1、二、函数变式拓展第五课时 函数及其表示方法1. 基础训练 3：已知 ， ，则从 到 的不同映射共有_个.21,aA21,bBAB拓展：当 ， ，则从 到 的不同映射共_个.ma,321 n,32. 基础训练 6：如何改造上述四组函数，使其能成为相同函数？3. 基础训练 7变式 1：设 ,从 到 的两个函数分别为ABA,0, B, , 若对于 中的任意一个 ,都有 ,则集合 中元|log|)(5.0xfx21)( x)(xgfA素的个数为_. 1 个或 2 个变式 2：已知函数 ， 的定义域都是集合 ，函数 和1)(xf 14)(xg )(xf的值域分别为 和 .)(xgST（1）若 ，求 ；,
2、A（2）若 ，且 ，求实数 的值；m0m（3）若对于 中的每一个 值，都有 ，求集合 .x)(xgfA4. 巩固练习 1：（3）函数值域如何求？5. 巩固练习 3：（1）著名的 函数是否为周期函数？如何证明？Dirchlet（2）狄利克雷函数有最小正周期吗？为什么？6. 自我测试 9 变式：图 1 是某种称为“凹槽” 的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4若凹槽的强度 T 等于横截面的面积 与边 的乘积，设 AB=2x，BC=ySAB（1）写出 y 关于 x 函数表达式，并指出 x 的取值范围；（
3、2）求当 x 取何值时，凹槽的强度 T 最大解：(1) 易知半圆 CmD 的半径为 x，故半圆 CmD 的弧长为 x所以，4=2x+2y+x，得 4 分4(2)y依题意，知：00 时，方程 f(x)0 只有一个实根； f(x)的图象关于(0，c) 对称； 方程 f(x)0 至多有两个实根其中正确的命题是_2. 已知函数 ，有下列结论：()(1,)fx（1） ，等式 恒成立；(,1)x()0fxf（2） ，方程 有两个不等实数根；0mm（3） ，若 ，则一定有 ；12,x12x12()fxf（4）存在无数多个实数 ，使得函数 在 上有三个零点kgk(,)则其中正确结论的序号为_ 1,2,43.
4、若方程 均在4 12 9+9=0,.(4),(=1,2)k ixaxxk的 各 个 实 根 所 对 应 的 点直线 y=x 的同侧，则实数 a 的取值范围是 . 24a或解析： ，图像平移得解3x4. 已知函数2,0ln(1)x,若| ()fx|a,则 的取值范围是_.()f 0,25. 设函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是2fb()fb21a_.第十课时 二次函数1. 基础训练 8 变式：四个四根问题的赏析（1）已知函数 是偶函数,直线 与函数 的图象自左21 0()axfbc， ， yt()yfx向右依次交于四个不同点 , , , .若 ,则实数 的值为 ABCDBt【解析】由函数 为偶
5、函数容易得到： ， ， ；作出其图像如下：()yfx1ac2b由 可知， ，即有 ，那么可知 .ABC02x02x1724tf（2）已知函数 ，若关于 的方程 恰有四个互不相等的()|1|fxx()fxmR实数根 ，则 的范围是 1234,x1234【解析】作函数图像如下：设 ，则有图像对称性可知另外三个根分别为0,1x；那么， ，可看成关于 的二次函数，00,x2223400x20x计算得到 .1234x,（3）函数 ，若 互不相同，且2|log|,04783xf,abcd，则 的取值范围是 fafbfcfdc【解析】作函数图像如下：由图像可知 ， ； ；0,1Axa,4b,5c并且由 易知
6、 ；又 ，即 ；fafb1a2cd那么： ，其中 ；容易得到 .2cd4,523,cdc（4）已知函数31,)2(|log|)1xfxf，若关于 的方程x02a有四个不同的实数解，则实数 的取值范围是 a21a3. 例 3 变式变式 1：求最大值函数 ；变式 2：求函数的值域.)(h4. 例 4 变式：变式 1：已知函数 ，若 在区间 上单调，则实数2()1.fxm|()|yfx2,4的取值范围为_m变式 2：已知函数 .23,fgxm(1) 求证：函数 必有零点；x(2) 设函数 ，若 在 上是减函数，求实数 取值范1GfG1,0m围补充习题：1. 函数 .()(,)nnfxbcZR（1）若
7、 ，函数 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围；nfx2,b（2）设 ，若对任意 ， 4)(21xff恒成立，求 的取值范,1围解：（1） 时，nfxbc任设 ，12x1212()ffxcbxc，121bx121212,0,x因为函数 在 上是单调递增函数，故恒有 ，3 分f,12fxf从而恒有 ，即恒有 ，120bx12bx当 时， ， ， 12124124b（2）当 时n2()fxbc对任意 有 恒成立等价于 在 上的最大值与最1,x2()4fx2()fx1,小值之差 4M当 ，即 时， 在 上单调递增，所以2b2()f1,， ，所以 ，与题设min()(1)fxfbcmax2()
8、fbc24Mb矛盾； 当 ，即 时， 在 上单调递减，在022()f1,上,1bx单调递增，所以 ， ，所以22min2()()4bfxfc2max2()(1)ffbc恒成立，所以 ； 214bM02b当 ，即 时， 在 上单调递减，在02()fx1,2b上,12bx单调递增，所以 ， ，所以2min2()()4bfxfc2max2()(1)ffbc恒成立，所以 ；214bM0当 ，即 时， 在 上单调递减，所以b2()fx1,， ，所以 ，与题设2min2()(1)fxfcma2()fbc24Mb矛盾综上所述，实数 的取值范围是 2. 函数 2()34fx的定义域为 ,3，值域为 54,，则
9、实数 m的取值范围 _.3. 已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是 2()fxxab， ， 13， ba4. 关于方程 在（-1,1）内恰有一个实根，则 k 的取值范围是_ _ k5.15. 设 ， 且 ，则 的最小值为 0yy2y6. 已知二次函数 ，且同时满足下列条件：),()(2Rcbaxf（1） ；（2）对任意的实数 ，都有 ；)(f xf(（3）当 时，总有,0x21)(xf求：（1） ；（2）求 的值. )(fcba,7. 若方程 仅有一个实根,那么 的取值范围是_. lgl1kxk40,8已知函数 的定义域为 ，函数 的定2()73fxxP2()log(xa)x义域为 Q. （
10、1）若 ，求实数 a 的值；(2,)3Q（2）若 ，求实数 a 的取值范围.P第十一课时 指数与对数1. 若 有意义，则实数 的取值范围是_.)3(log)1xxx2. 若 ，则实数0l22._3. 设 满足 ，求 的值 ,PQ91216logllog()pqpq1+524. 计算： =_5025. 计算： =_323ln.oge6. 已知 ， ，则 用 表示为 72p5ql,pqpq变式：已知 ，则l18,0mnlg75_7. 任何一个正实数 的常用对数可以写成如下形式： ，这里lgmab，,aZb这时我们把 叫 的首数，把 叫做 的尾数，如果 的首数为 ， 与lgblglxn2lgx的尾数
11、相等，则此时1lgx_x解： ，2-l3l(,01)nZ所以 ，得 ，故0,1b120,b23=,nx8.（1）写出对数的换底公式并证明；（2）已知 ， ，试用 表示 6p5q,pq80log1解：（1）对数的换底公式： ，其中 ， ， loglcaN01a且 01c且 0N证明：设 ，则 ，两边同时取以 为底的对数，得 ， logatNt logltcca即 ，所以 ，得证 llcct logcta（2）因为 ， ，所以 62p5q66l2,log5pq66 680log3l1llog144p9. 给定函数 ，则 ,()23)4xff2(log3)_f10. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值
12、范围是21log,0()()xf()faa_11. 已知函数 f(x)alog 2xb log3x2，且 f( )4，则 f(2010)的值为_1201012. 1324lgl8lg5913. 若 ， ，则 . 7o13_59ba14. 已知 ，则 _. 27)(lo)(l2882m2lg15. 求值： 2._)lg(10a16. 求值： .3o9817. 方程 的两根是 ，则05lg7)l7(2xx lg, ._19. 已知 ，则f26og) ._8(f20. 设 ，则 的值为_.16ll4l 43m21. 已知函数 213log()2axfxa( 0,1a),如果 3log5fb( 0,1
13、b),那么 13lfb的值是 .22. 已知 2logyx，则 x的取值范围为 1-0+4， ，23. 已知集合 是函数 的定义域， 是不等式 的解集A2lg1aB31x（1）若集合 中恰有两个正整数解，求实数 的取值范围；（2）若 ，求实数 的取值范围B第十二课时 指数函数、对数函数与幂函数（1）1. 例 2 变式变式 1：已知函数 ，当 a0)若函数 f(x)在10，)上是单调增函数，kx 1x 1则实数 k 的取值范围为_.变式 4：若 在 23,1上恒正，则实数 a的取值范围是 )(log)(2axxf203，3. 例 4 变式变式 1：已知函数 (=log(1)01)xaf a） ，
14、（1）求函数 的定义域；（2）解不等式：)x(fx变式 2：若 ，函数 ，则使 的 的取值范102l2axf 0xf围_变式 3：已知函数 是奇函数. 当 时，函数()log1amfx(0,)(,2)na的值域是 ，求实数 与 的值. ()fx1,n补充习题：1. 已知实数 a,b 满足等式 ，下列五个关系式： 0ba; ab0; ba312 0ab; ba0; a=b， 其中不可能成立的关系式有_个 32. （2004 年江苏高考题）若 ， _618.0akZk则,1,3. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( )与时间 (月)2mt的关系: ,有以下叙述: 这个指数函数的底数是 2;ty
15、a 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 ;230 浮萍从 蔓延到 需要经过 1.5 个月;24m21 浮萍每个月增加的面积都相等; 若浮萍蔓延到 、 、 所经过的2326m210y/m2t/月2 3814时间分别为 、 、 ，则 .1t23t123t其中正确的是 （填写正确命题的序号）1、2、54. 已知函数 是定义域上的奇函数3xefa（1）求实数 的值；（2）求函数 的值域fx解：（1）因为 是奇函数，所以 恒成立，f 0fxf即 ， 化简得 ，解得 103xxea13ea3a（2）由 ，设 ，则 ， 3xxefxt1xte因为 ，所以 10xte1tt或所以函数 的值域为 f,35. 已
16、知函数 ()(0)xaba（1）若 的图像如图（1）所示，求 的值；f ,b（2）若 的图像如图（2）所示，求 的取值范围；()（3）在(1)中，若 有且仅有一个实数解，求出 的范围|()|fxmm变式：函数 的图象与 负半轴相交于一点，则 的取值范围为 (01)xyabxb6. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每O0.11（毫克）y（小时）t立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的yt yt函数关系式为 （ 为常数） ，如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：16ta（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫
17、克）与y时间 （小时）之间的函数关系式为 ；t（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克0.25以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室答案：（I） （II）10. 6ty0.67. 解不等式 22135xxa8. 定义：区间 的长为 .已知函数 的定义域为 ，22,21x|2xy,ab值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为_.1,b9. 已知函数 ，其中 且 .12(log)()afxx0a1（1）求函数 的解析式，并 判断其奇偶性和单调性；f（2）对于函数 ，当 时， ，求实数 m 的取值范围；()fx(1,)2()(1)0fm
18、f（3）当 时， 的值恒为负数，求实数 a 的取值范围.,26f10. 已知函数 (a、b 是常数且 a0，a1)在区间 ,0上有2xy 32ymax=3，y min= ，52则 ab 第十三课时 指数函数、对数函数与幂函数（2）1. 基础训练 4：函数方程问题的补充； ；)()(yfxyf)()yfxf； (；)()(xmff)(2)yfxyxff思考：写出一个满足 （ ， ）的函数 .1(y0)(xf2. 基础训练 6 变式已知幂函数 在 上为减函数，则实数 _.221(5)myx(0)， m3. 基础训练 7 变式变式 1：函数 的定义域为_，值域为_.)(log)(2f变式 2：若函数
19、 ylg( x2ax1) 的定义域为 R，实数 a 的取值范围为 变式 3：已知函数 ylg( x2 ax1) 的值域为 R，则 a 的取值范围是 5. 例 3 变式（2011，上海）已知函数 ，其中常数 满足()3xfab,b0a（1）若 ，判断函数 的单调性；0ab（2）若 ，求 时 的取值范围(1)(fxfx6. 巩固练习 3 变式若幂函数 的图像不经过原点，则实数 的值为 .22()mym1 或 27. 巩固练习 4 变式：变式 1：已知幂函数 yx m22m3 (mN *)的图象关于 y 轴对称，且在(0，) 上是减函数，求满足 的 a 的范围3()()ma解： ，解得：1m23,1
20、,a变式 2：已知 的图像在 上单调递增，则不等式23()(,)nfxkZ0,)的解集为 . (fx318. 自我测试 7 变式已知函数 为偶函数，且 ，)()(32Zmxf )5(f（1）求 的值，并确定 的解析式； 1f（2）当 时，讨论 在2，3上的单调性；增2a)(log)(axfxa（3）若 在2，3上为增函数，求实数 的取值范围.,0log)( fx a1,补充习题：1. （1 ）设 = | ，求函数 ， 的最值Mx142log3l2x22log8xf（ ） （ ） xM及其相应的 的值 .（2）函数 的值域是 )(ll2yx（3）已知 f(x)log 3x2，x1,9，则函数 y
21、f(x) 2f (x2)的最大值是_2. （1）已知函数 的零点依次为33(),)log,logxf hx，,abc则 的大小关系是 abc（2）已知 ，则 的大小关系为_031loglba,1，（3） 是 的方程 的解，则 这三个数大小关系是_0x)(xax ax,0（4）已知 ，m,n 为不等于 1 的正数，则 n、 m、 1 的关l)(l nmy系为 3. 设函数的集合 ，21()log(),0;1,02Pfxabb 平面上点的集合 ，则在同一直角坐标系中，1(,),0;,Qyy中函数 的图象恰好 经过 中两个点的函数的个数是_P()fx4. 已知不等式 ，当 上恒成立，则实数 的取值范
22、围为_2log0xa1,2xa5. 设 ， ，且 ，则函数 的最大值为 yy148log221yx06. （1）已知函数 23log(1)axfxa( 0,a),如果3log5fb( 0,1),那么 13logfb的值是 . -3（2）设 是偶函数， 是奇函数， 值为l0xfa42xbgab_（3）设 且 若定义在区间 内的函数 是奇函数,则,abR2,b1lg2xf的取值范围是 . 23,7. 已知函数 ，函数 的图象与函数 的图象)1(1lg)(xxf )(xg21xy关于 轴对称，设 .y)fF（1）求函数 的解析式及定义域；)(x（2） 试问在函数 的图象上是否存在两个不同的点 和 ，
23、使直线 恰好与ABA轴垂直？若存在，求出 和 的坐标；若不存在，请说明理由. （单调递减）yAB8. 已知函数 ， （ ，且 ） ()log(1)afx(log(42)axx01a（1）求函数 的定义域；（2）求函数 的值为正数的 的取值范(f x围9. 已知 且 ，函数 ， ，0a1)1(log)(xfa xa1log(记 )(2)(xgfxF（1）求函数 的定义域 及其零点；D（2）若关于 的方程 在区间 内仅有一解，求实数 的取值范围.x0)(mF)1,m（1） （ 且 ）2)(xgfxaalog(l201a，解得 ，所以函数 的定义域为0x1)(F),(令 ，则 （*）)(F0log)
24、(l2xxaa， ，1oglogxa12即 解得 ， 0320x32经检验 是（*）的增根，所以方程（*）的解为x 0x所以函数 的零点为 . )(F（2） （ ）xxmaa1logl 10)4(l2logaa41xm设 ，则函数 在区间 上是减函数,0(t ty1,0(当 时，此时 ， ，所以1t1x5miny1ma若 ，则 ，方程有解；a0若 ，则 ，方程有解010. 已知函数 2()(3)4fxx（1）若 的两个零点为 ，且满足 ，求实数 的取值范y， 024a围；（2）若函数 存在最值，求实数 的取值范围 . 1log()ayfxa1-0,93， ， ，第十四课时 函数与方程1. 基础
25、训练 3：函数的零点个数的可能有哪些？2. 例 1 变式：已知定义在 上的函数 的图像是一条不间断的曲线，R()yfx,其中 ,设 , 求证：函数 在 上有()faba()()2fabFx()Fx,ab零点.补充习题：1. 函数 f(x)|4x x 2|a 恰有三个零点，则 a_.变式 1： 若关于 的方程 有且只有两个实数根，则实数 的取值范围是_2=a变式 2：若关于 的不等式 至少有一个负数解，则实数 的取值范围是 xtt【原题答案】 9,24【分析】首先由 ，在坐xt2|xt标系内分别画出两个函数图像：考虑临界情况：当 时，没有负根；2t当 时，也没有负根；则所求实数 .94t9(,2
26、)4t补充习题：1. 已知函数 .1lnfxx（1）判断函数的零点个数；（2）若函数的零点在区间 上，求 的,1nZn值解：（1）2 个；（2） 或 .1n2. 已知方程 根在区间 内，则正整数 的值是_03x)1,(kk3. 若函数 的零点 ， ，则所有满足条件的2()log|4fx(,)maZ的和为_a4. 已知函数 ，当 时，函数 的()l(01)afxb且 234b()fx零点 ,则*0,1nN_n5. 若函数 的零点为 ，则满足 的最大整数 k = 2l26yx0x0kx6. 若方程 在区间 上有解，则所有满足条件的实数 值的和7)(1,Zkk为_. -17. 已知奇函数 是 上的单
27、调函数，若函数 只有一个零点，则实()fxR2()yfxfkx数 k 的值是 418. ， ，2()3fx22()1gxt()()()2Fxfgxfx若 为偶函数，则 的零点为_. FF3,9. 若函数 在 上有一个零点，则实数 的取值范围为_ 2()log()fxax1,2a或 （根的分布或者参数分离完成）304a1第十五课时 函数模型及其应用1. 某企业为打入国际市场，决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)其中年固定成本与年生产的件数无关， 是待定常数，其值由生产 产品的原材料mA决定，预计 ，另外，年销售 件 B 产品时
28、需上交 万美元的特别关税，假6,8mx20.5x设生产出来的产品都能在当年销售出去（1）求该厂分别投资生产 A、 B 两种产品的年利润 与生产相应产品的件数 之间12,yx的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案.解：（1）设年销售量为 x件，按利润的计算公式，则生产 两产品的年利润,AB12,y分别为： 且 -3 分1y0(2)(10)2mx02x N2284.5.14x ， ， -6 分2.5()6yx （2） ， ， 为增函数，6m 101y(0)2mx又 且 ， 时，生产 产品有最大利润为0x N2xA（万美元）-8 分(1)298又 , ，2.5(
29、10)46yx10x N 时，生产 B 产品有最大利润为 460（万美元）-11 分0x年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数A 产品 20 m 10 200B 产品 40 8 18 120项 目类 别作差比较： 1max2ax()y19802m4601520m令 -13507.分所以：当 时，投资生产 A 产品 200 件可获得最大年利润；6.当 时，生产 A 产品与生产 B 产品均可获得最大年利润；7m当 时，投资生产 B 产品 100 件可获得最大年利润- 16.8分2. 某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.8 元；当用水超过
30、4 吨时，超过部分每吨 3 元.(1) 记单户水费为 （单位：元） ，用水量为 （单位：吨） ，写出 关于 的函数解析式；yxyx(2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，甲、乙两户用水量值之比为 5:3，请分别求出甲乙两户该月的用水量和水费.3.在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上，中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置现将工人分成两组同时
31、开始加工，每组分别加工一种装置，设加工 C 型装置的工人有 x 位，他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x)，其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x)(单位：h，时间可不为整数)（1）写出 g(x)，h(x )的解析式；（2）写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式；（3）应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？4. 销售甲乙两种商品所得利润分别是 P(单位: 万元) 和 Q(单位:万元),它们与投入资金 t(单位:万元)的关系有经验公式 ,其中 .今将 10 万元资金投入经营tmQtP,1010甲乙两种商品,其中对甲种商品投资 x(单位:万元).()求总利润 y(单位:万元)关于 x 的函数;()甲乙两种商品分别投资多少万元,才能使总利润 y(单位:万元)的最大,并求最大值.
