1、第三章 习题课(2)一、选择题1若 A(1， 2,3)，B(2,5,6)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A. (1，2,3) B. (2,5,6)C. (1,7,3) D. (1， 7,3)解析： (1,7,3)，AB 又与 平行的非零向量都可作为 l 的方向向量，AB (1,7,3) 可作为 l 的方向向量AB 答案：C 2已知 (2,2,1)， (4,5,3)，则平面 ABC 的一个单位法向量为( )AB AC A. ( ， ， ) B. ( ， )13 23 23 1323 23C. ( ， ) D. ( ， )1323 23 1323 23解析：设平面 ABC 的法向
2、量为 n(x，y，z)，则有Error!取 x1，则 y2，z2.所以 n(1 ， 2,2)因为|n| 3，所以平面 ABC 的一个单位法向量可以是( ， )1323 23答案：B 3已知平面 内有一个点 A(2，1,2) ， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是( )A(1，1,1) B(1,3， )32C(1，3， ) D( 1,3 ， )32 32解析：n 为 的一个法向量，n 0，把 P 点依次代入满足上式即可AP 答案：B 4如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A 1B1 上的点，若B 1MN90，则
3、PMN 的大小是( )A等于 90 B小于 90C大于 90 D不确定解析：A 1B1平面 BCC1B1，A 1B1MN， ( )MP MN MB1 B1P MN 0，MB1 MN B1P MN MPMN，即PMN 90.答案：A 52013辽宁大连一模长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABAA 12，AD1，E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )A. B. 1010 3010C. D. 21510 31010解析：建立坐标系如图，则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C 1(0,2,2)(1,0,2)， (1,2,1)，BC1 A
4、E cos ， .BC1 AE BC1 AE |BC1 |AE | 3010所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 .3010答案：B 6如右图所示 ，已知点 P 为菱形 ABCD 外一点，且 PA面 ABCD，PA ADAC，点 F 为 PC 中点，则二面角 CBFD 的正切值为( )A. B.36 34C. D.33 233解析：如右图所示，连接 BD，ACBDO ，连接 OF.以 O 为原点，OB、OC、OF 所在直线分别为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.设 PAADAC1，则 BD .所3以 B ， F ，(32，0，0) (0，0，12)C ，D .(0，1
5、2，0) ( 32，0，0)结合图形可知， 且 为面 BOF 的一个法向量，OC (0，12，0) OC 由 ， ，BC ( 32，12，0) FB ( 32，0， 12)可求得面 BCF 的一个法向量 n(1， ， )3 3所以 cosn， ，sinn， ，OC 217 OC 277所以 tann， .OC 233答案：D 二、填空题7若 A(0,2， )，B(1，1， )，C(2,1， )是平面 内的三点，设平面 的法向量198 58 58a( x， y，z)，则 xyz_.解析： (1 ，3， )，AB 74(2，1， )，由Error!AC 74得Error!解得Error!则 xyz
6、 yy( y)23(4)23 43答案：23(4)8在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是_解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，设棱长为 1，则 B(1,1,0)，C 1(0,1,1)，A 1(1,0,1)，D(0,0,0)， ( 1,0,1)，BC1 (1，0 ，1) ， (1，1,0)，设平面 A1BD 的一个法向量为 n(1，x，y )，设A1D BD 平面 A1BD 与 BC1 所成的角为 ，n ，n ，A1D BD 所以 n 0，n 0，A1D BD 所以Error!解得Error!所以 n(1 ， 1，1)，则 cos ，n ，
7、BC1 BC1 n|BC1 |n| 63所以 sin ，所以 cos .63 1 ( 63)2 33答案：339平面 的法向量为(1,0，1) ，平面 的法向量为(0 ， 1，1)，则平面 与平面 所成二面角的大小为_解析：设 n1(1,0，1)，n 2(0 ，1，1)，则 cosn 1，n 2 ，10 0 1 112 2 12n 1，n 2 .因平面 与平面 所成的角与n 1，n 2相等或互补，所以 与 23所成的角为 或 .3 23答案： 或3 23三、解答题10在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，棱 PD 垂直于底面ABCD， PDDC，E 是 PC 的中点，EFPB
8、于点 F.(1)证明：PA平面 EDB；(2)证明：PB平面 EFD.证明：如右图所示建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设 DCa.(1)连接 AC，AC 交 BD 于 G，连接 EG，依题意得 D(0,0,0)，A(a,0,0) ，P(0,0，a) ，E (0， )a2 a2因为四边形 ABCD 是正方形，所以 G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为( ，0)，a2a2所以 ( ，0， )，EG a2 a2又 (a,0，a)，所以 2 ，PA PA EG 这表明 PAEG.而 EG平面 EDB，且 PA平面 EDB，所以 PA平面 EDB.(2)依题意得 B(a，a,0)，( a，a，a
9、)， (0， ， )，PB DE a2 a2所以 0 0，PB DE a22 a22所以 PBDE .由已知 EFPB，且 EFDEE，所以 PB平面 EFD.11在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面 ABCD，AE BD， CBCDCF .(1)求证：BD 平面 AED；(2)求二面角 FBDC 的余弦值解：(1)因为四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又 CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD ，又 AEBD ，且 AEAD A，AE，AD平面 AED.所以 BD平面 AED.(2)连接 AC
10、，由(1)知 ADBD，所以 ACBC .又 FC平面 ABCD，因此 CA，CB，CF两两垂直，以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CF 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 CB1，则 C(0,0,0)，B (0,1,0)，D( ， ，0) ，F(0,0,1)，32 12因此 ( ， ，0) ， (0，1,1)BD 32 32 BF 设平面 BDF 的一个法向量为 m( x，y，z) ，则 m 0， m 0，BD BF 所以 x y z，3 3取 z1，则 m( ，1,1)3由于 (0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量，CF 则 cosm， ，
11、CF mCF |m|CF | 15 55所以二面角 FBDC 的余弦值为 .5512.2013浙江高考如图，在四面体 ABCD 中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD 2 .M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，2且 AQ 3QC.(1)证明：PQ 平面 BCD；(2)若二面角 CBM D 的大小为 60，求BDC 的大小解：(1)如下图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在射线为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O xyz.由题意知 A(0， ，2)，B (0， ，0) ，D(0， ，0)2 2 2设点 C 的坐标为(x 0，y
12、0,0)，因为 3 ，AQ QC 所以 Q( x0， y0， )34 24 34 12因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， ，1) 又 P 为 BM 的中点，故 P(0,0， )，所以 (212 PQ x0， y0,0)34 24 34又平面 BCD 的一个法向量为 u(0,0,1)，故 u0.PQ 又 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD.(2)设 m(x，y ，z )为平面 BMC 的一个法向量由 (x 0， y 0,1)， (0,2 ，1)，CM 2 BM 2知Error!取 y1，得 m( ， 1,2 )y0 2x0 2又平面 BDM 的一个法向量为 n(1,0,0) ，于是|cosm，n| ，|mn|m|n|y0 2x0 |9 (y0 2x0 )2 12即 23. (y0 2x0 )又 BCCD，所以 0 ，CB CD 故(x 0， y 0,0)(x 0， y 0,0)0，2 2即 x y 2. 20 20联立，解得Error!(舍去 )或Error!所以 tanBDC .|x02 y0| 3又BDC 是锐角，所以BDC60.
