1、1Mathematica 中数的类型：Integer 任意长度的精确整数Rational 有理数的最简形式Real 实数Complex 复数检验不同类型的数：NumberQx 检验 x 是否是数IntegerQx 检验 x 是否是整数EvenQx 检验 x 是否是偶数OddQx 检验 x 是否是奇数PrimeQx 检验 x 是否是素数Headx=type 检验数的类型数的输入形式：不同形式的数之间的转换IntegerDigitsn整数 n 在十进制中的每一位数的列表IntegerDigitsn, b 整数 n 在 b 进制中的每一位数的列表IntegerDigitsn, b, len在每位数的
2、列表中的左端补 0，使列表长度达到lenIntegerExponentn, b整数 n 在 b 进制中末尾零的个数RealDigitsx实数 x 在十进制中每一位数的列表，并给出小数点左边的位数RealDigitsx, b实数 x 在 b 进制中的每一位数的列表RealDigitsx, b, len 实数 x 在 b 进制中的前 len 位的每一位数的列表2RealDigitsx, b, len, n从 bn的系数开始的前 len 位的列表FromDigitslist从其十进制每位数的序列重构该数FromDigitslist, b 从其 b 进制每位数的序列重构该数bnnnn b 进制下的数B
3、aseFormx, b x 在 b 进制下的形式MantissaExponentx给出包含 x 的尾数和指数的列表（科学计数法）MantissaExponentx, b 给出 b 进制下的尾数和指数数值精度Precisionx x 的十进制下的有效数位的总数Accuracyx x 的十进制下小数点后边的有效数位的数目不定结果和无穷结果Indeterminate 不确定的数值结果Infinity 正无穷大量-Infinity 负无穷大量（DirectedInfinity-1）DirectedInfinityr 具有复方向 r 的无穷大量ComplexInfinity 不定方向的无穷大量Direc
4、tedInfinity 等价于 ComplexInfinity3数值计算选项Compiled 是各种数值函数和画图函数的一个选项，指明他们的表达式是否应当自动被编译。Compiled - True 自动创建编译函数。如果要使用高精度数,应当设置 Compiled - False。AccuracyGoal 是一个针对不同数值运算的可选项,它用来指定最后结果的数字准确度。AccuracyGoal 是诸如 NIntegrate, NDSolve 和 FindRoot 函数的一个可选项，AccuracyGoal - Automatic 产生的准确度是 10 个数位，这小于 WorkingPrecisi
5、on 的设置，尽管你可以指定 AccuracyGoal-n,但得到的结果可能远远小于 n 数位的准确度，大多数情形下,必须将WorkingPrecision 设定为至少与 AccuracyGoal 一样大，通过使用 AccuracyGoal-a 和PrecisionGoal-p , Mathematica 将尽量使大小为 的结果中数值误差小于 10-a+ x 10-p。PrecisionGoal 是各种数值运算的一个选项，指定在最后的结果中，应寻求多少精度数位。WorkingPrecision 是各种数值运算的一个选项，指定在内部计算时保持多少位的数值精度。WorkingPrecision 是
6、诸如 NIntegrate 和 FindRoot 的函数的选项。设置 WorkingPrecision-n 使得所有进行的内部计算有至多 n 位的精度。即使内部计算进行到 n 位精度，你得到的结果可能有更低的精度。3.2 数学函数数值函数IntegerPartx X 的整数部分FractionalPartx X 的小数部分Roundx 最靠近 X 的整数Floorx 小于 X 的最大整数 Floor92,2.5 , , Ceilingx 大于 X 的最小整数Signx 符号函数，X0 时为 1，X0 时为-1 或 z/Absz Sign/153.2,-,+UnitStepx 阶梯函数，X0 时
7、为 1，X0 时为-1Absx 绝对值 Abs5,5 12 ,2Maxx1,x2, or Maxx1,x2,4Minx1,x2, or Minx1,x2,x + I yRez Z 的实部 ComplexExpandRea+b Imz Z 的虚部 Ima+b ,ComplexExpandIma+b Conjugatez x - I y .Complex0,n_ Complex0,nAbsz z|Argz 幅角主值Rationalizex 靠近 X 的有理数（即有理数逼近）TableRationalize,102i,i,5Rationalizex, dx 靠近 X 的有理数（即有理数逼近），误差为
8、 dx伪随机函数Random 在 0-1 之间产生一个随机实数RandomReal, xmax 在 0- xmax 之间产生一个随机数RandomReal,xmin，xmax 在 xmin - xmax 之间产生一个随机数RandomComplex 在单位正方形内产生一个复随机数RandomComplex, zmin, zmax 产生一个复随机数Randomtype, range, n 产生 N 位数的随机数这是 0 与 1 之间的 30 位的伪随机实数：RandomInteger 产生随机整数RandomInteger, imin, imax产生随机整数SeedRandom 将随机数产生器的
9、起点重设为时钟时刻5SeedRandoms将起点重设整数 S$RandomState 随机数产生器的当前状态整数函数Modk, n K/N 的余数Quotientm, n M/N 商的整数部分GCDn1,n2, 最大公约数LCMn1,n2, 最小公倍数KroneckerDeltan1,n2, 克罗内克符号IntegerDigitsn, b 给出在整数 n 的 b 进制的数字列表。 IntegerDigitsn给出整数 n 的十进制数字列表。IntegerDigits n, b, len 给列表左边补零去给出一个长度为 len 的列表。IntegerExponentn, b 给出 b 除 n 的
10、最高幂。 IntegerExponentn 等于 IntegerExponentn, 10. IntegerExponentn, b 以 b 进制给出 n 的数字中尾数为 0 的数.Modk, n 结果在 0 到 N-1 之间Modk, n, 1结果在 1 到 N 之间Modk, n, -n/2 结果在- n/2 到 n/2 之间Modk, n, d 结果在 D 到 D+N-1 之间FactorIntegern 分解整数为素数积 FactorInteger5,GaussianIntegers TrueDivisorsn N 的除数列表 Divisors24+30 Primek 第 K 个素数（
11、K 应小于 108） PrimeRange100PrimePix X 的素数个数 (x)PrimeQn 判断 N 是否为素数 Table22n 1,PrimeQ22n 1,n,0,56FactorIntegern, GaussianIntegers-True 分解整数为高斯素数积PrimeQn, GaussianIntegers-True 判断 N 是否为高斯素数（复素数）PowerModa, b, n a b/N 的余数EulerPhin 欧拉函数 (n)，小于 N 的正整数中与 N 互质的数的个数MoebiusMun 莫比乌斯函数 (n)1（n1）；（-1） r（n 为 r 个不同素数的乘
12、积）；0（n 被一素数的平方整除）DivisorSigmak, n 除数函数 kn= d|ndk DivisorSigma-1,120JacobiSymboln, m 雅可比符号，当 m 为奇数时归结为勒让德符号 ExtendedGCDn1,n2, 最大公约数 g r1n1 r2n2 ，MultiplicativeOrderk, n 给出以 n 为模的 k 的乘法阶数, 定义为使得成立的最小整数 .表示法 偶尔被使用，也称为 K 的指标。MultiplicativeOrderk, n,r1,r2, 给出以 n 为模的 k 的广义乘法阶数,定义为使得 成立的最小整数 m. CarmichaelL
13、ambdan 给出了 Carmichael（卡尔米切）函数 (n)，Carmichael函数定义为使得对所有的与 n 互素的 k 都有 的最小整数。LatticeReducev1,v2,给出向量 的集合的化简的基。 的元素可以是整数，高斯整数，或高斯有理数。ContinuedFractionx, n 生成连分数到 N 项（a n）FromContinuedFractionlist 将连分数化为分数或二次不尽根Rationalizex, dx 靠近 X 的有理数（即有理数逼近），误差为 dxContinuedFractionx 将二次不尽根生成循环连分数RealDigitsx 将分数生成循环小数
14、（有理数的完全数字序列）RealDigitsx, b 将分数生成 b 进制循环小数（b 进制下的完全数字序列）7FromDigitslist 将循环小数生成分数DigitCountn, b, d 用来给出 n 的 b 进制表示中数字 d 的个数. DigitCountn, b用来给出 n 的 b 进制表示中数字 1，2，., b-1, 0 的个数. DigitCountn用来给出 n 的 10 进制表示中数字 1，2，., 9, 0 的个数. DigitCountn等价于 DigitCountn, 10, ModRange10,10.BitAndn1,n2,整数 ni的位与BitOrn1,n2
15、, 整数 ni的位或BitXorn1,n2, 整数 ni的位异或BitNotn 整数 ni的位非位运算作用于表示为二进制的整数. BitAnd , ,. 产生一个整数 其二进制表示的某一位为 1 当且仅当所有的 ni在该位为 1. BitOr , ,. 产生一个整数其二进制表示的某一位为 1，只要某个 ni 在该位为 1. BitXor , 产生一个整数其二进制表示的 某一位为 1，当且仅当 n1， n2中仅有一个在该位为 1. BitXor , ,. 的二进制表示的某一位为 1，当且仅当 ni 中有奇数个在该位为 1.组合函数n! n(n-1)(n-2)1,0!=1。n! n(n-2)(n-
16、4), (2n)!=2nn!；(2n+1)!= (2n+1)!/( 2 nn!)；(-1)!=0；0!=0。一般情况下，由 RSolvefk(n+x k)fk-1,f0n,fk,k得：fknxkGamma1 k nxGamma1 nx如：1*4*7*10*（3k+1）=3kGamma43 kGamma43，2*5*8*(3k+2)= 23kGamma53 kGamma53Binomialn, m二项式系数 nm n mn m8Multinomialn1,n2, 多项式系数 n1 n2 n1n2Fibonaccin 斐波那契数 Fn Fn 1 Fn 2Fibonaccin, x 斐波那契多项式
17、t1 xt t2n0 Fnxtn ，Fnx xFn 1x Fn 2xHarmonicNumbern 调和数 Hn i1n 1iHarmonicNumbern, r r 阶调和数 Hnri1n 1irBernoulliBn 伯努利数 Bn Bn0BernoulliBn, x 伯努利多项式 textet 1n0 BnxtnnEulerEn 欧拉数 En 2nEn 12EulerEn, x 欧拉多项式 2extet 1n0 EnxtnnStirlingS1n, m 给出恰包含 个循环的 个元素置换的个数.xx 1x n 1m0n SnmxmStirlingS1n, m=S1n, m =0i1i2.i
18、nmmi1 i2 .in mS1n, m= S1n-1, m-1-(n-1)*S1n-1, mS1n, 1=(-1)n+1（n-1）! ,S1n, n=1StirlingS2n, m 给出把 个元素放入 个非空子集中的方法数.StirlingS2n,m 1mmn Cm1 m 1n Cm2 m 2n .1m1Cmm1xn m0n Snmxx 1.x m 1StirlingS2n, m=m*StirlingS2n-1, m+StirlingS2n-1, m-1, StirlingS2n, 2=2m-1-1，StirlingS2n, 11， StirlingS2n, n1PartitionsPn 整
19、 数 N 分拆的全部种类分拆形式为 n=n1+n2+ns其中 n1n 2n s0PartitionsQn 分拆形式为 n=n1+n2+ns其中 n1n 2n s0，且 ni-ni+11Signaturei1,i2,逆序数，1 为偶排列，-1 为奇排列pnqn9ClebschGordanj1,m1,j2,m2,j,m以 的形式给出了的分解的 Clebsch-Gordan 系数. 除了 和 满足一个三角不等式外,Clebsch-Gordan 系数为 0. ClebschGordan 系数可以是整数,半整数或符号表达式. 1j1j2m1 2jThreeJSymbolj1,m1,j2,m2,j, mT
20、hreeJSymbolj1,m1,j2,m2,j3,m3给出符号 Wigner 3-j 的值。符号 3-j 除了 和 满足一个三角不等式外为 0。Clebsch-Gordan 系数和符号 3-j 满足关系 。SixJSymbolj1,j2,j3j4,j5,j6给出 Racah 6-j 符号的值. 除当 中某三个满足三角不等式外, 这 6-j 符号将消失.一般超越函数Expz ez ，Logz ，Logb, z ，Sinz , Cosz , Tanz , Cscz , Secz , Cotz ，ArcSinz , ArcCosz , ArcTanz , ArcCscz , ArcSecz , A
21、rcCotz ，ArcTanx, y=ArcTanyx ，Sinhz , Coshz , Tanhz , Cschz , Sechz , Cothz ，ArcSinhz , ArcCoshz , ArcTanhz , ArcCschz , ArcSechz , ArcCothz。数学常数I 1 ，Infinity ，Pi ，Degree10180 ，GoldenRatio 152 ，E e ，EulerGamma limm k1m 1k logm，Catalank0 1k2k 1 2，Khinchin s1 1 1s s2log2s ，Glaisher =A,logA 112 1。正交多项式L
22、egendrePn, x Pnx为 1 x2y 2xy nn 1y 0的解，勒让德。正交关系：当 mn 时母函数： 1 2xt t2 12n0 Pn xtnPn xk0n212nk 2xn2kk n 2k 12nr0r21r 2n 2rxn2rr n r n 2rLegendrePn, m, x Pnmx 1m1 x2m2dmPnxdxm ，连带勒让德，注意对奇数 ， 包含 ，因此不是严格的多项式。当 m 时， 退化到 .SphericalHarmonicYl, m,， 球面调和函数 Ylm, For l0, Ylm, 2l 1 4 l m l mPlmcoseimFor l-1, Ylm,
23、Y l1m , 正交关系:当 或 ,其中 代表单位球上的曲面积分.球面函数： Ylm, sinm PlmcosGegenbauerCn, m, x 盖根堡多项式 Cnmx，为 1 x2y 2m 1xy nn 2my 0的解nCn x 2x n 1Cn1 x2 n 2Cn2 xCn xk0n21k nk 2xn2kk n 2k11罗德里格斯公式：Cn x 1n 2 n 1 x2122nn 12n dndxn 1 x2n 12母函数：1 2xt t2 n0 Cn xtnGegenbauerCn, x limm 0Cnmxm，m=0 时总等于 0ChebyshevTn, x Tncos cosn 切
24、比雪夫Tn1 x 2xTn x Tn1 x 0当 mn 时， .罗德里格斯公式： Tn x 1n 2nn2n 1x212 dndxn 1x2n 12母函数：1xt1 2xtt2n0 Tn xtnChebyshevUn, x Uncos sin n 1sin 切比雪夫当 时 , .HermiteHn, x Hnx为 y 2xy 2ny 0的解 埃尔米特Hn1 x 2xHn x 2nHn1 x当 mn时，罗德里格斯公式： Hnx 1nex2 dndxne x2H0x 1母函数：e2xtt2n0 Hn xn tn Hn xk0n21kn 2xn2kk n 2k，LaguerreLn, x Lnx 拉
25、盖尔 Lnx Ln0xL0x 1， Lnx exn dndxnxne xLaguerreLn, a, x Lnax 为 xy a 1 xy ny 0的解，拉盖尔nLn x2n 1 xLn1 xn 1 Ln2 x当 时, .Ln xk0n 1k 1 nxkk n k 1 k12罗德里格斯公式： Ln x x exn dndxn exxn 母函数：exp xt1t1 t1 n0 Ln xtnJacobiPn, a, b, x Pna,bx 雅可比，勒让德、盖根堡和切比雪夫多项式都能看作雅可比多项式的特殊情况。当 .为 1 x2y b aa b 2xy nn a b 1y 0的解Pn, x 1 nn
26、 F n,1 n;1 ;1 x2 罗德里格斯公式：Pn, x 1n 1 x 1 x2nn dndxn1 xn 1 xn母函数：0F1 1 ;t x 12 0F1 1 ;t x 12 n0 Pn, xtn1 n 1 nPn0,0 x Pn x（勒让德） n12nPn 12,12 x Tn x（切比雪夫）特殊函数1.伽马函数及相关函数Betaa, b a, b aba b01ta 11 tb 1dtBetaz, a, b za, b0zta 11 tb 1dtBetaRegularizedz, a, b I(z,a,b)=(z,a,b)/(a,b)Gammaz z0 tz 1e tdt13 x x
27、1exn1 1 xn1exn 1xn1 1 1nx 1 xm11 x xexn1 1 xnexnGammaa, z a, zz ta 1e tdtGammaa,z0,z1 z0z1ta 1e tdt= a, z0 a, z1GammaRegularizeda, z Q(a,z)=(a,z)/(a)InverseBetaRegularizeds, a, b s=I(z,a,b)求 ZInverseGammaRegularizeda, s s=Q(a,z) 求 ZPochhammera, n an aa 1a n 1 a naPolyGammaz z zz n Hn 1 Hn i1n 1iPoly
28、Gamman, z nz dnzdzn nz 1n1nk0 1z kn1LogGammaZ log( z)2.(s)函数及相关函数LerchPhiz, s, a z, s, ak0 zka ks来得到，LerchPhiz, s, a, DoublyInfinite-True k zka ksPolyLogn, z Linzk1 zkknLi2zz0log1 tt tSn 1,1z LinzPolyLogn, p, z Sn,pz 1n p 1n 1p 01logn 1tlogp1 ztt tRiemannSiegelThetat t Imlog14 it2 tlog 2 (for t real
29、)RiemannSiegelZt Zt ei t 12 it ， Zt 12 itStieltjesGamman 斯蒂尔吉斯常数 n ， (s)展开为 1 sn 的幂级数时 1 sn 的系数为 nn14Zetas sk1 k s (for s1). 2s s1Gamma1 sSin s2Zeta1 sZetas, a s, ak0 k a s0)LogIntegralz liz0zdt logt(for z1)SinIntegralz Siz0zsintt tSinhIntegralz Shiz0zsinhtt t4.误差函数及相关函数Erfz erfz 2 0ze t2dtErfz0,z1
30、2 z0z1e t2dt erfz1 erfz0Erfcz erfc(z)=1-erf(z)Erfiz erfi(z)=erf(iz)/iFresnelCz Cz0zcost22dtFresnelSz Sz0zsint22dtInverseErfs s=erf(z)InverseErfcs s=erfc(z)5.贝塞耳函数及相关函数AiryAiz Ai(z) 为 y zy 0解, 是定义域为整个复平面的解析函数Aiz 1323 23k0 3k 43 k3k 1 43 3k z3k 1313 13m0 23m 53 m3m 2 53 3m 1 z3m116 23 43 23 3 13 53 43
31、 31 4 7 10 .3k 1 3k 43 k 432 5 8 11 .3k 2 2 3m 53 k 53AiryBiz Bi(z) 为 y zy 0解, 是定义域为整个复平面的解析函数Biz 1316 23k0 3k 43 k3k 1 43 3k z3k 1356 13m0 2 3m 53 m3m 2 53 3m 1 z3m1AiryAiPrimez AizAiryBiPrimez BizBesselJn, z Jnz 为 z2y zy z2 n2y 0的解BesselYn, z Ynz为 z2y zy z2 n2y 0的解BesselIn, z Inz为 z2y zy z2 n2y 0的
32、解BesselKn, z Knz为 z2y zy z2 n2y 0的解StruveHn, z Hnz为z2y zy z2 n2y 2 zn12n 1的解StruveLn, z Lnz ie in 2Hnz6.勒让德函数及相关函数LegendrePn, z Pnz 为 1 z2y 2zy nn 1 m21 z2y 0 m=0 的解Pn z F n,n 1;1;1 z2LegendrePn, m, z Pnmz为 1 z2y 2zy nn 1 m21 z2y 0的解Pnmx 1m1 x2m2dmdxmPnxLegendreQn, z Qnz为 1 z2y 2zy nn 1 m21 z2y 0 m=
33、0 的解17Qn z n 12n1 n 32. 1zn1F n2 12,n2 1;n 32;z2 12Pn zlogz 1z 1 k1n12 2n 4k 32k 1 n k 1Pn2k1 z母函数：1 2xr r2 12lnrx 11 2xr r2r x2 1 n0 Qn xrn1LegendreQn, m, z Qnmz为 1 z2y 2zy nn 1 m21 z2y 0的解LegendrePn, m, z或 LegendrePn, m, 1, z 包含 1 z2m2 的第一型函数LegendrePn, m, 2, z 包含 1 z1 zm2 的第二型函数,=1Gamma1 m1 zm21
34、zm2Hypergeometric2F1n,1 n,1 m, 1 z2 LegendrePn, m, 3, z 包含 1 z 1 zm2 的第三型函数,=1Gamma1 m 1 zm21 zm2Hypergeometric2F1 n,1 n,1 m,1 z2 LegendrePn, m, a, z LegendrePn, m, a, z 定义为Hypergeometric2F1Regularized-n,n+1,1-m,(1-z)/2 对 2 型乘以 1 zm21 zm2 ,对 3 型乘以 1 zm2 1 zm2 第一型勒让德函数仅当 z 在复平面的单位圆内有定义. 第二型勒让德函数在单位圆内
35、与第一型有相同的数值值，但在圆外也有定义.第二型函数有从 - 到 1 和 1 到 的分支线. 第三型勒让德函数，有时记为 和 ，有从 - 到 1 的单一分支线.P x 1 1 1 x1 x 2F , 1;1 ;1 x2Q x 2sinP xcos 1 1P x7.超几何函数及相关函数Hypergeometric0F1a, z 合流超几何函数0F1;a;zk0 1ak zkk limq 1F1q;a;zq18Hypergeometric0F1Regularizeda, z 0F1;a;zaHypergeometric1F1a, b, z 1F1a;b;z k0 akbk zkk库默尔函数1F1a
36、;b;z bb aa 01eztta 1 1 tb a 1dt.Hypergeometric1F1Regularizeda, b, z 1F1a;b;zbHypergeometricUa, b, z Ua, b, z 1a0 e ztta 11 tb a 1dt库默尔函数Hypergeometric2F1a, b, c, z 2F1a, b;c;zk0 akbkck zkk超几何函数:F(a,b;c;z) = 1 n1 an bnn cn .zn的解，又称高斯级数或库默尔级数用 表示ddz,u=F(a,b;c;z)是微分方程 (+c-1)u=z(+a)(+b)u 的一个解。当Re(c)Re(b
37、)0,|z| True在复整数域分解多项式Cyclotomicn, x给出 x 的阶为 n 的割圆多项式（割圆多项式的定义为Cnxkx e2ikn ，其中 k 取所有的小于 n 且与 n 互素的正整数。）Decomposepoly, x如果有可能，将 poly 分解成一列简单多项式的复合（写成形如P1P2 .x.的多项式的复合）InterpolatingPolynomialf1,f2,x给出一个 x 的多项式，其在 x 等于整数 i 处的值为 fiInterpolatingPolynomialx1,f1,x2,f2,x 给出一个 x 的多项式，当 xx 1时其值为 fi多项式模素数Polyno
38、mialModpoly, p多项式 poly 关于 p 模28Expandpoly, Modulus - p展开Factorpoly, Modulus - p分解PolynomialGCDpoly1, poly2, Modulus - p最大公因式GroebnerBasispolys, vars, Modulus - p 求多项式的 Groebner 基高级专题：代数数域上的多项式Factorpoly, Extension-a1,a2,对 poly 分解因式，允许系数是 ai有理组合Factorpoly, Extension-Automatic 对 poly 分解因式，允许 poly 中的代数
39、数出现在系数中。三角函数式TrigExpandexpr将三角函数展开为项的和TrigFactorexpr将三角函数分解为项的积TrigFactorListexpr同上TrigReduceexpr利用多倍角化简三角函数式TrigToExpexpr将三角函数化为指数函数ExpToTrigexpr将指数函数化为三角函数含有复变量的表达式ComplexExpandexpr假定所有变量是实数展开 exprComplexExpandexpr,x1,x2,假定 xi是实数展开 expr一个变量在实参数下有好几种表示方法. 例如上面的 能被写为 “笛卡尔坐标形式“ Rez + I Imz. 但它同样能写为 “极坐标形式“ Absz ExpI Argz.ComplexExpand 选项 TargetFunctions 允许用户指定如何表示复变量. TargetFunctions 设置为来自集合 Re, Im, Abs, Arg, Conjugate, Sign 的函数列表. ComplexExpand 将根据用户要求的其中的某个函数给出结果. 缺省时，典型的是以 Re 和 Im 给出结果.如：ComplexExpandRez2, z, Targ
