1、选修 1-1 第二章 2.1 课时作业 13一、选择题1. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆12C：x 2 y22x150 的半径，则椭圆的标准方程是( )A 1 B 1x24 y23 x216 y212C y 21 D 1x24 x216 y24解析：由 x2y 22x 150 ，知 r42aa2.又 e ，c 1.故ca 12b2a 2c 24 13.故选 A.答案：A 2. 已知椭圆 1(m0)，若直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰x216 y2m2 22好是椭圆的右焦点 F，则 m 等于 ( )A 2 B 2 2C 2 D 22解析：由题
2、意设半焦距为 c，易知点 M(c， c)，点 M 又在椭圆上， 1 22 c216 c22m2.又 c216 m2 ，由联立解得 m28，m2 .2答案：A 3. 把离心率等于黄金比 的椭圆称为优美椭圆，设椭圆 1( ab0)为优美5 12 x2a2 y2b2椭圆，已知 F，A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是短轴的一个端点，则ABF 等于( )A 30 B 45C 60 D 90解析：设椭圆的半焦距为 c，e 是方程 x2x10 的一个根，5 12e 2e10，即( )2 10，c 2aca 20.不妨设 B 为上顶点，则 F(c, 0)，A(a，0) ，ca caB(0，b)， b 2ac
3、 a2c 2ac0，FBAB，即 ABF90.FB AB 答案：D 4. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A 2 B 3C 6 D 8解析：由椭圆 1 可得点 F(1,0)，点 O(0,0)，设 P(x，y)，2x 2，x24 y23则 x 2 xy 2x 2x 3(1 )OP FP x24 x2x3 (x2) 22，14 14当且仅当 x2 时， 取得最大值 6.OP FP 答案：C 二、填空题5. 已知点 A，B 是椭圆 1( m0，n0)上的两点，且 ，则 _.x2m2 y2n2 AO BO 解
4、析：由 知点 A，O，B 共线，因椭圆关于原点对称，AO BO 1.答案：16. 焦点在 x 轴上，长轴长为 20，短轴长为 16 的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为_解析：由题意 a10，b8，设内接矩形 ABCD 位于第一象限的顶点为 A(x0，y 0)，则有 1，且 S 矩形 ABCD4x 0y0.x20100 y2064由于 x y x (1 )64 x (100x ) 21600，当且仅当2020 20x20100 162520 20 1625(x20 100 x202 )x 100x ，即 x 50 时“ ”成立此时 y 32，即当 x05 ，y 04 时，椭圆的20 20 2
5、0 20 2 2内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为：4(x 0y 0)36 .2答案：36 27. 横跨北京动物园上空的“隔音隧道”为半椭圆形隔音钢架结构，隧道内为双向四车道，车道总宽 20 米，限制通行车辆的高度不超过 4 米，隧道正中是一面 7 米高的隔板，两侧各有两个车道，根据以上信息，请你计算出隧道设计的拱宽(椭圆长轴) 至少_米( 5.7，结果精确到分米)33解析：由题意，椭圆短半轴长 b7，设椭圆方程为 1(a7)，易知点(10,4) 在椭x2a2 y249圆上， 1，则 a2 ，a ，2a 24.6.100a2 1649 490033 7033 14033答案：24.6三、解答
6、题8. 如图，已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆 1 内的两个点， M 是椭圆上的动点，求x225 y29|MA| MB|的最大值和最小值解：由 1 得 a5，b3，c4，点 A(4,0)为椭圆的一个焦点，另一个焦点x225 y29F( 4,0)，|MA |MF|2a10，|MA |MB|10| MF|MB| ，在BMF 中，两边之差的绝对值小于第三边，且|BF| 2 ，102 |FB| MB|MF|FB |2 ，10 10102 |MA| MB|102 ，最小值为 102 ，最大值为 102 .10 10 10 109. 已知 F1, F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F 1PF
7、260.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：F 1PF2 的面积只与椭圆短轴长有关解：(1)不妨设椭圆方程为 1( ab0)，由余弦定理得x2a2 y2b2cos60|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| ，|PF1| |PF2|2 2|PF1|PF2| |F1F2|22|PF1|PF2|PF 1|PF2| 4a22| PF1|PF2|4c 2，3| PF1|PF2| 4b2，|PF 1|PF2| b2，43又|PF 1|PF2|( )2a 2，|PF1| |PF2|23a 24(a 2c 2)， ，ca 12e .12又椭圆中 0e1， e1.12(2)证明：由(1)知|PF 1|PF2| b2，43SF 1PF2 |PF1|PF2|sin6012 b2 b2，12 43 32 33F 1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关
