1、第四节 Gauss公式,4.4.1 Gauss点,求积公式,含有 个待定参数,当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次.,如果适当选取 有可能使求积公式具有 次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.,为具有一般性，研究带权积分,这里 为权函数，,设求积公式为,（4.1）,为不依赖于 的求积系数.,使得公式具有 次代数精度.,为求积节点，,可适当选取,定义,如果求积公式(4.1)具有 次代数精度，,则称其节点 为高斯点，相应公式(4.1)称为高斯求积公式.,根据定义要使(4.1)具有 次代数精度，只要对,（4.2）,当给定权函数 ，求出右端积分，则可由(4.2)解得
2、,令(4.1)精确成立，,即,由于非线性方程组(4.2)较复杂，通常 就很难求解.,故一般不通过解方程(4.2)求 ，,而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.,定理,是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式,与任何次数不超过 的多项式 带权 正交，,（4.5）,证明,即,插值型求积公式(4.1)的节点,必要性.,设,则,精确成立，,因,即有,故(4.5)成立.,则求积公式(4.1)对于,充分性.,用 除 ，,记商为 ，,余式为 ，,即 ,其中 .,对于,由(4.5)可得,（4.6）,由于求积公式(4.1)是插值型的，它对于 是精确的，,即,再注意到,知,从而由(4.6)有,可见求积公
3、式(4.1)对一切次数不超过 的多项式均精确成立. 因此， 为高斯点.,定理表明在 上带权 的 次正交多项式的零点就是求积公式(4.1)的高斯点.,有了求积节点 ，再利用,对 成立，,的线性方程.,解此方程则得,则得到一组关于求积系数,利用 在节点 的埃尔米特插值,于是,即,4.4.2 Gauss公式的余项,两端乘 ，并由 到 积分，则得,（4.7）,其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故,由于,（4.8）,由积分中值定理得(4.1)的余项为,关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：,定理,证明,它是 次多项式，,因而 是 次多项式，,注意到,高斯求积公式(4.1)的求积系数,全是正的. ,
4、考察,故高斯求积,公式(4.1)对于它能准确成立，即有,上式右端实际上即等于,从而有,推论,定理得证.,高斯求积公式(4.1)是稳定的.,4.4.4 高斯-勒让德求积公式,在高斯求积公式(4.1)中，,由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此，,勒让德多项式 的零点就是求积公式(4.9)的高斯点.,形如(4.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.,区间为,则得公式,若取权函数,（4.9）,令它对 准确成立，即可定出,这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为,是中矩形公式.,若取 的零点 做节点构造求积公式,再取 的两个零点 构造求积公式,令它对 都准确成立，有,由此解出,三点高斯-勒让德公式的形式是,从而得到两点高斯-勒让德求积公式,表中列出高斯-勒让德求积公式(4.9)的节点和系数.,由(4.8)式，,这里 是最高项系数为1的勒让德多项式.,公式(4.9)的余项,得,（4.10）,当 时，有,它比区间 上辛普森公式的余项,还小，且比辛普森公式少算一个函数值.,当积分区间不是 ，而是一般的区间 时，,只要做变换,可将 化为 ,（4.10）,对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.,这时,例,用4点( )的高斯-勒让德求积公式计算,解,先将区间 化为 ，,根据表4-7中 的节点及系数值可求得,由(4.11)有,
