1、第二章 习题课(1)一、选择题1已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0) ，则该椭圆的焦点坐标是( )A. (1,0) B. (0，1)C. ( ，0) D. (0， )7 7解析：本题考查椭圆的性质由题意，椭圆的焦点在 y 轴上，a4，b3，所以 c ，所以椭圆的焦点坐标是 (0， )，故选 D.a2 b2 42 32 7 7答案：D 22014唐山一中月考若点 P(a,1)在椭圆 1 的外部，则 a 的取值范围为( )x22 y23A. ( ， ) 233 233B. ( ，)(， )233 233C. ( ，)43D. (， )43解析：本题考查椭圆的范围因为
2、点 P 在椭圆 1 的外部，所以 1，解x22 y23 a22 123得 a 或 ab0)上的一动点，且 P 与椭圆长轴x2a2 y2b2两顶点连线的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为( )12A. B. 32 22C. D. 12 33解析：设 P(x0，y 0)，则 ，化简得 1，又 P 在椭圆上，所以y0x0 a y0x0 a 12 x20a2 2y20a2 1，所以 a22b 2，故 e .x20a2 y20b2 22答案：B 6如右图所示，A、B、C 分别为椭圆 1( ab0)的顶点与焦点，若x2a2 y2b2ABC 90，则该椭圆的离心率为( )A. B1 1 52 22C. 1 D.
3、222解析：由(ac) 2a 22b 2c 2，b 2a 2c 2，c 2ac a 2 0，e ，e 2e 10，e .ca 1 52答案：A 二、填空题72014河北省衡水中学月考 已知 P 是椭圆 1 上的一动点，F 1，F 2 是椭圆的x24 y23左、右焦点，延长 F1P 到 Q，使得 |PQ|PF 2|，那么动点 Q 的轨迹方程是_解析：本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题如图，依题意，|PF 1|PF 2|2a(a 是常数且 a0)又| PQ|PF 2|，| PF1|PQ|2a，即| QF1| 2a.由题意知，a2，b ，c 1.3|QF 1|4，F 1(1,0)，动点 Q 的轨迹是以
4、 F1 为圆心， 4 为半径的圆，动点 Q 的轨迹方程是(x 1) 2y 216.答案：(x1) 2y 2168P 是椭圆 1 上的点， F1 和 F2 是该椭圆的焦点，则 k| PF1|PF2|的最大值是x24 y23_，最小值是_解析：设|PF 1|x，则 kx (2ax)，因 ac|PF 1|ac ，即 1 x3.kx 22ax x 24x(x2) 24，k max 4，k min3.答案：4 39椭圆的两个焦点为 F1、F 2，短轴的一个端点为 A，且三角形 F1AF2 是顶角为 120的等腰三角形，则此椭圆的离心率为_解析：由已知得AF 1F230，故 cos30 ，从而 e .ca
5、 32答案：32三、解答题102014四川省绵阳中学月考 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在 y 轴上，焦距是 4，且经过点 M(3,2)；(2)离心率为 ，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26.513解：(1)由焦距是 4 可得 c2，且焦点坐标为(0，2) ，(0,2)由椭圆的定义知，2a 8，32 2 22 32 2 22所以 a4，所以 b2a 2c 216412.又焦点在 y 轴上，所以椭圆的标准方程为 1.y216 x212(2)由题意知，2a26，即 a13，又 e ，所以 c5，ca 513所以 b2a 2c 213 25 2144，因为焦点可能在 x 轴上，也可能
6、在 y 轴上所以椭圆的标准方程为 1 或 1.x2169 y2144 y2169 x214411如右图，已知 P 是椭圆 1(ab0) 上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的x2a2 y2b2右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点， H 是直线 x (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴a2c的交点，若 PFOF ，HBOP，试求椭圆的离心率 e.解：依题意知 H ，F(c,0)，B(0 ，b)( a2c，0)设 P(xP，y P)，且 xPc ，代入到椭圆的方程，得 yP .P .b2a (c，b2a)HBOP ，k HBk OP，即 .b 00 a2cb2acabc 2.e ，e 2 e 2
7、1.ca bc a2 c2c2e 4e 210.0e 1，e .5 1212已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解：(1)由Error!得 5x22mxm 210.因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220( m21)0.解得 m .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)，由(1)知，5x 22mx m 210，由根与系数的关系得 x1x 2 ，2m5x1x2 (m21)15设弦长为 d，且 y1y 2(x 1 m)(x 2m) x 1x 2，d x1 x22 y1 y22 2x1 x22 2x1 x22 4x1x224m225 45m2 1 .2510 8m2当 m0 时，d 最大，此时直线方程为 yx.
