1、11.2 排列与组合1理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题2理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题排列与组合的应用是高考考查的重点内容之一，大都以小题形式出现主要考查有限制条件的排列与组合的应用题，也常与概率结合在一起命题，难度一般不大1排列(1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照_排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 _表示(3)排列数公式：A _.这里 n，m N*
2、，并mn且_(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个_，叫做 n 个元素的一个全排列A n(n1)(n2)321_，n因此，排列数公式写成阶乘的形式为 A Error! ，这mn里规定 0！_.2组合(1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素_，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 _表示(3)组合数公式：C =mn这里 nN*，mN，并且 mn.(4)组合数的两个性质：C _；C _mn mn 1_.【自查自纠】1(1)一定的顺序
3、(2) 所有不同排列 A mn(3) n(n 1)(n2)(nm1) m n(4) 排列 n！ 1n！（n m）！2(1)合成一组 (2) 所有不同组合 C mn(3) n（n 1）（n 2）（n m 1）m！n！m！ （n m）！(4) C C Cn mn mn m 1n下列等式不正确的是( )AC C mn n mnBC mnC(n2)(n1)A A mn m 2nDC C Crn r 1n rn 1解：C .故选 B.mn若从 6 位志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作中的一种，现已确定这 6 人中的甲必须选上且专门从事翻译工作，则不同的选派方案有( )A24
4、种 B60 种 C360 种 D243 种解：由排列的定义可知所求为 A 60 种35故选 B.( )将 2 名教师，4 名学生分成2012全 国 课 标2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( )A12 种 B10 种 C9 种 D8 种解：先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有C C 12 种安排方案故选 A.12 24( )在实验室进2013武 汉 市 部 分 学 校 高 三 联 考行的一项物理实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一或最后一步
5、，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有_种解：先排 A，将 B 和 C“捆绑”在一起作为一个整体因此共有编排方法 A A A 96 种，故填 96.12 2 4( )将序号分别为 1，2，3，4，5 的2013北 京5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_解：5 张参观券分为 4 堆，其中有两张连号的分法有 4 种，然后把 4 堆参观券分给不同的 4 个人有 A种不同的分法，故共有不同的分法种数为 4A 96.4 4故填 96.类型一 排列数与组合数公式(1)解方程 3A 4A ；x8 x 19(2)解方程
6、 C C C C .x 1 3 x 1 xx 1 x 2解：(1)利用 3A 3 ，x88！（8 x）！4A 4 ，x 199！（9 x 1）！得到 .38！（8 x）！ 49！（10 x）！利用(10x) ！(10x )(9x)(8x)！，将上式化简后得到(10x )(9x)43.再化简得到 x219x 780.解方程得 x16，x 213.由于 A 和 A 有意义，x8 x 19所以 x 满足 x8 和 x19.于是将 x213 舍去，原方程的解是 x6.(2)由组合数的性质可得C C C C C Cx 1 xx 1 x 2 2x 1 1x 1 4x 2C C ，2x 2 4x 2又 C
7、C ，且 C C C ，x 1 3 2x 3 2x 3 2x 2 1x 2即 C C C C .C C1x 2 2x 2 2x 2 4x 2 1x 2，4x 25 x2，x 3.经检验知 x3 符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为 x3.【评析】(1)应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义(2)应用组合数性质 C C C 时，应注意其结构特征：右mn 1 m 1n mn边下标相同，上标相差 1；左边( 相对于右边) 下标加1，上标取大使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短(1)解方程：3A 2A 6A ；3x 2x 1 2x
8、(2)计算：C C C C .2 23 24 2100解：(1)由 3A 2A 6A 得3x 2x 1 2x3x(x1)( x2)2( x1)x 6x (x1)，由 x0 整理得 3x217x100.解得 x5 或 (舍去)23即原方程的解为 x5.(2)原式(C C )C C3 23 24 2100(C C )C C C34 24 2100 3100 2100C 166650.3101类型二 排列的基本问题7 位同学站成一排照相(1)甲站在中间，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种
9、？(5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解：(1)甲的位置固定，则只需排其他六个人，则有 A 720 种排法6(2)分两步，先排甲、乙，则有 A 种排法；再排2其他 5 个人，有 A 种排法，由分步乘法计数原理则5有 A A 240 种排法2 5(3)直接法：分两种情况： 甲站在排尾，则有A 种排法；甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，6则有 A A A 种排法综上，则共有 A A A A15 15 5 6 15 153720 种排法5间接法：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情况，但是这就把甲站在排头，乙站在排尾的情况减了两次，故后面要
10、加回来，即A A A A 3720 种排法7 6 6 5(4)采用“捆绑”法，将甲乙看成一个整体进行排列(甲乙之间也有排列)，故有 A A 1440 种排法2 6(5)采用“插空”法，先排其他 5 个人，然后将甲乙插入到由这 5 个人形成的 6 个空中，故有A A 3600 种排法5 26(6)甲站在乙的左边的排法总数等于乙站在甲的左边的排法总数，故有 A 2520 种排法12 7【评析】(1)有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：特殊元素优先考虑； 对于相邻问题采用“捆绑法” ，整体参与排序后，再考虑整体内容排序；对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空
11、档；对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数(2) 解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真”6 个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间间隔两人；(5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端解：(1)解法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个有 A 种站法，然后其余 514人在另外 5 个位置上作全排列有 A 种站法，根据分5步乘法计数原理，共有站法 A A 48
12、0(种) 14 5解法二：若对甲没有限制条件共有 A 种站法，6甲在两端共有 2A 种站法，从总数中减去这两种情况5的排列数即得所求的站法数有 A 2A 480(种) 6 5(2)解法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有 A 种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A5种站法，根据分步乘法计数原理，共有2A A 240(种 )站法5 2解法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有A 种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙站入，4有 A 种方法，最后让甲、乙全排列，有 A 种方法，15 2共有站法 A A A 240(种) 4 15 2(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”
13、第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有 A 种；4第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中，有 A 种，故共有站法为 A A 480( 种)25 4 25(4)解法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有 3A 种，4 2故共有 A 3A 144 种站法4 2解法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有 A 种，然后把甲、24乙及中间 2 人看作一个“大” 元素与余下 2 人作全排列有 A 种方法，最后对甲、乙进行排列，有 A 种方法，3 2故共有 A A A 144(种) 站法24 3 2(5)首
14、先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A 种，2 4根据分步乘法计数原理，共有 A A 48(种) 站法2 4(6)解法一：(间接法 )甲在左端的站法有 A 种，5乙在右端的站法有 A 种，甲在左端且乙在右端的站5法有 A 种，故共有 A 2A A 504(种) 站法4 6 5 4解法二：以甲的位置分为两类：甲站右端有 A种， 甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有5A A A 种，故共有 A A A A 504( 种)站法14 14 4 5 14 14 4类型三 组合的基本问题课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生
15、各指定一名队长现从中选5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有 1 名女生；(2)两队长当选；(3)至少有 1 名队长当选；(4)至多有 2 名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解：(1)1 名女生，4 名男生，故共有C C 350(种)15 48(2)将两队长作为一类，其他 11 个作为一类，故共有 C C 165(种)2 311(3)至少有 1 名队长当选含有两类：只有 1 名队长和 2 名队长故共有：C C C C 825( 种)12 411 2 311或采用间接法：C C 825( 种)513 511(4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生、只有1 名女
16、生、没有女生，故选法为：C C C C C 966( 种) 25 38 15 48 58(5)分两类：第一类女队长当选：有 C 种选法；412第二类女队长不当选：有C C C C C C C 种选法14 37 24 27 34 17 4故选法共有：C C C C C C C C 790(种) 412 14 37 24 27 34 17 4【评析】 分类时不重不漏； 注意间接法的使用，在涉及“至多 ”“至少” 等问题时，多考虑用间接法(排除法 )； 应防止出现如下常见错误：如对(3)，先选 1 名队长，再从剩下的人中选 4 人得 C C 825，12 412请同学们自己找错因从 7 名男同学和
17、5 名女同学中选出 5 人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A，B 必须当选；(2)A，B 都不当选；(3)A，B 不全当选；(4)至少有 2 名女同学当选；(5)选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任解：(1)只要从其余的 10 人中再选 3 人即可，有C 120 种310(2)5 个人全部从另外 10 人中选，总的选法有C 252 种510(3)直接法，分两类：A，B 一人当选，有C C 420 种12 410A，B 都不当选，有 C 252 种510所以总的选法有 420252672
18、种间接法：从 12 人中选 5 人的选法总数中减去从不含 A，B 的 10 人中选 3 人( 即 A，B 都当选)的选法总数，得到总的选法有 C C 672 种512 310(4)直接法，分四步：选 2 名女生，有C C 1035350 种；25 37选 3 名女生，有 C C 210 种；35 27选 4 名女生，有 C C 35 种；45 17选 5 名女生，有 C 1 种5所以总的选法有 350210351596 种间接法：从 12 人中选 5 人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即满足条件的选法有 C (C C C )596512 57 15 47种(5)分三步：选
19、1 男 1 女分别担任体育委员、文娱委员的方法有 C C 35 种；17 15再选出 2 男 1 女，补足 5 人的方法有 C C 6026 14种；最后为第二步选出的 3 人分派工作，有 A 6 种3方法所以总的选法有 3560612600 种类型四 分堆与分配问题现有 6 本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆，每堆 2 本，有多少种分堆方法？(3)分成三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中，一人分 4
20、 本，另两人每人分 1 本，有多少种不同的分配方法？解：(1)在 6 本书中，先取 2 本给甲，再从剩下的4 本书中取 2 本给乙，最后两本给丙，共有C C C 90( 种 )分配方法；26 24 2(2)6 本书平均分成 3 堆，用上述分法重了 A 倍，3故共有 15(种)分堆方法；(3)从 6 本书中，先取 1 本作为一堆，再在剩下的5 本中取 2 本作为一堆，最后 3 本作为一堆，共有C C C 60( 种 )分堆方法；16 25 3(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有 C C C A 360(种)分配方法16 25 3 3(5)先分堆、再分配，共有 A 90(种)分配方
21、3法【评析】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：平 均 分 堆 到 指 定 位 置堆 数 的 阶 乘处理分配问题要注意先分堆再分配被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”) 分堆时要注意是否均匀如 6 分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3) 为非均匀分组，分成(4，1，1) 为部分均匀分组(1)将 5 名实习教师分配到高一年级的 3个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有_种解：将 5 名教师分成三
22、组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有 15 种方法，再将 3 组分到 3 个班，共有 15A 90 种不同的分配方案 故填 90.3(2)甲乙两位兽医对动物园的三头老虎，两头狮子进行体检若要求每位兽医至少检查两种动物各一头，则不同的体检任务分配方案有_种解：若将三头老虎中的两头看作“一头”，有 C种情形( 即将老虎分成两组)接下来将“两头老虎” 和13两头狮子的体检任务分别分配给两位兽医，有 A A2种分配方案故总的分配方案有 C A A 122 13 2 2种故填 12.类型五 数字排列问题用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组
23、成多少个不同的四位偶数？解：(1)直接法：A A 300；15 35间接法：A A 300.46 35(2)由题意知四位数的个位上必须是偶数，同时暗含了千位不能是 0，因此该四位数的个位和千位是“特殊位置”，应优先处理；另一方面，0 既是偶数，又不能排在千位，属“ 特殊元素” ，应重点对待解法一：(直接法)0 在个位的四位偶数有 A 个；350 不在个位时，先从 2，4 中选一个放在个位，再从余下的四个数(不包括 0)中选一个放在千位，应有A A A 个12 14 24综上所述，共有 A A A A 156(个) 35 12 14 24解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是
24、偶数的排法，有 A A 个，其中千位13 35是 0 的有 A A 个，故适合题意的数有12 24A A A A 156(个) 13 35 12 24【评析】本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件 0 不能在首位用 0，1，2，3，4，5 六个数字排成没有重复数字的 6 位数，满足以下条件的分别有多少个？(1)0 不在个位；(2)1 与 2 相邻；(3)1 与 2 不相邻；(4)0 与 1 之间恰有两个数；(5)1 不在个位解：(1)0 不在个位，也不能在首位，可先确定个位和首位，再确定其余四个数位，共有 A A 48025 4个
25、(2)可把 1 与 2 看作一个整体并全排列，0 不在首位，需先排 0，再排其余数字，共有 A A A 1922 14 4个(3)这六个数字可排成 A A 个无重复数字的 6 位15 5数，减去 1 与 2 相邻的情况，即可得 1 与 2 不相邻的无重复数字的 6 位数有 A A A A A 408 个15 5 2 14 4(4)先从其余 4 个数字中任选 2 个排在 0 与 1 之间有 A 种排法，并把这四个数作为一个整体若 0 在241 之前，则先排首位，再将余下的一个数与这个整体全排列；若 1 在 0 之前，可直接将这个整体与其余 2个数字进行全排列，共有 A A A A A 120 个
26、24 12 2 24 3(5)0 不在首位，1 不在个位，先将 6 个数字全排列为 A ，再减去 0 在首位和 1 在个位的情况有 2A6种但是 0 在首位，1 在个位的情况减了两次，故后5面要加回来，故共有 A 2A A 504 个( 也可6 5 4用 A A A A 60096504)15 5 14 41排列数与组合数的计算问题含有排列数或组合数的方程都是在限定的正整数范围内求解，利用这一点可以根据题目的要求首先对方程进行化简证明题一般用 A 或mnn！（n m）！C 及组合数的性质证明过程中要注mnn！（n m）！ m！意阶乘的运算及技巧2排列与组合的区别与联系排列、组合之间的主要区别在
27、于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列的基本思路是“先选，后排” 3解排列、组合题的基本方法(1)优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置(2)排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉(3)分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理得出结论，注意分类要不重、不漏(4)分步处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步乘法计数原理解决在解题过程中，常常
28、既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步(5)插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间(6)捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”将“ 捆绑”元素在这些位置上作全排列(7)隔板法：将 n 个相同小球放入 m(mn)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将 n 个相同小球串成一串，从间隙里选 m1 个结点，剪截成 m 段这是针对相同元素的组合问题的一种方法(8)除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数(9)穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来这种方法常用于方法数比较少的问题4解组合问题时应注意(1)在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法) (3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的对于这类问题必须先分组后排列，若平均分 m 组，则分法 .取 法m！
