平 渐 近线 。曲 线 的 斜 渐 近 线 如 果 极 限为 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 。一 存 在, 且 辣 一 也 存 在 , 则 二 十有 理 函 数 曲 线 渐 近 线 的 一 般 求 法收 稿 日 期 一 一作 者 简 介 贝 颂 民 , 女 , 宁 波 公 安 海 警 高 等 专 科 学 校 副 教 授 。 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/宁 波 高 等 专 科 学 校 学
5、 报 年 第 期对 于 函 数 二 珊, 当 为 有 理 分 式 函 数 , 即一 扩 一尸 一氏玩鲤础其 中 和 都 是 正 整 数 或 零 氏 二 , , , 及 鳅 二 , , , , , 都 是 常 数 , 并 且 尹 。 ,玩 尹 时 , 则 曲 线 二 的 渐 近 线 可 用 上 述 方 法 来 确 定 , 同 时 还 可 用 下 述 方 法 来 确 定 。 憋 叭 线 的在 瓮 长 合 中 ,直 渐 近 线 于垂 直 渐 近 线找 出 满 足 二 且 笋 的 点 。 , 则 直 线 为 曲 线 二 的 一 条 垂事 实 上 , 当 卿 且 柱 卿 仄 尹 时 , 有条 垂 直 渐
6、 近 线 。确 定 曲 线 的 水 平 渐 近 线时 。 所 以 二 为 曲 线 的 一在 , 黯 中 ,当 时 , 则 直 线 二 为 曲 线 二 的 一 条 水 平 渐 近 线 。二, , , , 争 买 上 , 由 欲 呢 乏 笃 称 万 一 ” 知 , 肺 以 直 线 二 为 曲 线 , 的 一 条 水 半 渐 近 线 。当 二 时 , 则 直 线 二 粤 为 曲 线 二 幼 的 一 条 水 平 渐 近 线 。事 实 上 , 由 极 限 腼 琪 共 奥 知工 一 、 。, 所 以 直 脚 贵 为 曲 线 ,的 一 条 水 平 渐 近 线 。确 定 曲 线 的 斜 渐 近 线在 , 珊
7、中 , 当 。 时 , 有 理 函 数 为 假 分 式 。 可 以 利 用 多 项 式 的 除 法 把 它 化 为 一 个 多 项 式。 , 、 、 。 。 。 、勺 一 一 具 分 八 乙 和 , “ ” 石 二 丈 夏 了 一 、 尹 十 石 仄 玉 了 ,其 中 , 、 都 是 多 项 式 , 并 且 的 最 高 次 数 小 于 二 的 最 高 次 数 。当 为 一 次 多 项 式 , 即 二 十 时 , 则 直 线 为 曲 线 二 的 一 条 斜 渐 近 线 。事 实 上 , 由 一 二 二 得 二 【 一 二 , 根 据 曲 线 渐 近 线 的 定 义 , 曲 线 上 的 点远 离
8、原 点 时 , 该 点 与 某 直 线 的 距 离 趋 近 于 零 , 所 以 直 线 为 曲 线 二 的 一 条 斜 渐 近 线 。当 至 少 为 二 次 多 项 式 时 , 曲 线 没 有 斜 渐 近 线 十 及 水 平 渐 近 线 。 。事 实 上 , 假 设 曲 线 二 有 斜 渐 近 线 , 则 由 上 述 中 推 得 为 一 次 多 项 式 , 这与 已 知 矛 盾 , 所 以 曲 线 二 没 有 斜 渐 近 线 十 假 设 曲 线 有 水 平 渐 近 线 , 则 由上 述 可 知 , 在 有 理 函 数 中 或 这 与 已 知 矛 盾 , 所 以 曲 线 没 有 水 平 渐 近
9、线 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/贝 颂 民 有 理 函 数 曲 线 的 渐 近 线 求 法确 定 曲 线 无 渐 近 线对 于 函 数 二 , 当 为 有 理 整 函 数 , 即 。 也 称 次 多 项 式 时 , 则 曲 线没 有 渐 近 线 。事 实 上 , 由 极 限 二 二 知 , 所 以 曲 线 二 没 有 任 何 情 形 的 渐 近 线求 有 理 函 数 曲 线 渐 近 线 的 举 例例 求 曲 线 二 及 不 厄 夏 不 了 的 渐
10、 近 线 。解 由 于 函 数 的 分 母 尹 一 二 、 一 ,函 数 的 分 子 , ,显 然 , 一 且 一 尹 且 和 尹 ,所 以 直 线 一 及 二 为 已 知 曲 线 的 二 条 垂 直 渐 近 线 。利 用 多 项 式 的 除 法 把 函 数 化 为 一 个 多 项 式 与 一 个 真 分 式 之 和 ,一一 一一所 以 二 一 为 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 。例 求 曲 线 二 的 渐 近 线 。解 由 于 在 函 数 中 分 母 的 最 高 次 数 大 于 分 子 的 最 高 次 数 ,所 以 直 线 二 。 为 曲 线 的 一 条 水 平 渐 近 线 。例 求 曲 线 二 , 一 一 的 渐 近 线 。解 由 于 函 数 为 三 次 多 项 式 函 数 , 它 是 有 理 函 数 的 特 殊 情 况 ,所 以 曲 线 , 一 扩 一 无 渐 近 线 。参 考 资 料樊 映 川 等 高 等 教 学 讲 义周 济 大 学 数 学 教 研 室 高 等 数 学 习 题 集【 数 学 手 册 编 写 组 数 学 手 册一硕 , , 砚 ,卿 , 即叮 而 珊, 抑 ,
