【创新设计】高中数学新人教a版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.1.1合情推理 word版含解析.doc

1、2.1.1 合情推理明目标、知重点1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用 1归纳推理和类比推理定义 特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理(2)合

2、情推理的过程从 具 体 问 题 出 发 观 察 、 分 析 、 比 较 、 联 想 归 纳 、 类 比 提 出 猜 想情境导学佛教百喻经中有这样一则故事从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买 ”仆人拿好钱就去了到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看 ”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠 ”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理探究点一 归纳推理思

3、考 1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理思考 2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：633835105512571477165111 000299711 002139863猜想：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电

4、问题： 以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？其结论一定正确吗？答 共同特点：部分推出整体，个别推出一般(这种推理称为归纳推理)其结论不一定正确反思与感悟 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)例 1 已知数列 an的第 1 项 a11，且 an1 (n1,2,3，)，试归纳出这个数列的an1 an通项公式解 当 n1 时， a11；当 n2 时， a2 ；11 1 12当 n3 时， a3 ；121 12 13当 n4 时， a4 .131 13 14通过观察可得：数列的前四项

5、都等于相应序号的倒数，由此归纳出 an .1n反思与感悟 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前 n 项和公式跟踪训练 1 已知数列 an满足 a11， an1 2 an1( n1,2,3，)(1)求 a2， a3， a4， a5；(2)归纳猜想通项公式 an.解 (1)当 n1 时，知 a11，由 an1 2 an1 得 a23，a37， a415， a531.(2)由 a112 11， a232 21，a372 31， a4

6、152 41， a5312 51，可归纳猜想出 an2 n1( nN *)例 2 在法国巴黎举行的第 52 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有一层，就一个球；第 2,3,4，堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f(3)_； f(n)_(答案用含 n 的代数式表示)答案 10 nn 1n 26解析 观察图形可知： f(1)1， f(2)4， f(3)10， f(4)20，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第

7、一层的个数，即 f(2) f(1)3； f(3) f(2)6； f(4) f(3)10； f(n) f(n1) .nn 12将以上( n1)个式子相加可得f(n) f(1)3610nn 12 (122 2 n2)(123 n)12 n(n1)(2 n1) 1216 nn 12 .nn 1n 26反思与感悟 解本例的关键在于寻找递推关系式： f(n) f(n1) ，然后用“叠加nn 12法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前 n 项和的变化规律跟踪训练 2 在平面内观察：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，凸六边形有 9 条对角线，由此猜想凸 n

8、(n4 且 nN *)边形有几条对角线？解 凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条，凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条，于是猜想凸 n 边形比凸( n1)边形多( n2)条对角线因此凸 n 边形的对角线条数为2345( n2) n(n3)( n4 且 nN *)12探究点二 类比推理阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等科学家猜想：火星上也可能有生命存在2根

9、据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质： 猜想不等式的性质：(1)a ba c b c; (1)aba cb c；(2)a bac bc; (2)abacbc；(3)a ba2 b2等等. (3) aba2b2等等思考 1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答 类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理思考 2 猜想正确吗？答 不一定正确思考 3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征圆的概念和性质 球的类似概念和性质圆的周长 球的表面积圆的面积 球的体积圆心与

10、弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大以点 P(x0， y0)为圆心， r 为半径的圆的方程为( x x0)2( y y0)2 r2以点 P(x0， y0， z0)为球心， r 为半径的球的方程为( x x0)2( y y0)2( z z0)2 r2小结 在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形的“面” ；平面图形中的“面”对应空间图形的“体” ；平面图形中的

11、“边长”对应空间图形的“面积” ；平面图形中的“面积”对应空间图形的“体积” ；例 3 在平面几何里，有勾股定理：“设 ABC 的两边 AB、 AC 互相垂直，则AB2 AC2 BC2”拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_答案 设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、 ACD、 ADB 两两互相垂直，则S S S S2 ABC 2 ACD 2 ADB 2 BCD解析 类比条件：两边 AB、 AC 互相垂直 侧面 ABC、 ACD、 ADB 互相垂直结论： AB2 AC2 BC2 S S S S .2 ABC 2 ACD 2 AD

12、B 2 BCD反思与感悟 类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)跟踪训练 3 (1)如图所示，在 ABC 中，射影定理可表示为 a bcos C ccos B，其中a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解 如图所示，在四面体 P ABC 中，设 S1， S2， S3， S 分别表示PAB， PBC， PCA， ABC 的面积， ， ， 依次表示面 PAB，面PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间

13、，其表现形式应为： S S1cos S2cos S3cos .(2)已知在 Rt ABC 中， AB AC， AD BC 于 D，有 成立那么在四面体 A BCD1AD2 1AB2 1AC2中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由解 类比 AB AC， AD BC，可以猜想四面体 A BCD 中， AB， AC， AD 两两垂直， AE平面BCD.则 .猜想正确1AE2 1AB2 1AC2 1AD2如图所示，连接 BE，并延长交 CD 于 F，连接 AF. AB AC， AB AD， AB平面 ACD.而 AF平面 ACD， AB AF.在 Rt ABF 中， AE

14、BF， .1AE2 1AB2 1AF2在 Rt ACD 中， AF CD， .1AF2 1AC2 1AD2 ，故猜想正确1AE2 1AB2 1AC2 1AD21下列说法正确的是( )A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论不能判断正误答案 B解析 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论2下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是什么颜色( )A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大答案 A解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657 余 1.第 36 颗珠子的颜色为白色3将全体正整数排成一个

15、三角形数阵：按照以上排列的规律，第 n 行( n3)从左向右的第 3 个数为_答案 n2 n 62解析 前 n1 行共有正整数 12( n1)个，即 个，n2 n2因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3 个，即为 .n2 n2 n2 n 624古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，第 n个三角形数为 n2 n，记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k3)，以下列出了部分 k 边nn 12 12 12形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3) n2 n，12 12正方形数 N(n,4) n2，五边形数 N(n,5) n2 n，32 1

16、2六边形数 N(n,6)2 n2 n可以推测 N(n， k)的表达式，由此计算 N(10,24)_.答案 1 000解析 由 N(n,4) n2， N(n,6)2 n2 n，可以推测：当 k 为偶数时， N(n， k) n2 n，k 22 4 k2 N(10,24) 100 1024 22 4 2421 1001001 000.呈重点、现规律1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为 从 具 体 问 题 出 发 观 察 、 分 析 、 比 较 、 联 想 归

17、纳 、 类 比 提 出 猜 想一、基础过关1数列 5,9,17,33， x，中的 x 等于( )A47 B65 C63 D128答案 B解析 52 21,92 31,172 41,332 51，归纳可得： x2 6165.2根据给出的数塔猜测 123 45697 等于( )192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1 111 111.3观察( x2)2 x，( x4)4 x3，(cos x)sin

18、x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g( x)等于( )A f(x) B f(x)C g(x) D g(x)答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当 f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故 g( x) g(x)4对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A一条中线上的点，但不是中心B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D中心答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心5设 ABC 的三边长分别为

19、 a、 b、 c， ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则r ，类比这个结论可知：四面体 S ABC 的四个面的面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4，内2Sa b c切球半径为 r，四面体 S ABC 的体积为 V，则 r( )A. B.VS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D.3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 V 四面体 A BCD (S1 S2 S3 S4)R，13 R

20、 .3VS1 S2 S3 S46观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_答案 n( n1)(3 n2)(2 n1) 27在 ABC 中，若 C90，则 cos2Acos 2B1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥 P ABC 中，三个侧面 PAB， PBC， PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为 ， ， ，则 cos2 cos 2 cos 2 1” 证明：设 P 在平面 ABC 的射影为 O，延长 CO 交 AB 于 M，记 PO h，由 PC PA， PC PB，得 PC面 PAB，

21、从而 PC PM，又 PMC ，cos sin PCO ，cos ，cos .hPC hPA hPB VP ABC PAPBPC ( PAPBcos 16 1312PBPCcos PCPA cos )h，12 12( )h1，即 cos2 cos 2 cos 2 1.cos PC cos PA cos PB二、能力提升8把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条

22、直线平行答案 B解析 推广到空间以后，对于 A、C、D 均有可能异面，故选 B.9在等差数列 an中，若 a100，则有等式a1 a2 an a1 a2 a19 n(n19， nN *)成立类比上述性质，相应地在等比数列bn中，若 b91，则成立的等式是( )A b1b2bn b1b2b17 n(n17， nN *)B b1b2bn b1b2b18 n(n18， nN *)C b1 b2 bn b1 b2 b17 n(n17， nN *)D b1 b2 bn b1 b2 b18 n(n18， nN *)答案 A解析 在等差数列 an中，由 a100，得a1 a19 a2 a18 an a20 n an1 a19 n2 a100， a1 a2 an a190，即 a1 a2 an a19 a18 an1 ，