1、第二章 2.4 2.4.2 第 2 课时 一、选择题1直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A、B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k( )导 学 号 33780596A2 或2 B1 C2 D3答案 C解析 由Error!得 k2x24( k 2)x40，则 4，即 k2.4k 2k22抛物线 y x2 的焦点关于直线 xy10 的对称点的坐标是 ( )14 导 学 号 33780597A(2，1) B(1，1)C( ， ) D( ， )14 14 116 116答案 A解析 y x2x 24y，焦点为(0,1)，其关于 xy1 0 的对称点为(2，1)143过抛物线 y24x 的
2、焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，O 为坐标原点，则 的OA OB 值是 ( )导 学 号 33780598A12 B12C3 D3答案 D解析 设 A( ，y 1)、B( ，y 2)，则 ( ，y 1)，y214 y24 OA y214( ，y 2)，则 ( ，y 1)( ，y 2) y 1y2，又 AB 过焦点，则有OB y24 OA OB y214 y24 y21y216y1y2p 24， y 1y2 43，故选 D.OA OB y1y2216 42164过抛物线 y24x 的焦点，作一条直线与抛物线交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线 ( )导 学 号 3378
3、0599A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案 B解析 由定义|AB|527，|AB| min4，这样的直线有两条5已知 AB 是过抛物线 2x2y 的焦点的弦，若|AB| 4，则 AB 的中点的纵坐标是( )导 学 号 33780600A1 B2C D58 158答案 D解析 如图所示，设 AB 的中点为 P(x0，y 0)，分别过 A，P，B 三点作准线 l 的垂线，垂足分别为 A，Q，B，由题意得 |AA| |BB| AB|4，| PQ| 2，|AA | |BB |2又|PQ |y 0 ，y 0 2， y 0 .18 18 1586设 F 为抛物线 y24x 的焦点，
4、A、B、C 为该抛物线上三点，若 0，FA FB FC 则| | | | | |等于 ( )FA FB FC 导 学 号 33780601A9 B6 C4 D3答案 B解析 设 A、 B、C 三点坐标分别为( x1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)由题意知 F(1,0)，因为 0，所以 x1x 2x 33.根据抛物线定义，有FA FB FC | | | |x 11x 2 1x 31336.故选 B. FA FB FC 二、填空题7顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2xy 10 所得弦长为 ，则抛15物线方程为_. 导 学 号 33780602答案 y 212x 或
5、y24x解析 设所求抛物线方程为 y2ax (a0)直线变形为 y2x 1设抛物线截直线所得弦长为 ABError!消 y 得(2x1) 2ax整理得 4x2(4a)x 10|AB| 1 22a 44 2 414 15解得 a12 或 a4所求抛物线方程为 y212x 或 y24x.8已知点 F 为抛物线 y28x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且| AF|4，则| PA|PO|的最小值是_. 导 学 号 33780603答案 2 13解析 由|AF|4 及抛物线定义得 A 到准线的距离为 4.A 点横坐标为2，A( 2,4). 又原点关于准线的对称点的坐标为
6、 B(4,0)，所以|PA| PO|的最小值为：|AB | 36 162 .13三、解答题9设抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C在抛物线的准线上且 BCx 轴，证明：直线 AC 经过原点 O.导 学 号 33780604解析 因为抛物线 y22px (p0)的焦点为 F( ，0)，p2所以经过点 F 的直线 AB 的方程设为：x my 代入抛物线方程得： y22pmyp 20p2若记 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则 y1、y 2 是该方程的两个根，所以 y1y2p 2因为 BCx 轴，且点 C 在准线 x 上，p2所以点
7、C 的坐标为( ，y 2)，p2故直线 CO 的斜率为：k ，y2 p2 2py1 y1x1即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点10已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1) 相交于 A，B 两点. 导 学 号 33780605(1)求证：OA OB；(2)当OAB 的面积等于 时，求 k 的值10解析 (1)如图所示，由Error!，消去 x 得，ky 2yk 0.设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，由根与系数的关系得 y1y21，y 1y 2 .1kA、B 在抛物线 y2x 上，y x 1，y x 2，y y x 1x2.21 2 21 2k OAkOB 1，O
8、AOB .y1x1y2x2 y1y2x1x2 1y1y2(2)设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0.令 y0，得 x1，即 N(1,0)S OAB S OAN S OBN |ON|y1| |ON|y2| |ON|y1y 2|，12 12 12S OAB 112 y1 y22 4y1y2 .12 1k2 4S OAB ，10 ，解得 k .1012 1k2 4 16一、选择题1(2015山东临沂市高二期末测试) 已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线与抛物线交于点 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)，则 y y 的最小值为 ( )21 2 导 学 号 33780606A4
9、 B6 C8 D10答案 C解析 当直线的斜率不存在时，其方程为 x1，y 4，y 4，21 2y y 8.21 2当直线的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)(k0)，由Error!，得 ky24y4k 0 ，y 1y 2 ，y 1y24，4ky y (y 1 y2)22y 1y2 8，21 216k2k 20，y y 8，21 2综上可知，y y 8，故 y y 的最小值为 8.21 2 21 22已知点 A( 2,3)在抛物线 C：y 22px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为 ( )导 学 号 33780607A.
10、B 12 23C D34 43答案 D解析 由题意知，准线方程为 x2，p4，抛物线方程：y 28x ，焦点坐标(2,0)设过 A 点的直线为 yk (x2)3联立Error!化简得 y2 y 1608k 24k 4( 16) 0，64k2 24kk ，k2(舍去)12将 k 代入方程，y 8，x 8.12B 点坐标为(8,8)k BF .88 2 433(2016四川理，8)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px( p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且| PM|2|MF| ，则直线 OM 斜率的最大值为( )导 学 号 33780608A. B33 23C.
11、D122答案 C解析 设 P( ，t)，易知 F( ，0) ，则由| PM|2| MF|，得 M( ， )，当 t0 时，t22p p2 p t22p3 t3直线 OM 的斜率 k0，当 t 0 时，直线 OM 的斜率 k ，所以| k| tp t22p1pt t2p1p|t| |t|2p ，当且仅当 时取等号，于是直线 OM 的斜率的最大值为 ，故选 C.12p|t|t|2p 22 p|t| |t|2p 224已知直线 yk (x2)(k 0)与抛物线 C：y 28x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点若| FA|2|FB |，则 k ( )导 学 号 33780609A. B13 2
12、3C D23 223答案 D解析 设 A、 B 两点坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)，由Error!消去 y 得，k 2x24x(k 22) 4k 20，x 1x 2 ，x 1x24.42 k2k2由抛物线定义得|AF|x 12，|BF |x 22，又|AF|2| BF|，x 122x 24，x 12x 22 代入 x1x24，得 x x 220，2x 21 或2(舍去)，x 14， 5，k 2 ，42 k2k2 89k0，k .223二、填空题5已知 F 是抛物线 y24x 的焦点， M 是这条抛物线上的一个动点， P(3,1)是一个定点，则|MP | |MF|的最小值是_.
13、 导 学 号 33780610答案 4解析 过 P 作垂直于准线的直线，垂足为 N，交抛物线于 M，则|MP| MF|MP |MN| PN|4 为所求最小值6在已知抛物线 yx 2 上存在两个不同的点 M、N 关于直线 ykx 对称，则 k 的取92值范围为_. 导 学 号 33780611答案 k 或 k( )2k 2 ，12k 116k 或 k0)过点 A(1，2). 导 学 号 33780613(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由55解析 (1)将(1，2)代入 y22px ，得( 2) 22p1 ，p2.故所求的抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2x t由Error!消去 x 得 y22y 2t0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t .12另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d ，55可得 ，解得 t1.|t|5 15综上知：t1.所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10.
