1、2.6.2 求曲线的方程课时目标 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法1求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的_；(2)设曲线上任意一点 M 的坐标为 (x，y)；(3)列出符合条件 p(M)的方程 f(x，y)0；(4)化方程 f(x，y)0 为_；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上2求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法一、填空题1已知点 A( 2,0)，B(2,0)，C(0,3) ，则ABC 底边 AB 的中线的方程是_2与点 A(1,0)和点 B(1,0)的连线的斜率之积为1
2、 的动点 P 的轨迹方程是_3与圆 x2y 24x0 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是_4抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y 236 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，则抛物线的方程为_5.设过点 P（x,y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交与 A、B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若 2 ，且 1，则 P 点的轨迹方程是BPPA OQ AB _6到直线 xy0 与 2xy0 距离相等的动点轨迹方程是_7方程(xy1) 0 表示的曲线是_x 18.直角坐标平面 xOy 中，若定点 A（1,2）与动点 P（x,y）满
3、足 4，则点 P 的轨OP OA 迹方程是_二、解答题9设圆 C：(x1) 2y 21，过原点 O 作圆 C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程10已知ABC 的两顶点 A、B 的坐标分别为 A(0,0)，B(6，0) ，顶点 C 在曲线yx 23 上运动，求ABC 重心的轨迹方程能力提升11.如图，已知点 F（1,0） ，直线 l：x=-1，P 为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且 .QP QF FP FQ 求动点 P 的轨迹 C 的方程12.如图所示，圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，O 1O24，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、 PN(M
4、、N)为切点，使得 PM PN.试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨2迹方程1求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明2明确求轨迹和求轨迹方程的不同3求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去26.2 求曲线的方程知识梳理1(1)坐标系 (4) 最简形式作业设计1x0(0 y3)解析 直接法求解，注意ABC 底边 AB 的中线是线段，而不是直线2x 2y 21(x 1)解析 设 P(x，y) ，则 kPA ，k PB ，所以 kPAkPB 1.yx 1 yx 1 yx 1 yx 1整理得 x2y 21，又
5、kPA、k PB存在，所以 x1.故所求轨迹方程为 x2y 21 (x1) 3y 28x(x0) 和 y0 (x 0 时，y 28x；当 x0)和 y0 ( x0，y 0)32解析 如图所示，若 P(x，y)，设 A(x1,0)，B(0，y 2)，因为 2 ，BP PA 所以(x， yy 2)2(x 1 x，y )，即Error! x 1 x，y 23y.32因此有 A ，B(0,3 y)， ，(32x，0) AB ( 32x，3y)(x，y)，OQ1， x23y 21(x0，y0)，即为点 P 的轨迹方程326x 26xyy 20解析 设该动点坐标为(x，y)，则 ，|x y|2 |2x y
6、|5化简得 x26xyy 20.7射线 xy10(x 1)与直线 x1解析 由(xy1) 0x 1得Error! 或Error!即 xy10(x 1)，或 x1.所以，方程表示的曲线是射线 xy10(x1)和直线 x1.8x2y40解析 由 4 知，x2y4，OPA即 x2y40，点 P 的轨迹方程是 x2y 40.9解 方法一 直接法：如图所示，设 OQ 为过点 O 的一条弦，P( x，y )为其中点，则 CPOQ.设 OC 中点为M( ，0) ，12则 MP OC ，由两点间距离公式得方程 ，考虑轨迹的范围知12 12 (x f(1,2)2 y2 120x1.所以弦的中点轨迹方程为(x )
7、2y 2 (0x1)12 14方法二 定义法：如图所示，设 OQ 为过点 O 的一条弦，P(x，y) 为其中点，则CPOQ，即OPC90，设 OC 中点为 M( ，0)，所以 PM OC ，所以动点 P 在12 12 12以 M( ，0) 为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为( x )2y 2 .12 12 14因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x )2y 2 (0x1)12 14方法三 代入法：如图所示，设 OQ 为过点 O 的一条弦，P(x，y) 为其中点，设 Q(x1，y 1)，则由中点坐标公式得Error! 即Error!又因为点 Q(x1， y1)在C 上，所
8、以(x 11) 2y 1.21将Error! 代入上式得(2 x1) 2(2 y)21，即(x )2y 2 ，12 14又因为 OQ 为过 O 的一条弦，所以 0x12，所以 0x1，因此所求轨迹方程为(x )2 y2 (0x1) 12 14方法四 参数法：如图所示，设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x，y) 为其中点，动弦 OQ 所在直线的方程为 ykx，代入圆的方程得(x1) 2k 2x21，即(1k 2)x22 x0.设方程(1k 2)x22x0 的两根为 x1，x 2，所以 x ，y kx .x1 x22 11 k2 k1 k2消去参数 k 得：x 2x y 20，所以，所求轨迹方程为
9、 2y 2 (0x1)(x 12) 1410解 设 G(x，y )为所求轨迹上任一点，顶点 C 的坐标为(x，y )，则由重心坐标公式，得Error! Error!顶点 C(x，y )在曲线 y x23 上，3y(3 x6) 23，整理，得 y3(x2) 21，故所求的轨迹方程为 y3( x2) 21.11解 设点 P(x，y) ，则 Q(1，y)，由 得QP QF FP FQ (x1,0)(2，y )(x1，y)( 2，y) ，化简得 C：y 2 4x.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x.12.解 以 O1O2 的中点 O 为原点，O 1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系，则 O1(2,0)，O 2(2,0)由已知 PM PN，2PM 22PN 2.又两圆的半径均为 1，PO 12(PO 1)21 2设 P(x，y)，则(x2) 2y 2 12( x2) 2 y21 ，即(x6) 2y 2 33.所求动点 P 的轨迹方程为(x6) 2y 233 (或 x2y 212x30)
