1、1浅析多元函数最值问题作 者-欧金秀宜宾学院数学学院数学与应用数学学院 2008 级 2 班 四川 宜宾 644000指导老师-张 玲摘要 ： 最值问题是数学永恒的话题，也是历年各类考试的热门考点。而在最值求解中，尤以多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变而具有挑战性，本文主要通过消元法、不等式法以及数形结合的方法结合典型的例子阐述求多元函数最值问题的方法技巧与创新思维。关键词： 多元函数 最值 消元 不等式 数形结合 目录1、引言及相关定义22、求最值的方法 32.1 消元法 32.1.1 直接消元 32.1.2 拉格朗日乘数法 52.2 不等式法 62.2.1 均值不等
2、式 62.2.2 琴生不等式 92.2.3 幂平均不等式 112.2.4 柯西不等式 122.3 数形结合法 13结 束 语 15致谢词 16参 考 文 献 1621、引言及相关定义函数是数学最重要的内容之一，同时又是解决数学问题的重要理论之一。在科技生产、经济管理等诸多领域中，常常需要解决在一定条件下怎样使得投入最小，产出最多、效益最高等问题。而这些问题即为函数的最值问题，故函数最值的研究也具有重要的价值。如何用最简单高效的方法求函数是最值问题，仍需要不断的探索与创新。定义 1【竞赛数学】： 设函数 的定义域为 D。如果存在 D。 使 得 任 意 实 数xf 0xx D， 都 有 f(x)
3、， 则 称 为 函 数 在 D 上的最大值。可以简记为0f0xf maxf如果存在 D， 使 得 任 意 实 数 x D， 都 有 f(x) ，则 称 为 函 数0y 0yf0y在 D 上的最小值。可以简记为xf minf一元函数最值的概念可以类似的推广到多元函数的情形。对于定义域在上的元函数 nxf.,21设（ ） D， 若 对 一 切 （ ） ， 总 有021,x.n，nxff ,.210或者 称 在点（ ）达到最大（小）021.,nx.nxf.,21021,x.n值，而点（ ）为最值点。定义 2【竞赛数学】： 若有 n 个变量 满足方程（不等式）组nx,21， 0,21nixF mi,
4、1其中 mn。求出变量 的一组值，使得函数iy= nxf.,21 2取得最大值（最小值） 。也就是说，如果（ ）满足方程 ，且对满足 的01,x.n 1 1一切（ ） ， 总 有nx.,21 或 0fnxf.,21021.,nxfnxf.,21则 分 别 称 为 函 数 在条件下 的最大值（最小值） 。这种最值称为条件最21.,nx 2 13值，条件 中的等号也可以部分或全部改为不等号，并称为约束条件，而称 为目标函 1 2数。最值定理： 若函数在闭区间上连续，则该区间上一定有最值。注：相关定义及定理在此不做证明，可参考数学分析及竞赛数学等。2、求函数最值的方法2.1 消元法求函数最值消元法是
5、指通过消去变量(或未知数) 从而达到解题目的的方法。如果能先消去一些变量(或未知数) 使其减少到一个,使数量关系单一化,则便于找到解题途径。多元函数最值难求,关键在于变量较多。如果能够采取合理的手段消元,使变量减少甚至只剩下一个变量,则问题往往迎刃而解。消元法是求多元函数最值的最基本方法。2.1.1 直接消元法有的函数很容易根据约束条件消去一些变元，就可直接消元。例 1. 已知 是方程 的两个实数根，问当21,x053222 kxkRk为何值时， 有最大值，并求出其最大值。k分析： 根据方程有根的条件得出关于 k 的范围，再由根与系数的关系得到约束条件，进而根据目标函数求其最值。解： 由于所给
6、二次方程有实数根，故判别式，0531422k即 063 1韦达定理，有 21kx 253 3因此，本题实际上就是求在约束条件 下，求目标函数 1 2 321xy 4的最大值。这里包含的变元有 ，k。为了消去 ，将 代入 ，得 2, 21,x 2 3 412121 xxy60k952记 kf9524而由 可知 1 34k于是问题转化求 在区间 上的最大值，由 在 I 的单调性可知f, xf当 时， 有最大值 18.4k21x例 2 . 在约束条件 下，求函数 1 042yyxyxyf 242, 的最大值。分析：约束条件很显然是个椭圆方程，我们可以利用其参数方程将二元转化为一元，达到消元的目的，从
7、而利用一元函数求最值的方法求其最值解：约束条件 可化为 042yx 142yx令 ， 则 sincoyyxyf,22有 sincosinco422 fi 1令 ， ，由 转化为讨论函数sinco 24sin2 1，142g2当 取得最大值 时， 取得最大值yxf,3此时 ， 解得 42,注： 如果约束条件符合某些特征，根据解析几何的有关知识，将其化为参数（或极坐标）方程（或不等式） ，从而达到消元的目的。例 3 设 ，求 的最值。1922yx2yx解： 设 （ 为参数） ，则sin,cor2222 sincosyx19in12r5从而 ，因 ，故当 2yx2sin19r 12sin12sin即
8、 时， ，338minyx当 （即 或 ）时，12sin19,19,yx38max2y本题实际上是在极坐标下，求原点到椭圆 上各点的最大和最小距22离。一般来说，对于一个条件最值问题，若条件式（等式或不等式）及目标函数都是二元二次的，在极坐标下求解会比较简单。综上述： 值得注意是，消元后，留下的元（变量或未知数）的取值范围往往并不是任意的，而要根据题设条件挖掘出来，而这往往成为解题的关键。2.1.2 Lagrange 乘数法当有些函数很难消元，或者消元后反而使函数变得更复杂，则可利用拉格朗日乘数法求最值。拉格朗日乘数法如求二元函数 在条件 =0 下的极值，设拉格朗日函数 =yxfz,yx,yx
9、Lyxf,解方程组 0Lxfyx注意：此法求最值的必要条件，不充分。但是在某些实际问题中，若驻点存在且唯一又在区域的内部，则唯一驻点一定为最值点。 求出的驻点是可能的极值点，比较驻点与边界点函数值大小可得最值。 例 1 . 要设计一个容量为 的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材2 0V料最省？解：设 x , y , z 分别表示长、宽、高， 则有 ，所求表面积为 0Vxyz令zS2 02, xyzzyxL6解方程组 得唯一驻点02VxyzLzzyx 302Vzyx即最值点为 ，3,30此时 =xyzS23204=mins304V例 2 . 求表面积为 而体积为最大的长方体的体
10、积 . 2a分析：这是一个有关函数最值的实际问题，先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其极值点，进而确定最值。解： 设长方体的三棱长为 ，则有 2xy+2yz+2xz=zyx, 2a即 =2xy+2yz+2xz- =0 (1)(,)xyz2a作拉格朗日函数 L(x,y,z, )=xyz+ (2xy+2yz+2xz- ),2由 =yz+2 (y+z)=0XL=xz+2 (x+z)=0 得 ， ， Y zyxxzy=xy+2 (x+y)=0 ZL得 x=y=z (2) 将(2)代入 (1)，得唯一可能极值点 x=y=z= 。6a由该问题的实际意义可知，此点就为所求最大值点。即正方形的体积最大，
11、最大体积为 V= 。3a综上述：应用拉格朗日求函数的最值要先找到目标函数，确定定义域即约束条件，求其可能最值点，进而确定最值。2.2 不 等 式 法不等式与函数的最值问题是密切相关。由一个最值问题的解，可以得到一个不等式。例如，若 在 上的最大值及最小值是 A,B 则有 。而由xfba, bxaAfBzxy7，使不等式成为求最值的重要工具之一，AxfB2.2.1 均值不等式均值不等式：设 是 n 个正数，则a.2,1 )()()()( nnQAGH其中 naanH11)(.2nna.21)(An.1)( Qnn221)( .当且仅当 时取等naa.21定理 1：设正变数 满足方程 =S, 这里
12、 都是x,1 nxaxa21 San,21正常数，那么乘积 当 时为最大。n2 n21定理 2：设正变数 满足方程 ，若 都是正常数，x,1 Mx n,21那么函数 当 时为最小。naxa21 na21在将均值不等式应用于求最值时,要求比较高,可概括为:“一正、二定、三相等”。即: (1) 所涉及的量必须都正数; (2) 这些正数的“和”或“积”是定值:当积为定值时,可以求和的最小值;当和为定值时,可以求积的最大值; (3) 这些正数必须相等。这三点缺一不可,否则,结论不成立。例 1. 如图在平面直角坐标系中，在 Y 轴的正半轴（原点除外）上给定两个定点 A、B，试在 X 轴（原点除外）上求一
13、点 C，使ACB 取得最大值。解：设点 A(0，a) B（0，b） C（x，0）其中 abc，x0，设 =ACB,=OCB, 则OCA=+, ,8XYABCO， 因当 时， 取最大值 2， xab22xababxxab且在 内， 是增函数,0tn故当 时，=ACB 取最大值 ，C 点坐标为（ ） 。abxab2rctn0,ab例 2 . 已知 a，b，c，d， e 是满足, ，4 8ed的实数，试确定 e 的最大值。1622a解：有题设有 ，c822216ecba于是由均值不等式 2nAQ得 22 44dcdcba有 222ba即 816e即 05e所以 以上不等式当且仅当 a=b=c=d 时
14、等号成立，由此可知 ，此时516maxea=b=c=d= 。569注：此题也可以构造柯西不等式去证明。例 3 . 求函数 （ 0）的最小值。5 32648xy解： 设 常数nmx3232648其中 m，n 是待定的正整数，这就有 032n且 m，n 分别是 8,64 的因数，于是 m=4，n=2，因此328xy)()2( 2x=287342x其中等号当且仅当 ，即 x=2 时成立，故32x28miny注： 常数，但不能由 导出 。932648nmx 4633x24miny这是因为不存在实数 x，使得 ，也就是说，不等式中不可能取等号。32648x注： 用均值不等式求最值的解题要点是“和定”积最
15、大，积定和最小” ，即当题目条件是和( 积)的形式为定值， 求积(和)的形式的最值时往往可用均值不等式解之均值不等式是解决多元函数求最值的行之有效的方法。只要满足了“一正、二定、三相等”的条件,就屡试不爽。但在具体解题时,因其技巧性较强, 简单的可以目测，难的可以通过待定系数，进行拆分项或恰当配凑因式。例3很好的证明了此技巧。创设使用均值不等式的条件,因此,需要多做题,细揣摩,才能把握好。2.2.2 琴生不等式定理：若 在区间 I 内的上凸函数，则对任意的 I， 以 及 任 意 的 xf nx.,21，Rn,21 121n必 有 。 若 在nxfxffxxf 21 f区间 I 内的下凸函数，则
16、不等号反向。其中等号当且仅当 时成立。21推论：若 在区间 I 内的上凸函数，则对任意的 I， 总 有xf nx.,210。 若 在区间 I 内的下凸函数，则nxffxfnxf n 2121 f不等号反向。其中等号当且仅当 时成立。n21注： 上述重要定理及其推论就是重要的琴生不等式。 1利用琴生不等式考察最值问题时，必须选择恰当的函数，使其在某个区间内为上凸 2或下凸函数。例 1 设 a，b ， 且 。 求 的 最 值 。6 R1ba221)(ba分析：用琴生不等式考察最值问题时，必须构建恰当的函数，使其在某个区间内为上凸或下凸函数。解： 构建函数 x021xf32442xf因 为 x0，所
17、以 0，即 为（0，+）的下凸函数。fxf由琴生不等式有， （1）21xf 21ff令 ， 。有，ax1b= =2ff45=1xff221)(ba由 （1）知， 22)(45当且仅当 即 a=b= 时取等。21x1注 ： 此 题 还 可 以 用 柯 西 不 等 式 或 均 值 不 等 式 求 解 。例 3 证 明 :在 圆 的 内 接 n 边 形 中 ， 以 正 n 边 形 的 面 积 为 最 大 。7证 明 ： 设 圆 的 半 径 为 r， 内 接 n 边 形 的 面 积 为 s， 各 边 所 对 的 圆 心 角 分 别 为， 则 n21,11S= nrsiisin2121设 ， 由 于 它
18、 在 （ 0， ） 内 上 凸 ， 于 是 有xf =nsisini21 n21i n2si所 以 当 时 ， s 取 最 大 ， 也 就 是 以 正 n 边 形 的 面 积 最 大 。n21综上述：由重要不等式求函数的最值只需构造不等式中相应是形式（或满足条件的函数）并注意不等式取等的条件。2.2.3 幂平均不等式幂平均不等式：若 ，则,.21,0nixi 1211 ).().( nxx等号当且仅当 n 个正数相等时成立。注：当条件最值里的约束条件是一些正数的同次幂的和为定值时，就可以用幂平均不等式去确定这些正数的另一个同次幂的和的最大值（最小值） 。例 2 若 a0 ，b0，c0 ，且 .
19、 的8 1cba3331cba最小值。分析： 观察要求函数的形式有三次方，而柯西不等式、均值不等式都不含有三次方的形式，且一次的和为定值，可选择幂平均不等式来求解。解： 考察三个正数 ， ， 的幂平均数，a1bc113M得 33333 cba= 31cba其中等号在 = = 时取得，即 a=b=c 时成立。a1bc另一方面，考虑三个正数 a，b，c 的幂平均数12由 得 =1M 331cbacba1于是有 。把这个结果代入到前面的不等式9cba得 31331c0即 33311cba0当 a=b=c= 时，所求函数值最小为 9注：利用幂平均不等式求最值问题时应注意： .各字母必须是正数； .须恰
20、当选择幂平0102均数的指数； .几个正数相等的条件必须具备。032.2.4 柯西不等式柯西不等式：设 ，则),.21(,niRbainiiini baa1212)(,当且仅当 时，不等式取等nb.21柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用广泛,灵活巧妙地运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。在使用时,往往要采取一些方法(如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等) 构造符合柯西不等式的模式及条件,从而达到解决问题的目的。例1 设 ,且 ,求 u = 的最小值。,0xyz1xyz49xyz解:由柯西不等式可得, 14949uxyzxyzxyz132149xyz236由 及 可得, ，24
21、9yzx1xyz1,32xyz.min36u本题构造出了符合柯西不等式的形式及条件,继而达到解题目的。例 2 . 设 ，求函数 的最小值。8 1zyx 223zyx解：根据已知条件和柯西不等式，我们有zz12=21133zyx6因此， ，由此推得 只要能找到一组 x，y，z 使得 恰好取得 就证1616min 16明了 。为此应用柯西不等式中等号成立的条件，可列出方程min即 ， 代入 ，求得zyx,3,23,2yxzzyx，所以1616,1当且仅当min,zyx2.3 数 形 结 合 法数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合。通过构造图形，培养思维的
22、灵活性、直观性，创造性，使问题化抽象为具体化难为易， 。关键是找出满足条件结论的几何特征，构建几何模型，从而达到解决问题的目的。例 1 求 函 数 的 值 域 。21xy解 ： 021,x1x0yxYPOA14可 以 看 成 21xy201xy即 点 与 点 的 斜 率,而 点 在 半 圆 上 ， 如 下 图 所 示21x12y0PAky0而 312tanOy 的 值 域 为 3,0例 2 关于 x 的二次方程 中， 均是复数，且9 0212mzxz,21设这个方程的两个根 ， 满足 ，求 的最大值和iz201641 7最小值。解：根据韦达定理有 ， 。1zz2由 ，所以 =28，m4422
23、2124zmXY BAC(4,5)例 3 若 实 数 x， y 满 足 ， 试 求 的 最 大 值 与 最 小 值 。10 5xyt22分 析 ： x， y 满 足 ， 所 确 定 的 点 集 为 一 个 正 方 形 ABCD 边 界 而 目 标 函 数 可 化为 ， 把 t 作 为 一 个 参 数 。 它 表 示 以 点 H（ 1,0） 为 圆 心 的 圆 心 族 。112t因 此 ， 要 求 t 的 最 值 ， 只 需 求 圆 族 中 与 正 方 形 ABCD 的 边 界 的 公 共 点 的 具 有 最 值 的 半径 的 圆 。即 ，故复数 m 在以 A（4,5）为圆心，以 7 为半754
24、im径的圆周上，如图所示又因为 7，故原点 O 在圆 A 内，连接 OA，并延长交1OA圆 A 与点 B,C则 ，max 741Bin C15于 是 得 ， 最 小 点 有 两 个 E(3,2) F(3,-2)712mint总 结 ： 利 用 给 定 的 函 数 的 特 征 ， 构 造 其 函 数 的 特 征 图 ， 以 形 助 数 ， 利 用 图 形 的 性 质 求 函数 的 最 值 。例4 设0 0 ,求 的最小值。1 2 229 ()suvuv分析：观察所求函数的最值跟两点间的距离公式很相似，而这两点又刚好在圆和双曲线上，利用其几何特征，解决问题。解:设 ,则 ，此时,P 的轨迹是29,
25、PuQv2 |sPQ,2,0,0xyxyQ 的轨迹是 ,( )9在平面直角坐标系中做出动点P ,Q 的轨迹(如图) ,则,即| OQ| min = . ,2281Ov32281v数形结合解题的关键是寻找满足条件的几何特征，根据特征画出起图形，根据图形的性质达到解决问题的目的。由图可知，过 C 点的圆的半径最大圆的半径 HC=6，于是 35162maxt最大点为 C(-5,0)由图可知，半径最小的圆是正方形 ABCD 的两边 AB,AD 相切的圆此 时 圆 的 半 径 为 HE=HF= 2A可得 v = 3 。又| OP| = 2 ,| PQ| | OQ| - | OP| = 2 .2 |8sP
26、Q即当 时, .31vumins16结 束 语综 上 可 知 ， 多 元 函 数 最 值 的 求 法 种 类 还 有 很 多 ， 而 且 随 着 数 学 的 发 展 ， 还 会 更 加丰 富 ， 更 加 有 趣 。 函 数 最 值 问 题 内 涵 丰 富 ， 解 法 灵 活 ， 没 有 通 用 的 方 法 和 固 定 的 模 式 。其 常 用 方 法 有 ： 消 元 法 、 不 等 式 法 、 换 元 法 、 数 形 结 合 法 、 向 量 法 等 ， 其解法具有技巧性强、难度大、方法多、灵活性多变的特点具有挑战性。本 文 主 要 通 过 消 元 法 、 不 等 式法 以 及 数 形 结 合
27、的 方 法 结 合 典 型 的 例 子 阐 述 求 多 元 函 数 最 值 问 题 的 方 法 技 巧 与 创 新 。 在解 题 时 因 题 而 异 ， 上 述 方 法 可 以 独 立 使 用 ， 也 可 相 互 渗 透 。 本 文 采 取 不 同 的 形 式 论 述各 种 求 最 值 方 法 .在 论 述 简 单 的 方 法 时 ， 引 用 定 理 ， 甚 至 推 论 ， 再 辅 以 例 题 论 述 ； 比较 难 些 的 ， 采 用 更 加 详 细 的 提 出 、 分 析 、 解 决 的 步 骤 ， 使 论 述 更 加 浅 显 易 懂 。 因 此解 题 的 关 键 在 分 析 和 思 考 ，
28、 因 题 而 异 选 择 恰 当 的 方 法 ， 在 平 时 的 学 习 中 需 要 扎 实 基 本功 ， 培 养 敏 锐 的 思 维 。 如 何 用 最 简 单 高 效 的 方 法 求 函 数 是 最 值 问 题 ， 仍 需 要 不 断 的 探索 与 创 新 。致谢词时间如梭，转眼毕业在即。回想在大学求学的四年，心中充满无限感激和留恋之情。感谢母校为我们提供的良好学习环境，使我们能够在此专心学习，陶冶情操。谨向我的论文指导老师及学院老师致以最诚挚的谢意！张老师不仅在学业上言传身教，而且以其高尚的品格给我以情操上的熏陶。本文的写作更是直接得益于她的悉心指点，从论文的选题到体系的安排，从观点推敲
29、到字句斟酌，无不凝聚着她的心血。参 考 文 献 ： 1华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社.2陈 传 理 张 同 君 主 编 .竞 赛 数 学 教 程 (第 二 版 )高 等 教 育 出 版 社 3张焕明.主编中国中学教师优秀论文集 贵州教育出版社 4 李 盘 喜 祝 承 亮 隋 福 林 主 编 .高 中 数 学 解 题 题 典 东 北 师 范 大 学 出 版 社 5 陈 德 燕 主 编 .新 专 题 教 程 华 东 师 范 大 学 出 版 社 6 T.M.菲赫 金哥尔茨.微积分教程(第一卷第二分册).人民教育出版社7 同济大学数学教研室主编.高等数学(第四版下册).高等教育出版社8 同济大学数学教研室主编 高等数学 第三版 高等教育出版社.9 山东大学数学教研室主偏 吉米多维奇习题集 山 东科学技术出版社.10 合肥工业大学.工科数学.1995 年第 1 期.11 王全庆.求多元函数的一类方法A.大连民族学院学报，
