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【创新设计】高中数学(苏教版选修2-1)学案:第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定.doc

上传人:无敌 文档编号:522738 上传时间:2018-04-09 格式:DOC 页数:14 大小:682KB
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资源描述

1、32.2 空间线面关系的判定学习目标 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系 .2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).3. 能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系知识链接1用向量法如何证明线面平行?答:证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可2用向量法如何证明线面垂直?答:证直线的方向向量与平面的法向量平行即可预习导引1空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线 l,m 的方向向量分别为 a(a 1,b 1,c 1),b(a 2,b 2,c 2),则lmabakba 1ka 2,b 1

2、kb 2,c 1kc 2,kR .(2)线面平行设直线 l 的方向向量为 a(a 1,b 1,c 1),平面 的法向量为 u(a 2,b 2,c 2),则la ua u0a 1a2 b1b2c 1c20.(3)面面平行设平面 , 的法向量分别为 u(a 1,b 1,c 1),v (a 2,b 2,c 2),则uv u kv a 1ka 2,b 1kb 2,c 1kc 2,k R .2空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线 l 的方向向量为 a(a 1,a 2,a 3),直线 m 的方向向量为 b(b 1,b 2,b 3),则lma bab0a 1b1a 2b2a 3b30.(2)线面垂直设

3、直线 l 的方向向量是 u( a1,b 1,c 1),平面 的法向量是 v(a 2,b 2,c 2),则lu vukv.(3)面面垂直若平面 的法向量为 u(a 1, b1,c 1),平面 的法向量为 v(a 2,b 2,c 2),则uv u v0a 1a2b 1b2c 1c20.要点一 证明线线垂直例 1 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC3,BC4,AB5,AA 14,求证:AC BC 1.证明 直三棱柱 ABCA1B1C1 底面三边长AC3,BC4,AB5,AC 、BC、C 1C 两两垂直如图,以 C 为坐标原点,CA、CB、CC 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建

4、立空间直角坐标系则 C(0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B(0,4,0), (3,0,0),AC (0,4,4),BC1 0. ,即 ACBC 1.AC BC1 AC BC1 规律方法 证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直跟踪演练 1 已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为 1,M 是底面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN CC1.求证:AB 1MN.14证明 方法一 (基向量法)设 a, b, c,则由已知条件和正三棱柱的性质,得AB AC AA1 |a|b| | c|1,ac

5、 bc 0,ac, (ab),AB1 AM 12b c, a b c,AN 14 MN AN AM 12 12 14 ( ac )( a b c)AB1 MN 12 12 14 cos60 0.12 12 14 ,AB 1MN.AB1 MN 方法二 (坐标法)设 AB 中点为 O,作 OO1AA 1.以 O 为坐标原点,OB 为 x 轴, OC 为 y 轴,OO 1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A( ,0,0) ,B( ,0,0),C(0, ,0),N(0, , ),B 1( ,0,1),12 12 32 32 14 12M( , ,0) 14 34 ( , , ), (1,

6、0,1),MN 14 34 14 AB1 0 0.MN AB1 14 14 ,AB 1MN.MN AB1 要点二 利用空间向量证明平行关系例 2 如图所示,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且 BM BD,AN AE.求证:MN13 13平面 CDE.证明 因为矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,所以 AB,AD ,AF 互相垂直不妨设 AB,AD,AF 的长分别为3a,3b,3c,以 , , 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标AB AD AF 系 Axyz.则各点坐标为 B(3a,0,0) ,D (0,3b,0

7、),F(0,0,3c ),E(0,3b,3c) ,所以 ( 3a,3b,0) , (0,3b,3c) BD EA 因为 (a,b,0), (0 ,b,c ),BM 13BD NA 13EA 所以 NM NA AB BM (0,b,c)(3a,0,0) (a,b,0)(2 a,0,c )又平面 CDE 的一个法向量是 (0,3 b,0),AD 由 (2 a,0,c)(0,3b, 0)0,NM AD 得到 .NM AD 因为 MN 不在平面 CDE 内,所以 MN平面 CDE.规律方法 利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行

8、问题跟踪演练 2 如图,四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,PB 与底面成的角为 45,底面 ABCD 为直角梯形,ABCBAD90,PABC AD1,问在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE平面 PAB?若12存在,求出 E 点的位置;若不存在,说明理由解 分别以 AB,AD ,AP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,P(0,0,1) ,C(1,1,0),D(0,2,0),设 E(0,y,z ),则 (0 ,y ,z1),PE (0,2,1),PD ,PE PD y(1)2(z1)0, (0,2,0)是平面 PAB 的法向量,AD 又 (1,y 1,z ),CE平面 PAB,C

9、E ,(1,y1,z)(0,2,0)0.CE AD y1,代入得 z ,E 是 PD 的中点,12存在 E 点为 PD 中点时,CE平面 PAB.要点三 探索性问题(垂直、平行问题 )例 3 如图所示,四棱锥 SABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P 为侧棱 SD 上的点2(1)求证:ACSD .(2)若 SD平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE平面 PAC.若存在,求 SEEC 的值;若不存在,试说明理由(1)证明 连结 BD,设 AC 交 BD 于 O,则 ACBD.由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点, , , 分别为 x 轴、y

10、轴、z 轴正方向,建立空间OB OC OS 直角坐标系如图设底面边长为 a,则高 SO a,62于是 S ,D ,(0,0,62a) ( 22a,0,0)B , C , ,(22a,0,0) (0,22a,0) OC (0,22a,0) ,则 0.SD ( 22a,0, 62a) OC SD 故 OCSD.从而 ACSD.(2)解 棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC.理由如下:由已知条件知 是平面 PAC 的一个法向量,DS 且 , ,DS ( 22a,0,62a) CS (0, 22a,62a) .BC ( 22a,22a,0)设 t ,则 tCE CS BE BC CE BC

11、CS ,( 22a,22a(1 t),62at)而 0 t .BE DS 13即当 SEEC21 时, .BE DS 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE平面 PAC.规律方法 在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在跟踪演练 3 空间图形 PABCD 中,ABCD 是菱形,ABC60,PAACa,PBPD a,点 E 在 PD 上,且 PEED21.在 PC 上是否存在一点 F,2使 BF平面 AEC?并证明你的结论解 以 A 为坐标原点,AD

12、、 AP 所在直线分别为 y 轴、z 轴,过 A点垂直于平面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图所示由题设条件可得,相关各点的坐标分别为 A(0,0,0), B( a,32a,0),C( a, a,0),D(0 ,a,0) ,P(0,0,a),E(0 , a, a),12 32 12 23 13所以 (0 , a, a), ( a, a,0), (0,0 ,a), ( a, a,a) ,AE 23 13 AC 32 12 AP PC 32 12( a, a,a) ,BP 32 12设点 F 是棱 PC 上的点, ( a, a,a),其中 01,PF PC 32 12则 ( a,

13、a,a) ( a, a,a)( a(1) , a(1),a(1 ),BF BP PF 32 12 32 12 32 12令 1 2 ,BF AC AE 得Error!即Error!解得 , 1 , 2 ,12 12 32即 , ,12 BF 12AC 32AE 所以当 F 是 PC 的中点时, , , 共面BF AC AE 又 BF平面 AEC,所以 BF平面 AEC.1若平面 、 的法向量分别为 u(2,3,5) ,v(3,1,4) ,则_ 、 相交但不垂直 以上均不正确答案 解析 平面 、 的法向量既不共线又不垂直2若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2),平面 的法向量为 u(2,0

14、,4),则_l l l l 与 斜交答案 解析 au,l .3平面 的一个法向量为(1,2,0),平面 的一个法向量为(2,1,0) ,则平面 与平面 的位置关系是_答案 垂直解析 (1,2,0)(2,1,0)0,两法向量垂直,从而两平面垂直4在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD 垂直于底面ABCD,PD DC,E 是 PC 的中点,作 EFPB 于点 F.求证:(1)PA平面 EDB;(2)PB平面 EFD.证明 建立如图所示的空间直角坐标系D 是坐标原点,设 DCa.(1)连结 AC 交 BD 于点 G,连结 EG,依题意得 D(0,0,0),A(a,0,0),P

15、(0,0 ,a),E(0, )a2 a2因为底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为( ,0),所以 ( ,0, )a2a2 EG a2 a2又 (a,0,a),所以 2 ,这表明 PAEG.PA PA EG 而 EG平面 EDB,且 PA平面 EDB,所以 PA平面 EDB.(2)依题意得 B(a,a,0), (a,a,a) , (0, ),所以 0 0,所PB DE a2 a2 PB DE a22 a22以 ,即 PBDE.PB DE 又已知 EFPB,且 EFDEE,所以 PB平面 EFD.1用向量方法证明空间中的平行关系(1)线线平行设直线 l1、l 2

16、 的方向向量分别是 a、b,则要证明 l1l 2,只需证明 a b,即 akb (k R)(2)线面平行设直线 l 的方向向量是 a,平面 的法向量是 u,则要证明 l ,只需证明 au,即au0.根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外) 与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行” ,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明平面外的一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示

17、即可(3)面面平行转化为线线平行、线面平行处理证明这两个平面的法向量是共线向量2正确应用向量方法解决空间中的垂直关系(1)线线垂直设直线 l1、l 2 的方向向量分别是 a、b,则要证明 l1l 2,只要证明 a b,即 ab0.(2)线面垂直设直线 l 的方向向量是 a,平面 的法向量是 u,则要证 l ,只需证明 au.根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直即:设 a、b 在平面 内(或与平面 平行) 且 a 与 b 不共线,直线 l 的方向向量为 c,则lc a 且 cbacbc0.(3)面面垂直根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直证明两个平面的法

18、向量互相垂直一、基础达标1若 a(1,5,1),b( 2,3,5) ,若(kab)( a3b),则实数 k 的值为_答案 13解析 因为 kab( k2,5k 3,5k ),a3b(7,4, 16),由(kab)( a3b)得 ,解得 k .k 27 5k 3 4 5 k 16 132已知点 A(1,2,1)、B(1,3,4)、D (1,1,1),若 2 ,则| |的值是_AP PB DP 答案 773解析 设点 P(x,y,z),则由 2 ,得(x1,y2,z1)2(1x,3y,4z) ,AP PB 即Error!解得Error!| | .DP ( f(1,3) 1)2 (f(8,3) 1)2 (3 1)2 7733已知在四面体 ABCD 中,G 、H 分别是ABC 和ACD 的重心,则 GH 与 BD 的位置关系是_答案 平行解析 设 E、F 各为 BC 和 CD 的中点,则 ( ) ,所以GH GA AH 23EA AF 23EF GHEF,所以 GHBD .4已知空间四点 A(2,3,1) , B(2,5,3),C(10,0,10),D (8,4,a),如果四边形 ABCD 为梯形,则实数 a 的值为_答案 9解析 因为 (4 ,8,2), (8,5,7), (2 ,4,10a), (10,1,a1),四边AB BC DC AD

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