1、在函数零点问题中求解参数范围江山中学 杨作义 王芳根据函数的零点情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解 一、利用零点定理求解参数范围如果函数 在 上连续且满足 ，则 在区间 上至少存在一个零点，()yfx,ab()0fab()yfx(,)ab即存在 ，使得 这就是零点定理,cab0c对于高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数 在 上单调，且在区间 上存在一个零点，求()yfx,a(,)参数的范围”可用 求解()f例 1 2012 年高考数学天津卷（理科）第 4 题改编 已知函数 在区间 内存在3()2()Rxf
2、a(0,1)一个零点，则实数 的取值范围是 a解：因为函数 在区间 内存在一个零点，故 ，整理得 ，解得()fx(0,1)(0)1f(1)所以，实数 的取值范围是 13a,3二、利用数形结合思想求解参数范围如果通过变形，可以将函数 转化为两个函数 之差的形式，那么 图象交点的横坐标()fx(),gxh(),gxh就是函数 的零点因此对于含参数函数 ，我们可以利用数形结合思想作出 的()fxf(),gxh图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围把原函数转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的在作图时，要利用函数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最
3、低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免误判例 2 2011 年高考数学北京卷（理科）第 13 题 已知函数 若关于 的方程32()1)xf ， ； ， x有两个不等的实根，则实数 的取值范围是 ()fxkk解：当 时， ，此时 在 上单调递减，且 。当22()fx()fx2,0()fx时， ，此时 过点 ，且在 上单调递增。当x3()1f10),2时， 。x如图 1 所示作出函数 的图象，由图可得 在 上单调递增且 ， 在()yfx()fx-， ()1fx()f上单调递减且 ，故当且仅当 时，关于 的方程 有两个不等的实根即实2， 0101kk图 1数 的取值范围是 k0,1三、利用函数单调
4、性求解参数范围如果函数 在 上单调递增或递减，则 在 上至多只有一个零点反之，如果函数()yfx,ab()yfx,ab在 上单调且存在零点，那么 必然成立()yfx, ()0fab对于某些形式复杂的函数 ，如果直接作出其图象有困难，我们可以先通过求导数研究函数的单调性()yfx和极值，作出函数的大致图象，再观察函数 图象与直线 的图象的交点通过平移直线 确定交点()fyyb个数，即可求解参数范围. 例 3 2013 年高考数学北京卷（文科）第 18 题第(2)问已知函数 若曲线2()sincofxx与直线 有两个不同的交点，求实数 的取值范围()yfxybb解： 因为 ，所以当2cosin-s
5、(2cos)xxx2cos0x时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在0x()0f()f,)0()f()f上单调递减当 时， ，当 趋近于 或 时，都有(,xmin()1fxfx-。)fx如图 2 所示，要使曲线 与直线 有两个不同的交点，则实数 的取值范()yfxybb围是 (1,)四、利用参数分离法求解参数范围如果函数 或方程 中的参数变量 能被分离出来，形成 形式，函数的零点问题就转()yfx()0fx=a()ahx化为与 轴平行的直线 和函数 的图象的交点问题通过讨论函数 的单调性或值域，即可xayhy判断函数的零点,由此可得参数范围.利用参数分离法求解,可以回避对参数取值情况的讨论
6、.例 4 2013 年高考数学陕西卷(理科)第 21 题第(2)问已知函数 ，讨论曲线 与曲()e0)xf()yfx线 公共点的个数20ymx解：曲线 与曲线 公共点的个数即方程 的解的个数，也就是方程()fx2(0)ymx2e()xm的解的个数2e(0x令 ，则 当 时， ， 在2()xg243ee(2)()xxxg(0,2)x()0gx()图 2上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增所以 (0,2)(2,)x()0gx()2,)2mine()()4gx又当 趋近于 0 时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 所以，当 时，曲x() ()gx20,线 与曲线 无公共点；当 时，它们有 1
7、 个公共点；当 时，它们有 2()yf2(0)ymx2e4m2e,4个公共点【练一练】1已知函数 有且仅有一个正实数的零点，则实数 的取值范围是2()1fxxm(A) (B) (C) (D),0,0,1,12已知函数 ，若函数 在 上有 3 个零点，求实数 的取值范32()93fxx()gxf25m围【参考答案】1.B ( 提示：当 时， ，函数零点为 ，满足题意；当 时，若0m()21fx12x0，解得 ，由此可得 是唯一零点，满足题意；若 ，则函数与坐标轴有两个不240m1 0同的交点因为 ，所以 不是函数的零点.若函数 开口向上，则两个零点必定同为正或同为负，()f=x()fx不合题意，
8、只有当 开口向下时，函数 的两个零点一正一负，符合题意此时有()fx解得 .综上可得 )240,0.m,01m2.解： ，其图象为开口向上的二次图象,零点为2()3693(1)fxx,结合 可得，当 时， ；当12-=，x,52(3,5()0fx时， ，所以函数 在 和 上单调递增，在 上单(,)()0fx()fx,)(1,3)调递减故 ，此外， ()(3)24,()(1)8ffff极 小 值 极 大 值 (2),(58ff如图 3 所示，作出函数 的大致图象，要使函数 在 上有 3x)gxm个零点，只要使函数 在 上的图象与直线 有 3 个交点即可()f,5y由图 3 可知，当 时，函数 与直线 至多有 2 个交点；当 时，函数 与直线8m()fx1,8)()fx有 3 个交点；当 时，函数 与直线 有 2 个交点；当 时，函数 与直线y-241， ()fym-24图 3至多有 1 个交点故 ym1,8)m本文发表于中学生天地2013 年第 9 期
