1、必修五第一章 解三角形一、选择题1已知 A，B 两地的距离为 10 km，B，C 两地的距离为 20 km，现测得ABC120 ，则 A，C 两地的距离为 ( )A10 km B10 3km C10 5km D10 7km2在ABC 中，若 2cosAa b 2cos，则ABC 是( )A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形3三角形三边长为 a，b，c，且满足关系式(a bc )(abc)3ab，则 c 边的对角等于( )A15 B45 C60 D1204在ABC 中，三个内角A，B，C 所对的边分别为 a，b ，c ，且 abc132，则 sin Asin Bsin C(
2、)A 21 B2 31 C12 3D1 325如果A 1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于A 2B2C2 的三个内角的正弦值，则( )AA 1B1C1 和A 2B2C2 都是锐角三角形BA 1B1C1 和A 2B2C2 都是钝角三角形C A 1B1C1 是钝角三角形，A 2B2C2 是锐角三角形DA 1B1C1 是锐角三角形，A 2B2C2 是钝角三角形6在ABC 中，a2 3，b2 ，B45 ，则A 为( )A30或 150 B60 C60或 120 D307在ABC 中，关于 x 的方程(1 x 2)sin A2 xsin B(1x 2)sin C0 有两个不等的实根，则 A 为( )A
3、锐角 B直角 C钝角 D不存在8在ABC 中，AB3，BC 13，AC4 ，则边 AC 上的高为( )A 2B 2C 23D39在ABC 中， cba33c 2，sin Asin B 4，则ABC 一定是( )A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形10根据下列条件解三角形：B30 ，a 14 ，b 7 ；B60，a10 ，b 9那么，下面判断正确的是( )A只有一解，也只有一解 B有两解，也有两解C 有两解，只有一解 D只有一解， 有两解二、填空题11在 ABC 中，a，b 分别是A 和B 所对的边，若 a 3，b1 ，B30，则A 的值是 12在 ABC 中，已知
4、sin Bsin Ccos 2 A，则此三角形是_ 三角形13已知 a，b，c 是ABC 中 A ，B，C 的对边，S 是ABC 的面积若 a4，b5，S5 3，求 c 的长度 14 ABC 中，ab 10 ，而 cos C 是方程 2x23x 2 0 的一个根，求ABC 周长的最小值 15在 ABC 中，A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 sin Asin Bsin C2 56 若 ABC 的面积为 439，则ABC 的周长为_16在 ABC 中，A 最大，C 最小，且A2C，a c 2 b，求此三角形三边之比为 三、解答题17在 ABC 中，已知A30，a，b 分别为A，B 的
5、对边，且 a4 3b，解此三角形18如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进 100 米后到达点 B，又从点 B 测得斜度为 45，建筑物的高 CD 为50 米求此山对于地平面的倾斜角 19在 ABC 中，A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 bcos C(2a c )cos B，()求B 的大小；()若 b 7，ac 4，求ABC 的面积20在 ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，求证： 2cba CBAsin)(参考答案一、选择题1 D解析：AC 2AB 2BC 22AB BCcosABC10 220
6、221020cos 120700AC10 72 B解析：由 2cosAa Bb 2cosC及正弦定理，得 2cosinA iB 2cosinC，由 2 倍角的正弦公式得 in i in，ABC3 C解析：由(a bc)(ab c)3ab，得 a2b 2c 2ab cos C 1故 C604 D解析：由正弦定理可得 abcsin Asin Bsin C1 32 5 D解析：A 1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0，则A 1B1C1 是锐角三角形若A 2B2C2 不是钝角三角形，由 )( 11222sincosinsisi CCB，得 1212CBA ，那么，A 2B 2C 2 3(A 1B
7、1C 1) ，与 A2B 2C 2 矛盾所以A 2B2C2 是钝角三角形6 C解析：由 Aasin Bbi，得 sin A bBasin 23 ，而 ba， 有两解，即A60 或 A1207 A解析：由方程可得(sin Asin C)x22xsin Bsin Asin C 0 方程有两个不等的实根， 4sin2 B4(sin 2 Asin 2 C)0由正弦定理 asin Bbi csin，代入不等式中得 b2 a2c 20 ，再由余弦定理，有 2ac cos Ab 2c 2a 20 0A908 B解析：由余弦定理得 cos A 21，从而 sin A 23，则 AC 边上的高 BD 239 A
8、解析：由 cba33c 2 a3b 3c 3(abc)c 2 a3b 3c 2(ab )0(ab)(a 2b 2abc 2)0 ab0， a2b 2c 2ab 0 (1)由余弦定理(1)式可化为a2 b2 (a2b 22abcos C)ab0，得 cos C ，C60 由正弦定理 Asin Bi 60sinc，得 sin A ca60sin，sin B cb60sin， sin Asin B 2ab)( 43， 2cab1，abc 2将 abc 2 代入(1)式得，a 2b 22ab 0 ，即(ab )20 ，ab ABC 是等边三角形10 D解析：由正弦定理得 sin A bBasin，中
9、sin A1 ，中 sin A 935分析后可知有一解，A 90 ；有两解， A 可为锐角或钝角二、填空题11 60或 120解析：由正弦定理 Aasin Bbi计算可得 sin A 23，A60或 12012等腰解析：由已知得 2sin Bsin C 1cos A1 cos(BC )，即 2sin Bsin C1(cos Bcos Csin Bsin C)， cos(BC)1，得B C ， 此三角形是等腰三角形13 2或 6解： S 1absin C， sin C 23，于是C 60或C120又 c2a 2b 22 abcos C，当C60时，c 2a 2b 2ab，c 1；当C120 时，
10、c 2a 2b 2ab，c 6 c 的长度为 1或 614 10 5 3解析：由余弦定理可得 c2a 2b 22abcos C，然后运用函数思想加以处理 2x 23 x20，x 12，x 2 1又 cos C 是方程 2x23x 20 的一个根， cos C 由余弦定理可得 c2a 2b 22ab( 1)(a b) 2ab，则 c2100a(10 a )(a 5)275，当 a5 时，c 最小，且 c 755 3，此时 a bc555 10 5 ， ABC 周长的最小值为 105 315 13解析：由正弦定理及 sin Asin Bsin C25 6，可得 abc25 6，于是可设 a2 k，
11、b5 k，c 6 k(k0 )，由余弦定理可得cos B a22 k6342 8， sin B 2cos1 89由面积公式 SABC ac sin B，得2(2k)(6k) 839 4， k1，ABC 的周长为 2k5 k6 k13 k13本题也可由三角形面积(海伦公式)得 )6213)(5)(213(k 439，即 439k2 ， k1 abc13 k13 16 654 解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用由正弦定理得 ca CAsin i22cos C，即 cos C ca2，由余弦定理 cos C bc2 abc)( ac2 b， cos C ac2)( ac2)(， ca2 整理得
12、 2a25ac3c 20解得 a c 或 a 23cA2C， ac 不成立，a 23c b 2 45， abc 3c c65 4故此三角形三边之比为 654三、解答题17 b4 3， c8，C90，B60或 b4 3，c4，C30 ，B120 解：由正弦定理知 Aasin bi30sin Bsisin B 2，b 4 3B60 或B120 C 90或C30 c8 或 c4 18分析：设山对于地平面的倾斜角EAD ，这样可在ABC 中利用正弦定理求出BC；再在BCD 中，利用正弦定理得到关于 的三角函数等式，进而解出 角 解：在ABC 中， BAC 15，AB100 米，ACB 451530根据
13、正弦定理有 30sin1 5siBC， BC i5又在BCD 中， CD50 ，BC 30sin1，CBD45，CDB 90 ，根据正弦定理有 45sin0 )(9si51解得 cos 31， 42.94 山对于地平面的倾斜角约为 42.9419解：()由已知及正弦定理可得 sin Bcos C2sin Acos Bcos Bsin C， 2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)又在三角形 ABC 中，sin(BC )sin A0， 2sin Acos Bsin A，即 cos B 21，B 3() b 27 a 2c 22accos B， 7a 2c 2ac，(第 18 题)又 (a c)216a 2c 22ac， ac3 ， S ABC 21acsin B，即 SABC 13 420分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理解：由余弦定理 a2b 2c 22bccos A；b 2a 2c 22 accos B 得a2 b2 b2a 22bccos A2 accos B， 2(a2b 2)2 bccos A2accos B，c cos由正弦定理得 a2R sin A，b2 R sin B，c2R sin C， 2cba cs CBAsinoi i)(故命题成立
