1、1函数零点存在的典型题函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用。函数的零点即方程的根，也就是函数的图像与 轴交点的横坐标。主要考查二次函数x及其性质，一元二次方程，函数的应用，解不等式等基础知识，考查数形结合，分类与整合的思想方法，以及抽象概括能力，运算求解能力。二次函数的零点情况分如下几种情况：(1)在某个区间上有一个零点，(2)在某个区间上有两个零点，(3)在某个区间上有零点，但没说多少个，(4) 在某个区间上有一个零点，且此零点大于零。例题如下：例 1. 若函数 在 内有一零点，求 的取值范围。12xaf,0a分析：把函数的零点问题转化为方程的根。此函
2、数恰有一零点，即方程在 内有一个根。可分为以下三种情况：012xa,(1) (2) (3) 且根在 内内 有 一 解，在,1,0解：由题意得令 ，因为最高次项系数是常数，所以首先要讨论最高次项系数为20 的情况。(1)当 时，解得 ,不在 内， 不符合题意a1x,0(2)方程有两个根，且有一个根在 内，即0f24a(3)当方程有两个相等的根时，即 ，解得 ，解得 ，不在 内。041a2x1,041a综上所述，当函数 在 内有一零点时，12xaf,例 2已知 是实数，函数 如果函数 在区间 上有,32afxf1,零点，求 的取值范围。a。解：由题意得若 时，则函数 ，在区间 上没有零点032xf
3、1,下面就 时分三种情况讨论：a(1)方程 在区间 上有重根，此时 ，解得xf1, 0624a273当 时， 的重根axf0x2731,2当 时， 的重根273axf0x2731,当方程 在区间 上有重根时， f1,a(2) 在区间 上只有一个零点且不是 的重根，此时有xf, 0xf， ， ，即 ，解得01f51af1af 15a，当 时，方程 在区间 上有两个相异实根， 当方程5a0xf,在区间 上只有一个根且不是重根时， 。 xf, (3)方程 在区间 上有两个相异实根0xf1,，其图像的对称轴方程为 ， 应满足322aafax21或01)(20faI010faI解不等式组 得 得 I5a
4、I273a当方程 在区间 上有两个相异实根时，0xf1, ,5273,注意到当 时， ，方程 在区间 上有根， 当51a0f0xf1,时， 且 ， 方程,273, 12faf2axf在 上有根。01,综上所述，若函数 在区间 上有零点，则 的取值范围是xfy1,1273,3例 3. 已知方程 只有一个正根，且这个根小于 1，求实数 的0432xmx m取值范围。分析：最高次项系数是常数，首先要讨论 的情况，此时要保证是正根且小于1。当 时，二次方程只有一个正根( ),且此根小于 1，或有一正根(小于 1)和一0m负根(或一零根)。解：由题意得(1)当 时，解得 ，不合题意。34x(2)当 时，显然 不是方程的根00题意中只有一个正根，可以分以下两种情况：此方程组无解I12ab23417m方程有两个根，其中I 0,1x不 是 它 的 根已 经 讨 论 0即 012xf331所以，当 时，方程 只有一个正根，且这个根小3m042xmx于 1。
