1、1历年考研数学一真题 1987-2014（经典珍藏版）1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上)(1)当 x=_时,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lnyx与两直线 e1yx及 0y所围成的平面图形的面积是_. 1x(3)与两直线 yt2zt及 11xy都平行且过原点的平面方程为_.(4)设 L为取正向的圆周 29,xy则曲线积分2(2)(4)Lxydxy:= _.(5)已知三维向量空间的基底为123(,0)(1,)(0,1)则向量 (2,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常
2、数 a与 ,b使等式2001lim1sinxxtdb成立.2三、(本题满分 7 分)(1)设 f、 g为连续可微函数,(,)(),uxyvxy求 ,.uvx(2)设矩阵 A和 B满足关系式 2,AB=其中301,4求矩阵 .四、(本题满分 8 分)求微分方程 26(9)1yay的通解,其中常数 0.a五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 2()lim1,xaf则在 xa处(A) f的导数存在 ,且 ()0f(B) ()x取得极大值(C) f取得极小值 (D) ()x的导数不存在(2)
3、设 f为已知连续函数 0,(),stIfxd其中0,ts则 I的值(A)依赖于 s和 t (B)依赖于 、 t和 x(C)依赖于 、 ,不依赖于 s(D)依赖于 s,不依赖于 t(3)设常数 0k则级数 21()nk(A)发散 (B)绝对收敛 3(C)条件收敛(D)散敛性与 k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 A的行列式 |0,a而*是 的伴随矩阵，则 *|等于(A)a (B)1a(C) 1n (D)na六、 （本题满分 10 分）求幂级数 112nnx:的收敛域，并求其和函数. 七、 （本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)()4,Ixydzydzxy其中 是由曲线 13()0
4、zyfxx绕 y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于 . 八、 （本题满分 10 分）设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数 ()f的值都在开区间 (0,1)内,且 ()fx1,证明在 (0,1)内有且仅有一个 ,使得 .九、 （本题满分 8 分）4问 ,ab为何值时 ,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件 A发生的概率为 ,p现进行 n次独立试验,则 A至少发生一次的概率为
5、_;而事件 A至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量 X的概率密度函数为 21()e,xf则 X的数学期望为_, X的方差为_.十一、 （本题满分 6 分）5设随机变量 ,XY相互独立,其概率密度函数分别为()Xfx10 x为, ()Yfy e0y , 求 2ZXY的概率密度函数.671
6、988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数 1()nnx的收敛域.(2)设 2()e,()xff且 ()0x,求()x及其定义域.(3)设 为曲面 221xyz的外侧,计算曲面积分 333.Idzd:二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分12 分.把答案填在题中横线上)(1)若 21()lim(),txxftt则 ()ft= _.(2)设 ()fx连续且 310(),xftdx则(7)f=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1,上定义为 ()fx 10x,则的傅里叶 )Fourie级数在 1处
7、收敛于_.(4)设 4 阶矩阵23234,AB其中 234,均为4 维列向量,且已知行列式 1AB则行列式= _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 ()fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在80x处的微分 dy是(A)与 x等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小(C)比 x低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小(2)设 ()yfx是方程 240y的一个解且00(),fx则函数 ()fx在点 处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减
8、少(3)设空间区域22221:,0:,0,xyzRxyzRxyz则(A) 124xdv (B)12y(C) 124zdv (D)12xyxy(4)设幂级数 1()nna在 1x处收敛,则此级数在 x处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使9120skk(B) 1,s 中任意两个向量均线性无关(C) 12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分 6 分)设 (),xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连
9、续导数,求 22.u五、(本题满分 8 分)设函数 (yx满足微分方程32e,xy其图形在点 (0,1)处的切线与曲线1x在该点处的切线重合,求函数 ().yx六、 （本题满分 9 分）设位于点 (0,1)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(kr为常数 r为 质点与 之间的距离 ),质点 M沿直线 2yx自 (,0)B运动到 (0,)O求在此运动过程中质点 A对质点 的引力所作的功 .七、 （本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,求 5.A10八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、 （本题满分 9
10、 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有()0,fx证明:在 ,内存在唯一的 ,使曲线y与两直线 (),yfx所围平面图形面积1S是曲线 ()fx与两直线 (),fb所围平面图形面积 2的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19,27则事件 在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于 65”的概率为 _.(3)设随机变量 X服从均值为 10,均方差为0.02 的正态分布,已知 21()e,
11、(.5)0938,uxd则 X落在区间 9.5,0)内的概率为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X的概率密度函数为1121(),)Xfx求随机变量 31YX的概率密度函数 .Yy121989 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 (3)2,f则 0(3)(lim2hff= _.(2)设 ()fx是连续函数,且 10()(),fxftd则()f=_.(3)设平面曲线 L为下半圆周 21,yx则曲线积分 2()Lxyds=_.(4)向量场 ivu在点 (1,0)P处的散度divu=_.(5)
12、设矩阵3140,10,AI则矩阵1(2)AI=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 0x时 ,曲线 1sinyx(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面 24zxy上点 P处的切平面平行于平面 210,xy则点的坐标是(A)(1,) (B)(,)13(C)(1,2) (D)(,(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) 123cy(B)12(
13、)(C) 12123()cycy(D)123()(4)设函数 2,0,fx而1()sin,Sxb其中02(),12,3nfxdn则 1()2S等于(A) (B) 4 (C)14 (D) (5)设 A是 n阶矩阵,且 A的行列式 0,则 A中(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 (2)(,)zfxygx其中函数 (ft二阶可导 ,()guv具有连续二阶偏导数,求2.zy(2)设曲线积分 2()cxyd与路径无关,其中 ()x具有连续的导
14、数,且 0,计算1,2(0)()ydy的值.(3)计算三重积分 (),xzdv其中 是由曲面2zxy与 21zy所围成的区域.14四、(本题满分 6 分)将函数 1(arctnxfx展为 的幂级数.五、(本题满分 7 分)设 0)sin(,xfxtfd其中 f为连续函数 ,求 (.六、 （本题满分 7 分）证明方程 0ln1cos2exxd在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七、 （本题满分 6 分）问 为何值时,线性方程组13x24136x有解,并求出解的一般形式.八、 （本题满分 8 分）假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值,证明(1)1为 的特征值.(2) A为 的伴随矩阵 *的特征
15、值.九、 （本题满分 9 分）设半径为 R的球面 的球心在定球面22(0)xyza上,问当 R为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大?15十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件 A的概率 ()0.5,P随机事件B的概率 ()0.6P及条件概率 |8B则和事件 A的概率 )=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量 在 (1,6)上服从均匀分布,则方程 210x有实根的概率是_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X与 Y独立
16、,且 X服从均值为 1、标准差(均方差)为 2的正态分布,而 Y服从标准正态分布.试求随机变量 23ZXY的概率密度函数.161990 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点 (1,2)M且与直线 34y垂直的平面方程是_.1zt(2)设 a为非零常数 ,则lim()xx=_.(3)设函数 ()f 10 1x,则()fx=_.(4)积分 220eyxd的值等于_.(5)已知向量组1234(,34),(,5),(,6),(,57),则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分
17、,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 ()fx是连续函数,且 e()(),xFftd则()F等于(A) e()xffx (B)()xf(C)e()xffx (D)()xf(2)已知函数 ()fx具有任意阶导数 ,且172(),fxf则当 n为大于 2 的正整数时 ,()fx的n阶导数 ()nx是(A) 1!f (B)1()nfx(C) 2()nf (D)2!nfx(3)设 a为常数 ,则级数 21sin()a(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与 a的取值有关 (4)已知 ()fx在 0的某个邻域内连续,且0(
18、),lim21cosxf则在点 x处 ()f(A)不可导 (B)可导,且 (0)f(C)取得极大值 (D)取得极小值 (5)已知 1、 2是非齐次线性方程组 AXb的两个不同的解 ,、 是对应其次线性方程组AX0的基础解析 1k、 2为任意常数,则方程组b的通解 (一般解)必是(A) 12121k (B)212()(C) 12121k(D)212()三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 120ln().xd18(2)设 (2,sin),zfxy其中 (,)fuv具有连续的二阶偏导数,求 .(3)求微分方程 24exy的通解(一般解).四、(本题满分 6 分)求幂级数
19、 0(21nnx的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分 8 分)求曲面积分 2SIyzdxy其中 S是球面 224x外侧在 0z的部分.六、 （本题满分 7 分）设不恒为常数的函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续,在开区间 (,)ab内可导 ,且 ().f证明在(,)ab内至少存在一点 ,使得 0f七、 （本题满分 6 分）设四阶矩阵 1021340,BC且矩阵 A满足关系式 1()EB其中 E为四阶单位矩阵 ,C表示 的逆矩阵 ,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .A八、 （本题满分 8 分）19求一个正交变换化二次型 2213132448fxxx成标准型.九、 （本题满分 8
20、分）质点 P沿着以 AB为直径的半圆周,从点 (1,2)运动到点 (3,4)的过程中受变力 F作用(见图). F的大小等于点 P与原点 O之间的距离,其方向垂直于线段 且与y轴正向的夹角小于 .2求变力F对质点 P所作的功 .十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量 X的概率密度函数1()e,2xf则 X的概率分布函数 F=_.(2)设随机事件 A、 B及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若 表示 的对立事件, 那么积事件 B的概率 ()P=_.(3)已知离散型随机变量 X服从参数为 2 的泊松 ()Poisn分布,即
21、2e,01,!k 则随机变量 32ZX的数学期望 ()EZ=_.十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量 (,)Y在区域:01,Dxy内服从均匀分布,求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量 21Z的方差 ().DZ201991 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上) (1)设 21cosxty,则 2dyx=_.(2)由方程 22xyzz所确定的函数(,)zx在点 (1,0)处的全微分d=_.(3)已知两条直线的方程是1 231:;:.01xyzxyzl l则过 1l且平行于 2的平面方程是_.(4)已知当
22、 x时123,()ax与 cos1x是等价无穷小,则常数 a=_.(5)设 4 阶方阵5201,A则 A的逆阵1A=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线21exy(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 21(2)若连续函数 ()fx满足关系式20()()ln2,tfxfd则 等于(A)ex (B)2lnx(C)el2x(D)2lx(3)已知级数 121(),5,nna则级数1na等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设
23、 D是平面 xoy上以 (1,)、 ,和 (1,)为顶点的三角形区域 ,是 在第一象限的部分 ,则(cosin)Dxyydx等于(A) 12i (B)1Dxyd(C) 14(cosin)xyd (D)0 (5)设 阶方阵 A、 B、 C满足关系式,ABCE其中 是 n阶单位阵 ,则必有(A) (B)(C) BACE(D)三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20lim(cos).x22(2)设 n是曲面 2236xyz在点 (1,)P处的指向外侧的法向量,求函数 28xyu在点 处沿方向 n的方向导数.(3) 2(),xyzdv其中 是由曲线 20yzx绕z轴旋转一
24、周而成的曲面与平面 4z所围城的立体.四、(本题满分 6 分)过点 0,)O和 (,A的曲线族 sin(0)yax中,求一条曲线 L使沿该曲线 O从到 A的积分3(1)(2)Lydxy的值最小.五、(本题满分 8 分)将函数 ()2(1)fxx展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数 21n的和.六、 （本题满分 7 分）设函数 ()fx在 0,1上连续 ,(01)内可导,且123()fd证明在 内存在一点 ,c使0.c七、 （本题满分 8 分）已知1234(,03),(1,5)(1,2,)(1,8)aa及 ,.b(1)a、 为何值时 ,不能表示成 1234,的线性组合?(2) 、 b为
25、何值时 ,有 1234,的唯一的线性表示式?写出该表示式.23八、 （本题满分 6 分）设 A是 n阶正定阵 ,E是 n阶单位阵,证明 AE的行列式大于 1.九、 （本题满分 8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)Pxy处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数( Q是法线与 x轴的交点),且曲线在点1,)处的切线与 轴平行 .十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分6 分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量 X服从均值为 2、方差为 2的正态分布,且 240.3,PX则0X=_.(2)随机地向半圆 2(yax为正常数 )内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率
26、与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 4的概率为 _.十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量 (,)XY的密度函数为,fxy(2)e0,0 xy为求随机变量 ZY的分布函数.241992 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上) (1)设函数 ()yx由方程 ecos()0xy确定,则 dyx=_.(2)函数 22ln()uxyz在点 (1,2)M处的梯度 gradM=_.(3)设 ()fx 21 0x,则其以 为周期的傅里叶级数在点 处收敛于_.(4)微分方程 tancosyx的通解为
27、y=_.(5)设1212122,nnnbbaaA 其中0,(,).iiab则矩阵 A的秩()r=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分2515 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 1x时,函数 12ex的极限(A)等于 2 (B)等于 0(C)为 (D)不存在但不为(2)级数 1()cos)(na常数 0)(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)收敛性与 a有关 (3)在曲线 23,xtyzt的所有切线中,与平面 24yz平行的切线(A)只有 1 条(B)只有 2 条(C)至少有 3 条 (D)不存在(4)设 3
28、2(),fxx则使 ()0nf存在的最高阶数 n为(A)0(B)1 (C)2(D)3 (5)要使 120,1都是线性方程组AX0的解 ,只要系数矩阵 A为(A)21(B)26201 (C) 201(D)401三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20esin1lim.x(2)设 (i,),xzfy其中 f具有二阶连续偏导数,求2.(3)设 ()fx 21ex 0,求 31(2).fxd四、(本题满分 6 分)求微分方程 32exy的通解.五、(本题满分 8 分)计算曲面积分 323232()()(),xazdyaxdzaydx其中 为上半球面 2y的上侧.六、 （本
29、题满分 7 分）设 ()0,(),fxf证明对任何 120,x有1212.七、 （本题满分 8 分）在变力 Fyzixjyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面 221zabc上第一卦限的27点 (,)M问当 、 、 取何值时,力 F所做的功W最大?并求出 的最大值. 八、 （本题满分 7 分）设向量组 123,线性相关,向量组 234,线性无关,问:(1) 1能否由 23,线性表出 ?证明你的结论.(2) 4能否由 1线性表出?证明你的结论.九、 （本题满分 7 分）设 3 阶矩阵 A的特征值为 123,对应的特征向量依次为1231,49又向量 12.3(1)将 用 123,线性表出.(2
30、)求 (nA为自然数).十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 11()(),()0,()(),46PABCPABCPB则事件 、 、 全不发生的概率为_.(2)设随机变量 X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 2eE=_.十一、 （本题满分 6 分）28设随机变量 X与 Y独立 ,服从正态分布2(,)N服从 ,上的均匀分布,试求ZY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示,其中21()e)txd.291993 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线
31、上) (1)函数 1()2)(0xFdtx的单调减少区间为_.(2)由曲线 230xyz绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 (,)处的指向外侧的单位法向量为_.(3)设函数 2()()fxx的傅里叶级数展开式为 01cosin,2nab则其中系数3b的值为_.(4)设数量场 22l,uxyz则div(gra)=_.(5)设 n阶矩阵 A的各行元素之和均为零,且A的秩为 1,则线性方程组 X0的通解为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 sin2340()(),xftdgx则当0x时
32、,是 g的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线 22()xy所围成的区域面积30可用定积分表示为(A) 402cosd (B)40(C) 40cs (D)2401(os)d(3)设有直线 158:21xyzl与 2:l 623xyz则 l与 2的夹角为(A)(B) 4(C) (D) 2(4)设曲线积分 ()esin()cosxLftydfxyd 与路径无关,其中 x具有一阶连续导数 ,且(0),f则 ()f等于(A) e2x (B)x(C) e12x(D)1(5)已知324,69tQP为三阶非零矩阵,且满足 0,P则(A) 6t时 的秩必为 1 (B)t时 的秩必为 2 (C)t时 P的秩必为 1 (D)6t时 的秩必为 2 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 21lim(snco).xx(2)求 e.xd(3)求微分方程 22,yx满足初始条件
