1、第二章 2.1 第 1 课时一、选择题1已知 a11，a n1 an，且( an1 a n)22(a n1 a n)10，计算 a2，a 3，猜想 an( )An Bn 2Cn 3 D n 3 n答案 B解析 a 11，( a21) 22(a 21)10，a 2(a24) 0，又 an1 an，a 24，同理 a39.猜测 ann 2.故选 B.2数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，的第 100 项的值是( )A13 B14 C15 D16答案 B解析 1234513 91，第 100 项的值是 14.1313 123下面几种推理是合情推理的是( )由圆的性质
2、类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A BC D答案 C解析 是合情推理中的类比法，排除 D；是归纳推理，排除 B；是归纳推理故选 C.4已知数列a n中，a 11，当 n2 时，a n2a n1 1，依次计算 a2，a 3，a 4 后，猜想 an的一个表达式是( )An 21 B(n1) 21C2 n1 D2 n1 1答案 C解析 a 22a 112113，
3、a32a 212317，a42a 3127115，利用归纳推理，猜想 an2 n1，故选 C.5观察(x 2)2x ，( x4)4x 3，(cosx)sinx ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x )f(x) ，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)( )Af(x) Bf (x)Cg(x) Dg( x)答案 D解析 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x) ，选 D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查6我们把 4,9,16,25，这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形( 如下
4、图)，则第 n1 个正方形数是( )An(n1) Bn(n1)Cn 2 D( n1) 2答案 C解析 第 n1 个正方形数的数目点子可排成 n 行 n 列，即每边 n 个点子的正方形，点数为 n2.故选 C.7根据给出的数塔猜测 12345697 等于( )192111293111123941111123495111111234596111111A1111110 B1111111C1111112 D1111113答案 B8类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边的一半；(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2
5、)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的 ；14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不对答案 C解析 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确故选 C.二、填空题9若三角形内切圆半径为 r，三边长为 a、b、c，则三角形的面积 S r(abc) ，12根据类比思想，若四面体内切球半径为 R，四个面的面积为 S1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积 V_.答案 R(S1S 2S 3S 4)13解析 将球心与四
6、面体连结，构成四个棱锥，棱锥底面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4，高都是 R，V R(S1S 2S 3S 4)1310如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第 n 个图有_个原子，有_个化学键答案 4n2 5n1解析 图中有 6 个原子，6 个化学键；图中增加了 4 个原子，5 个化学键；图中又增加了 4 个原子，5 个化学键；设第 n 个图中原子个数为 an，化学键个数为 bn，则 an6(n1)44n2，b n6(n1) 55n1.11(2013陕西文，13)观察下列等式：(11)21；(21)(2 2)2 213；(31)(
7、3 2)(33)2 3135；照此规律，第 n 个等式可为_答案 (n1)(n2)( nn) 2 n13(2n1)解析 观察规律，等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘，从 n1 到 nn，等式右端是2n与等差数列2n1前 n 项的乘积，故第 n 个等式为(n1)(n2) (nn)2 n13(2n1)三、解答题12已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，有如下的性质：(1)通项 ana m(nm)d( nm，n，mN *)(2)若 mnp q，其中，m、n、p、qN *，则 ama na pa q.(3)若 mn2 p，m，n，pN *，则 ama n2a p.(4)Sn，S 2
8、nS n，S 3nS 2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列b n中，写出相类似的性质解析 等比数列 bn中，设公比为 q，前 n 项和为 Sn.(1)ana mqnm (nm，n，mN *)(2)若 mnp q，其中 m，n，p，qN *，则 amana paq.(3)若 mn2 p，其中，m，n，pN *，则 a a man.2p(4)Sn，S 2nS n，S 3nS 2n(各项均不为零 )构成等比数列.一、选择题1设 0 ，已知 a12cos ，a n1 ，则猜想 an( )2 2 anA2cos B2cos2n 2n 1C2cos D2sin2n 1 2n答案 B解析 a 12cos
9、 ，a 2 2 2cos ，a 3 2 2cos ，2 2cos1 cos2 2 2 2a2 1 cos22 4猜想 an2cos .故选 B.2n 12类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A BC D答案 C解析 正四面体的面( 或棱) 可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故 都对故选 C.3把
10、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A27 B28C29 D30答案 B解析 观察归纳可知第 n1 个三角形数共有点数：1 234n 个，nn 12第六个三角形数为 28.故选 B.77 124(2013华池一中期中)平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 a，类比上述命题，棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )32A. a B. a 43 63C. a D. a54 64答案 B解析 将正三角形一边上的高 a 类比到正四面体一个面上的高 a，由正三角形32 6
11、3“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积” ，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明二、填空题5在平面上，若两个正三角形的边长比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_答案 18解析 .V1V213S1h113S2h2 S1S2h1h2 14 12 186(2014三峡名校联盟联考) 观察下列不等式：1 ，122321 ，122 132531 ，122 132 14274照此规律，第五个不等式为_答案 1 122 132 142 152 162116解析 本题考查了归纳的思想方
12、法观察可以发现，第 n(n2)个不等式左端有 n1 项，分子为 1，分母依次为12、2 2、3 2、(n1) 2；右端分母为 n1，分子成等差数列，因此第 n 个不等式为1 ，122 132 1n 122n 1n 1所以第五个不等式为：1 .122 132 142 152 162116三、解答题7在ABC 中，不等式 成立，1A 1B 1C 9在四边形 ABCD 中，不等式 成立，1A 1B 1C 1D 162在五边形 ABCDE 中，不等式 成立，猜想在 n 边形 A1A2An中，1A 1B 1C 1D 1E 253有怎样的不等式成立？解析 根据已知特殊的数值： 、 、 ，总结归纳出一般性的
13、规律：9162253(n3 且 nN *)n2n 2在 n 边形 A1A2An中： (n3 且 nN *)1A1 1A2 1An n2n 28(2013西宁质检)已知等式 sin210cos 240sin10cos40 ，sin 26cos 23634sin6cos36 .请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明34结论的正确性解析 等式为 sin2cos 2(30)sincos(30 ) .证明如下：34sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2 sin (cos30cossin30sin ) sin 2 1 cos60 2a2 12 cos60 22sin2 sin2 sin 2 ( cos2 sin2)34 12 12 1212 32 sin2 sin2 sin 2 cos2 sin2 sin2 sin2 sin2 (12sin 2)34 12 12 14 34 34 12 12 12 14 .34
