1、第 页 共 9 页1 常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式： （ a b） （ a b） a2 b22. 完全平方公式： （ a b) 2 a2 2ab b2 3. 完全立方公式： （ a b) 3=（ a b） (a 2 ab+b2) 4. 立方和差公式： a3+b3=(a b)(a 2+ ab+b2) 5. a m an am n am an am n (a m) n=amn (ab) n=an bn二、等差数列（ 1） sn 2 )( 1 naan na1+21 n(n-1)d ；（ 2） an a1（ n 1） d；（ 3）项数 n d aan 1 1；（ 4）若 a,A,
2、b 成等差数列，则： 2A a+b；（ 5）若 m+n=k+i，则： am+an=ak+ai ；（ 6）前 n 个奇数： 1， 3， 5， 7， 9， , （ 2n 1）之和为 n2（其中： n 为项数， a1为首项， an为末项， d 为公差， sn为等差数列前 n 项的和）三、等比数列（ 1） an a1qn 1；（ 2） sn qqan111 ）（ （ q 1）（ 3）若 a,G,b 成等比数列，则： G2 ab；（ 4）若 m+n=k+i，则： am an=ak ai ；（ 5） am-a n=(m-n)d （ 6）nmaa q(m-n)（其中： n 为项数， a1为首项， an为末项
3、， q 为公比， sn为等比数列前 n 项的和）四、不等式（ 1） 一元二次方程求根公式 ： ax2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 其中： x1= a acbb 2 42； x2= a acbb 2 42（ b2-4ac 0）根与系数的关系： x1+x2=- ab ， x1 x2= ac（ 2） abba 2 abba 2)2( abba 222 abccba 3)3(（ 3） abccba 3222 abccba 33 推广： nnn xxxnxxxx 21321（ 4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。第 页 共 9 页2 （ 5）两项分母列
4、项公式：)( ammb =(m1 am1 ) ab三项分母裂项公式：)2)( amammb =)(1amm)2)(1amam ab2五、 基础几何公式1. 勾股定理： a2+b2=c2( 其中： a、 b 为直角边， c 为斜边 ) 常用勾股数直角边 3 6 9 12 15 5 10 7 8 直角边 4 8 12 16 20 12 24 24 15 斜边 5 10 15 20 25 13 26 25 17 2. 面积公式：正方形 2a 长方形 ba 三角形 cabah sin2121 梯形 hba )(21圆形 R2 平行四边形 ah 扇形 0360n R23. 表面积：正方体 6 2a 长方
5、体 )(2 acbcab 圆柱体 2 r 2 2 rh 球的表面积 4 R24. 体积公式正方体 3a 长方体 abc 圆柱体 Sh r 2h 圆锥31 r 2h 球 334 R5. 若圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则它的侧面积： S 侧 r l ；6. 图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的 m倍，则：1. 所有对应角度不发生变化；2. 所有对应 长度 变为 原来的 m倍 ；3. 所有对应 面积 变为 原来的 m2 倍 ；4. 所有对应 体积 变为 原来的 m3 倍 。7. 几何最值型：1. 平面图形中，若 周长一定 ， 越接近与圆 ， 面积越大 。2. 平面图形中，若
6、面积一定 ， 越接近于圆 ， 周长越小 。3. 立体图形中，若 表面积一定 ， 越接近于球 ， 体积越大 。4. 立体图形中，若 体积一定 ， 越接近于球 ， 表面积越大 。六、工程问题工作量工作效率工作时间； 工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率； 总工作量各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常 设总工作量为 1 或 最小公倍数七、 几何边端问题（ 1）方阵问题：1. 实心方阵 ：方阵总人数（最外层每边人数） 2=（外圈人数 4+1） 2=N2 最外层人数（最外层每边人数 1） 4 2. 空心方阵： 方阵总人数（最外层每边人数） 2- （最外层每边人数 -2 层数） 2 （最外层
7、每边人数 - 层数）层数 4=中空方阵的人数。无论是方阵还是长方阵： 相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多 8 人。第 页 共 9 页3 3. N边行每边有 a 人，则一共有 N(a-1) 人。4. 实心长方阵：总人数 =M N 外圈人数 =2M+2N-4 5. 方阵：总人数 =N2 外圈人数 =4N-4例：有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？ 解： （ 10 3） 3 4 84（人）(2) 排队型： 假设队伍有 N人， A排在第 M位；则其前面有（ M-1）人，后面有（ N-M）人(3) 爬楼型： 从地面爬到第 N层楼要爬（ N-1）楼，从第 N层爬到第 M层要怕 N
8、M 层。八、利润问题（ 1）利润销售价（卖出价）成本；利润率 成本利润 成本销售价成本 成本销售价 1；销售价成本（ 1利润率） ；成本 利润率 销售价1。（ 2）利息本金利率时期；本金本利和（ 1+利率时期） 。本利和本金利息本金（ 1+利率时期） = 期限利率）（本金 1 ；月利率 =年利率 12； 月利率 12=年利率。例：某人存款 2400 元，存期 3 年，月利率为 10 2?（即月利 1 分零 2 毫） ，三年到期后，本利和共是多少元？”2400（ 1+10 2 36） =2400 1 3672 =3281 28（元）九、 排列组合（ 1）排列公式 ： Pmn n（ n 1） （
9、n 2） , （ n m 1） ， （ m n） 。 56737A（ 2）组合公式： Cmn Pmn Pmm （规定 0nC 1） 。 123 34535c（ 3）错位排列（装错信封）问题： D1 0， D2 1， D3 2， D4 9， D5 44， D6 265，（ 4） N人排成一圈有 NNA /N 种； N枚珍珠串成一串有 NNA /2 种。十、年龄问题关键 是 年龄差不变 ；几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差十一、植树问题（ 1）单边线形植树：棵数总长 间隔 1；总长 =（棵数 -1 ）间隔（ 2）单边环形植树：棵数总长 间隔； 总长 =棵数间隔（ 3）
10、单边楼间植树：棵数总长 间隔 1；总长 =（棵数 +1）间隔（ 4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的 2 倍。（ 5）剪绳问题：对折 N次，从中剪 M刀，则被剪成了（ 2N M 1）段十二、行程问题（ 1）平均速度型：平均速度21212vvvv第 页 共 9 页4 （ 2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离 =（大速度 +小速度）相遇时间追及问题：追击距离 =（大速度小速度）追及时间背离问题：背离距离 =（大速度 +小速度）背离时间（ 3）流水行船型：顺水速度船速水速； 逆水速度船速水速。顺流行程 =顺流速度顺流时间 =（船速 +水速）顺流时间逆流行程 =逆流速度逆流时间 =（船速水速）逆流时
11、间（ 4）火车过桥型：列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度列车速度 =（桥长 +车长）过桥时间（ 5）环形运动型：反向运动：环形周长 =（大速度 +小速度）相遇时间同向运动：环形周长 =（大速度小速度）相遇时间（ 6）扶梯上下型：扶梯总长 =人走的阶数（ 1人梯uu ） ， （顺行用加、逆行用减）（ 7）队伍行进型：对头 队尾：队伍长度 =（ u 人 +u 队 ）时间队尾 对头：队伍长度 =（ u 人 u 队 ）时间（ 8）典型行程模型：等距离平均速度：21212uuuuu （ U1、 U2分别代表往、返速度）等发车前后过车：核心公式：21
12、212ttttT ，1212ttttuu人车等间距同向反向：2121uuuutt反同不间歇多次相遇： 单岸型 ：23 21 sss 两岸型 ：213 sss （ s 表示两岸距离）无动力顺水漂流： 漂流所需时间 =顺逆顺逆tttt2（其中 t 顺 和 t 逆 分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间）十三、钟表问题基本常识：钟面上按“分针”分为 60 小格，时针的转速是分针的121 ，分针每小时可追及1211时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180o22 次。钟表一圈分成 12 格，时针每小时转一格（ 300） ，分针每小时转 12 格（ 3600）时针一昼夜转两圈（ 7200）
13、 ， 1 小时转121 圈（ 300） ；分针一昼夜转 24 圈， 1 小时转 1 圈。第 页 共 9 页5 钟面上每两格之间为 300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。追及公式 ： 00111 TTT ； T 为追及时间， T0 为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间） 。十四、 容斥原理两集合标准型： 满足条件 I 的个数 +满足条件 II 的个数两者都满足的个数 =总个数两者都不满足的个数三集合标准型： CBA = CBACACBBACBA三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答1. 特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别2. 特别注意有没有“三个条件
14、都不满足”的情形3. 标数时，注意由中间向外标记三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为 ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为 W。其中：满足一个条件的元素数量为 x，满足两个条件的元素数量为 y，满足三个条件的元素数量为 z，可以得以下等式： W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z 十五、 牛吃草问题核心公式： y=(N x)T 原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为 X 注意：如果草场面积有区别，如“ M头牛吃 W亩草时” ， N用WM 代入，此时 N代表单位面积上的牛数。十六、 弃九推断在整数范围内的 +三种运算中，可以使用此法1. 计算时，将计算过程
15、中数字全部除以 9，留其余数进行相同的计算。2. 计算时如有数字不再 08 之间，通过加上或减去 9 或 9 的倍数达到 08之间。3. 将选项除以 9 留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。例： 11338 25593 的值为（） 290173434 以 9 余 6。选项中只有 B除以 9 余 6. 十七、 乘方尾数1. 底数留个位2. 指数末两位除以 4 留余数（余数为 0 则看作 4）例题： 37244998的末尾数字（）A.2 B.4 C.6 D.8 解析 3724 4998 22 4 十八、除以“ 7”乘方余数核心口诀注：只对除数为 7 的求余数有效1. 底数除以 7 留余数2.
16、指数除以 6 留余数（余数为 0 则看作 6）例： 20072009除以 7 余数是多少？（） 解析 2007 2009 55 3125 3（ 3125 7=446。 。 。 3）十九、指数增长第 页 共 9 页6 如果有一个量，每个周期后变为原来的 A倍，那么 N个周期后就是最开始的 AN倍，一个周期前应该是当时的A1 。二十、溶液问题溶液 =溶质 +溶剂 浓度 =溶质溶液 溶质 =溶液浓度 溶液 =溶质浓度浓度分别为 a%、 b%的溶液，质量分别为 M、 N，交换质量 L 后浓度都变成 c%，则NMNbMac %NMMNL混合稀释型溶液倒出比例为 a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为 原
17、浓度次数)1( a溶液加入比例为 a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为 原浓度次数)11(a二十一、调和平均数调和平均数公式：21212aaaaa等价钱平均价格核心公式：21212ppppp （ P1、 P2分别代表之前两种东西的价格 ）等溶质增减溶质核心公式：313122rrrrr （其中 r1、 r 2、 r 3分别代表连续变化的浓度）二十二、减半调和平均数核心公式：2121aaaaa二十三、余数同余问题核心口诀： “余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”注意： n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。二十四、星期日期问题平年与闰年判断方法 年共有天数 2 月天数平年 不能被 4 整除 365 天 28 天闰年 可以被 4 整除 366 天 29 天星期推断： 一年加 1 天；闰年再加 1 天。大月与小月包括月份 月 共 有 天数大月1、 3、 5、 7、 8、 10、12 31 天
