用MATLAB中的小波函数和小波工具箱.doc

1、研究生课程考试答题纸研 究 生 学 院考核类型：A（ ）闭卷考试（ 80%）+平时成绩（20%） ；B（ ）闭卷考试（50%）+ 课程论文（ 50%） ；C（）课程论文或课程设计（ 70%）+平时成绩（30%） 。题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计满分 20 25 25 30 100得分一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。 （20 分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于 3000 字。 （25 分）三、运用 MATLAB 中的小波函数和小波工具箱，分别对 taobao

2、.wav 语音信号在加噪之后的 taobao_noise.wav 信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降研究生课程考试答题纸第 1 页噪的理论依据。 （25 分）四、平时成绩。 （30 分）一、论述1. 连续小波变换将任意 空间中函数 在小波基下展开，称这种展开为函数 的连续小波变2()LR(t)f (t)f换(CWT),其表达式为 ，其中 a 为尺度因,1T,()()f aRtWaftfd 子，表示与频率相关的伸缩，b 为时间平移因子。其中为窗口函数也是小波母函数。,1()(),0attaR任意函数在某一尺度 、平移点 上的小波变换系数，实质上表征的是在 位置处，时 间段 上包含在中心

3、频率为 、带宽为 频窗内的频率分量大小。随着尺度 的变化，t0aa对应窗口中心频率 及带宽为 也发生变化。小波变换是一种便分辨率的时频联合分析0方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而分析高频信号时，其时间窗减小。这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间长的自然规律。尺度伸缩，对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展。在不同尺度下，研究生课程考试答题纸第 2 页小波的持续时间随 加大而增宽，幅度与 成反比减小，但波形不变，如下图所示：aa时间平移，指小波函数在时间轴上的波形平行移动，如下图所示：由于小波基函数在时间、频率域都具有有限或近似有限的定义域，显然经过平移后

4、的函数在时频域仍是局部性的，如下图所示：连续小波 的时频域窗口中心及其宽度都随尺度 的变化而伸缩，我们称,()ata为窗口函数的窗口面积。t连续小波基函数的窗口面积不随参数 的变化而变化， 、 的大小是相互制约,at研究生课程考试答题纸第 3 页的，它们的乘积 ，且只有当 为 Gaussian 函数时，等式才成立。将不同的12t()t值下的 的时频窗口绘在同一张图上，我们就可以得到小波基函数的像平面，如,a,()a下图所示：“小波”就是小区域、长度有限、均值为 0 的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与 Fourier 变换相比，小波变

5、换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了 Fourier 变换的困难问题，成为继 Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜” 。2. 多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基从数值计算数据压缩等角度，我们仍希望减小它们的冗余度，提出了寻找正交基的要求。多分辨率的理论是指将信号分解到不同的尺度空间，实现在各个尺度上可以有粗及精地观察。由多分辨率的思想我们可以将任意函数 分解为细, ,()jkjkdft0()ftV

6、节部分 和大尺度逼近部分 ,然后将大尺度逼近部分 进一步分解。如此重复就可以得1W1V1V到任意分辨率上的逼近部分和细节部分。在 MRA 理论中同一尺度下小波函数和尺度函数分别满足。研究生课程考试答题纸第 4 页1212()()Rftkftdk同一尺度下小波函数 同尺度函数 正交,jk,jk,()0jkjtdt小波函数 和尺度函数 在多分辨率分析中满足方程()t01, 0()()2()nnnththtn, 1这两个方程就是二尺度方程。利用二尺度方程可以构造出小波母函数，通过伸缩平移就得到整个平方可积空间的基。正交尺度函数 构造正交小波基，还有当尺度函()kzt数为 Riesz 基是构造的正交小

7、波基函数。所以说 MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。二、小波变换的工程应用综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展摘要：小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。小波分析是时间尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视

8、觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。 关键词:小波变换 工程应用 小波分析1 引言波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet 在 1974 年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如 1807 年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无研究生课程考试答题纸第 5 页穷级数的创新概念未能得到著名数学家 J.L.Lagrange，P.S.Laplace 以及 A.M.Legendre 的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Cal

9、deron 表示定理的发现、Hardy 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且 J.O.Stromberg 还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986 年著名数学家 Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与 S.Mallat 合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies 撰写的小波十讲（Ten Lectures on Wavelets） 对小波的普及起了重要的推动作用。它与 Fourier 变换、窗口 Fourier 变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变

10、换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis） ，解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜” ，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波(Wavelet)这一术语，顾名思义， “小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与 Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求

11、，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了 Fourier 变换的困难问题，成为继Fourier 变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜” 。2 重要的小波理论2.1 小波变换的提出傅里叶变换在平稳信号分析中可以知道信号所含有的频率信息，但是不能知道这些频率信息究竟出现在那些时间段上，可见若要提取局部时间段（或瞬间）的频域特征信息，傅里叶变换已经不再适用了。1946 年 Carbor 提出了加窗的 Fourier 变换。其基本思想是取时间函作为窗口函数，用 同待分析函数 相乘，然后在傅里叶变换：21/4/g()tteg()t()ft,(,)jtfRGfedg（2.1）,()(

12、)jwt jwtgtege 研究生课程考试答题纸第 6 页（2.2）这一加窗变换使得我们可以分析出一个信号在任意局部范围的频率特征，这是比傅里叶变换优越之处。这一类加窗变换 Fourier 变换统称为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，简称为 STFT） 。但是其时频窗口不随频率和时间的变化而变化，使它的灵活性与普遍性运用受到限制。2.2 小波变换基本理论为了使得短时傅里叶变换的时，频窗口均随频率的变化而变化，以实现对低频分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。我们设计一组连续变化的伸缩平移基 ， 称为连续小波基函数，来代替 STFT

13、 中的 。,()att ,()jwtgte小波函数的确切定义为：设 为一平方可积函数，也即 ，若傅里叶变换()t2()LR满足条件： ()2rd（2.3）则 称为一个基本小波或小波母函数，并称式（2.3）为小波函数的可容许性条件。()t连续小波变换(CWT) Ra,f )at(f1(t)f)(a,WT（2.4）连续小波变换的逆变换(ICWT) dat, TadC, txfa,f )(1)()(021- （2.5）离散小波)()( 020002,0 ktakatat jjjjjkaj （2.6）离散小波变换(DWT)研究生课程考试答题纸第 7 页)2()(, kttjjkj （2.7）2.3 小

14、波包变换理论小波包基函数21()(2)nknZkuthutg（2.8）定义函数集合 为由 所确定的小波包。()nZut0u固定尺度的小波包基（2.9）2(),nnLRUclostkZ变尺度小波包基/2();0,12;,kknutjj（2.10）3 小波工程应用小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去

15、噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少 B 超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 1)小波分析在信号处理中的应用小波分析已成为信号处理的一种新工具和新方法，且取得了很多成功的应用。如：信号的分解和重构。信号消噪，信号的奇异性检测与分析，模式识别等。小波分析在图像处理，图像特征提取，图像识别等方面的应用最为成功。北京大学，清华大学联合研制的“基于小波分析的指纹处理系统，特别是北邮推出的“基于微机并行处理的指纹识别系统”研究生课程考试答题纸第 8 页更是把小波在指纹方面的应用推向高潮，其理论指标已超过美国 FBI 的结果。消噪是信号处理

16、中经典问题，传统的消噪方法多采用平均或线性方法，如 Wiener 滤波。随小波理论的日趋完善，利用小波进行信号消噪及重构得到了广泛应用。其方法有：小波模极大值去噪法，基于小波变换的相关去噪算法，小波阈值去噪方法。最早的阈值去噪方法是 Donoho 提出的 Visushrink 方法，后来在此基础上作了许多的改进。几种改进方案：多项式插值法，软硬阈值折中法和模平方处理方法，都得到了较好的效果。克服传统小波消噪方法中局部信息丢失的缺陷，提出了一种基于第二代小波变换的非线性小波变换预处理方法，非常有效地应用在故障信息特征韵提取中。把小波技术应用于机械故障的诊断也是一个重要的应用方面。2)小波分析在数

17、据压缩中的应用在数据压缩缩中,小波分析的应用是很成功的。随着多媒体、信息高速路等技术的发展，数据压缩已成为信息传输中的瓶颈问题，其重要性愈见显著，利用小波变换进行数据压缩编码可以提高压缩比，而且可消除“方块效应 和 蚊式效应” 。目前，基于小波变换的图像压缩方法已经逐步取代基于离散余弦变换(DCT)或者其他子带编码技术，成为新的图像压缩国际标准的首选方法。目前国际上最为流行的三种基于小波变换的图像编码方法：渐进式图像编码，基于行的图像编码，嵌入式块最优截断(EBCOT)编码。(EBCOT)编码方法主要由Taubman 与 Marcellin 等人于 l999 年首先提出，使(EBC0T) 进行

18、图像编码不仅能实现对图像的有效压缩，同时产生的码流具有分辨率可伸缩性，信噪比可伸缩性，随机访问和处理等。因此，在最近推出的国际静态图像压缩 JPEG2000 标准中，联合国图像专家组选定以该算法作为 JPEG2000 的核心算法。3）小波分析在故障诊断中的应用实际故障信号往往是多种信号的迭加，从中提取有用信号，去除无用信号，统称为信噪分离。在这里，信噪分离是一个较为广泛的概念，凡是对分析无用的信号，可统称为噪声。因此，从信号中提取微弱信号也属于信噪分离的范畴。传统的信噪分离只能得到某一频段的信息，而采用多分辨率分析和小波包分析的方法，相当于同时采用多个滤波器得到不同频段的信息，并同时保留了信息

19、的时间特性。信噪分离的途径通常是在了解所关心的频率成分的情况下，通过小波分解，只保留所关心的频带的小波变换结果，将其他频带结果置零，然后重新合成信号，消除噪声。研究生课程考试答题纸第 9 页小波分析在故障诊断中的应用已取得了极大的成功。小波分析不仅可以在低信噪比的信号中检测到故障信号，而且可以滤去噪声恢复原信号，具有很高的应用价值。梯形小波变换适用于电力系统故障分析，尤其适用于电动机转子鼠笼断条以及发电机转子故障分析。用二进小波 Mallat 算法对往复压缩机阀盖振动信号进行分解和重构，可诊断出进、排气阀泄漏故障。利用小波包对变速箱故障声压信号进行分解，诊断出了变速箱齿根裂纹故障等。4) 小波

20、分析在地球物理勘探中的应用在地球物理勘探中，寻找地壳物质物性参数的奇异性时是非常有意义的。由于小波变换同时具有空间域和频率域的局部性，因此它是描述、检测函数奇异性的有效工具。我们利用小波变换和分形理论，对石油、天然气中的实际地震道数据进了奇异性检测和高分辨处理，并给出了地震道油气检测的重建相空间法，这对于油气勘探及地震资料的高分辨处理都具有重大的理论意义和应用价值。5) 小波分析在医学中的应用淋巴细胞微核的识别在医学中有重要的应用价值，可用于环境检测、药品及各种化合物的毒性检测。在微核的计算机自动识别中，用连续小波就可准确提取胞核的边缘。目前，人们正在研究利用小波变换进行脑信号的分析与处理，这

21、样可有效地消除瞬态干扰，并检测出脑电信号中短时、低能量的瞬态脉冲。6) 小波分析在数学和物理中的应用在数学领域，小波分析是数值分析强有力的工具，能简捷、有效地求解偏微分方程和积分方程，亦能很好地求解线性问题和非线性问题。而由此产生的小波有限元方法和小波边界元方法，极大的丰富了数值分析方法的内容。在物理领域中，小波表示了量子力学中一种新的凝聚态。在自适应光学中，目前有人研究了可利用小波变换进行波前重构。另外，小波变换适宜于刻画不规则性，为湍流研究提供了新的工具。7) 小波分析在神经网络中的应用小波理论提供了一个对前传网分析和理论框架，小波形式在网络构造中被用来使包含在训练数据中的频谱信息具体化。

22、使用小波变换设计处理网络，可使训练问题大大简化。不像传统的前神经网络构造的情况，这里函数是凸的，因此全局极小解是唯一的。把小波分析与神经网络结合起来，可对设备进行智能化诊断。利用小波分析可给出惯性导航系统初始对准的线性和非线性模型。研究生课程考试答题纸第 10 页8) 小波分析在工程计算中的应用矩阵运算是工程中经常遇到的问题，如稠密矩阵作用于向量(离散情况) 或积分算子作用于函数( 连续情况)的计算。有时运算量极大，利用快速小波变换，可使得运算量大大减少。另外，在 CAD/ CAM、大型工程有限元分析、机械工程优化设计、自动测试系统设计等方面都有小波分析的应有实例。9) 小波分析在流体力学中的

23、应用流体力学中有些问题难度较大，传统的方法难以解决。利用小波方法对平面叶栅叶型进行优化设计，效果很好。将小波分析应用于双重孔隙储集层系统数学模型的分析中，也取得了人们满意的效果。10) 小波分析在股票价格行为分析方面的应用小波分析具有良好的时频局部性，被认为是分析股市数据的有效工具。利用小波变换方法对股票价格信号进行奇异性分析，可提取奇异点并分析其分布规律，它为股市管理和投资提供了帮助。11)在军事工程方面的应用利用离散小波变换的时频特性和连续小波变换检测信号边缘的原理，对军事工程中的军械设备(如导弹运输车辆轮胎、齿轮箱和板簧等)的故障检测、分离和定位，这种方法不需要对象的数学模型。12) 小

24、波分析提取文件特征用二维多分辨分析方法提取文件参考线，从而达到能提取文件中任意兴趣信息的目的. 这在各种支票、票据的分析和识别中具有重大意义。小波分析也可以用于设备的保护和状态检测系统， 如高压线路保护和发电机定子匝间短路保护等。另外，小波分析也应用于天体研究、气象分析识别和信号发送等领域。13)小波分析在遥感影像融合中的应用基于小波分析的影像融合技术是目前遥感影像融合研究的主流。传统的小波分析融合方法是在小波变换域中，用高空间分辨率的全色图像的细节分量替代低空间分辨率的多光谱图像的细节分量，然后对多光谱图像的小波系数进行小波逆变换，得到融合的多光谱图像。14)在化学检测方面的应用小波分析可对

25、光声光谱信号进行噪声滤波处理；还可以对物质结果进行检测，对一些研究生课程考试答题纸第 11 页物质的红外线图谱检测，可以分辨相似物质。4 小结目前，小波应用的深度和广度得到进一步拓展。在某些方面已取得了传统无法达到的效果，人们正在挖掘有前景的应用领域。小波分析是一门新的交叉科学，对它进行理论研究、仿真计算、实验分析都是很重要的，目前在高校、研究所开展的比较好。现在正在逐渐走出仿真及实验室阶段，向人们提供具有实用价值的小波分析技术，以小波作为工具的分析软件也日益丰富。小波分析与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优化相结合后，形成小波神经网络、小波模糊神经网络、小波分形等方法，是分析非平稳、非线性

26、问题的理想手段。如高速压缩机的故障检测与诊断中，综合运用了二进小波分析和谐波分析、分形分析，得到了满意的效果。总之，小波分析与其他理论的综合运用也日益增多。参考文献:1 吴益峰,汤伟.基于小波变换的高速纸机滚动轴承故障诊断J.计算机测量与控制.2010.18(6)2 冯金巧,杨兆升等.一种改进的小波消噪算法J.交通与计算机,2008(5) 3 韩志伟，刘志刚等.基 CUDA 的高速并行小波算法及其在电力系统谐波分析中的应用J . 电力自动化设备,2010(1)4 王雷,杨允基.基于 DSP Builder 的 5/3 提升小波变换的 FPGA 实现J.计算机与数字工程,2011(5)5 梁佳,

27、樊文欣.基于小波分析识别内燃机噪声源J.机械管理开发,2008(5)6 李建华, 李万社.小波理论发展及其应用J.河西学院学,2006(2)7 罗永，成礼智.傅立叶变换与小波变换的比较教学J.数学理论与应用,2008(4)8刘东波, 刘建业等.应用小波变换的光纤陀螺动态寻北J .应用科学学报.2008(1)9孙秀燕.小波变换硇应用综述J.高校理科研究10彭玉华.小波变换与工程应用M.科学出版社,199911汤伟，龚剑国.基于提升小波变换的图像融合规则综述J.电脑知识与技术：学术交流,2008(11)12赵有星，李京基于小波变换的图像融合方法综述J科技信息2007(29)13范晶晶，吴冬梅基于小

28、波变换的超光谱遥感图像数据压缩方法综述J测控与通信2008(3)14陶冰洁，王敬儒，许俊平基于小波分析的不同融合规则的图像融合研究J红外技术，2007(7)研究生课程考试答题纸第 12 页15杨涛,李崇瑛等小波变换及其在色谱信号中的应用J内蒙古石油化工,2007(8)16周林,夏雪等.基于小波变换的谐波测量方法综述J电工技术学报,2006(9)17朱向军,朱善安.基于小波变换的嵌入式图像编码算法的综述J信号处理2004(1)18Neeta Nain,Akshay Kumar,Amlesh Kumar Mohapatra,Ashok Kumar. Face Recognition Using L

29、DA with Wavelet Transform ApproachJ.Computer Technology and Application,2011(5)19WANG Chao,CAO Peng. Emcient Architecture for 2-Dimensional Discrete Wavelet Transform with Novel LiftingJ.AlgorithmChinese of Journal Electronics,2010(1)20 LIU Jinhua, SHE Kun. Quantization-Based Robust Image Watermarki

30、ng Using the Dual Tree Complex Wavelet TransformJ. China Communications, 2010(4)三、语音信号去噪去噪程序:y,fs,bits=wavread(C:UsersAdministratorDesktoptaobao_noise.wav);% sound(y,fs) % 回放语音信号n=9600 %选取变换的点数y_p=fft(y,n); %对 n 点进行傅里叶变换到频域f=fs*(0:n/2-1)/n; % 对应点的频率subplot(3,1,1);plot(y);%语音信号的时域波形图title(原始语音信号采样后时域

31、波形);xlabel(时间轴)ylabel(幅值 A)subplot(3,1,2);plot(f,abs(y_p(1:n/2); %语音信号的频谱图title(原始语音信号采样后频谱图);xlabel(频率 Hz);ylabel(频率幅值);thr,sorh,keepapp=ddencmp(den,wv,y);% 获取降噪的默认阈值c,l=wavedec(y,5,sym6);研究生课程考试答题纸第 13 页%利用 sym6 小波进行 5 层分解xd=wdencmp(gbl,c,l,sym6,5,thr,sorh,keepapp);%利用 wdencmp 函数和默认阈值进行降噪处理sdl=wnoisest(c,l,1:5);%求出默认阈值subplot(3,1,3);plot(xd);MATLAB 程序的去噪效果图：未加噪声的音频信号图： 研究生课程考试答题纸第 14 页利用小波工具箱进行软阈值的去噪结果图 选取不同分解小波的分析结果不同,选取不同的阈值其去噪效果也不同,如何选取最优分解小波和选取各分解层的阈值是信号去噪的核心问题也是难点问题。