1、第 3 章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其线性运算课时目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义1空间向量中的基本概念(1)空间向量：在空间，我们把既有_又有_ 的量，叫做空间向量(2)相等向量：_相同且_相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_ 或_，那么这些向量叫做共线向量或平行向量2空间向量的线性运算及运算律类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算： _，OB OA AB _，CA
2、OA OC a (R) OP 空间向量加法的运算律(1)交换律：_.(2)结合律：(a b)c_.(3)(a b)ab ( R) 3共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b (a0) ，b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使_ 规定：零向量与任意向量共线一、填空题1判断下列各命题的真假：向量 的长度与向量 的长度相等；AB BA 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为_2.已知向量 ， ， 满足| | | |，则下列叙述正确的是_(写出所
3、AB AC BC AB AC BC 有正确的序号) ；AB AC BC ；AB AC BC 与 同向；AC BC 与 同向AC CB 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中，向量表达式 化简后的结果是_DD1 AB BC 4.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D 中，用向量 ， ， 来表示向量 AC1 的表达式为AB AD AA1 _5.四面体 ABCD 中，设 M 是 CD 的中点，则 ( )化简的结果是_AB 12BD BC 6平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G ，H ，P ，Q 分别是A1A，AB，BC ，CC 1，C 1D1，D 1A1 的中点，下列结论中正确的
4、有_(写出所有正确的序号) 0； 0；EFGH PQ EFGH PQ 0； 0.GH PQ GH PQ 7.如图所示，a,b 是两个空间向量，则 与 是_ 向量， 与 是AC A C AB B A _向量8.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中，化简向量表达式 的结果为AB CD BC DA _二、解答题9如图所示，已知空间四边形 ABCD，连结 AC，BD ，E，F，G 分别是BC，CD，DB 的中点，请化简(1) ，(2) ，并标出化简结果的AB BC CD AB GD EC 向量10设 A 是BCD 所在平面外的一点，G 是BCD 的重心求证： ( )AG 13AB AC AD 能力提
5、升11.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 a， b，则 _.AC BD AF 12证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分1在掌握向量加减法的同时，应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等2共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量 a、b，若存在惟一实数 ，使ba (a0)a b，可作为以后证明线线平行的依据，但必须保证两线不重合再者向量共线不具有传递性，如 a b，b c，不一定有 a c，因为当 b0 时，虽然a b，b c，但 a 不一定与 c 平行3运用空间
6、向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止第 3 章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算31.1 空间向量及其线性运算知识梳理1(1)大小 方向 (2) 方向 长度 (3) 互相平行 重合2ab ab (1)abba (2)a( bc)3ba作业设计13解析 真命题；假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段2解析 由| | | | | |，知 C 点在线段
7、AB 上，否则与三角形两边之和AB AC BC AC CB 大于第三边矛盾，所以 与 同向AC CB 3.BD1 解析 如图所示， ， ，DD1 AA1 DD1 AB AA1 AB BA1 ，BA1 BC BD1 .DD1 AB BC BD1 4. AC1 AB AD AA1 解析 因为 ， ，AB AD AC AC AA1 AC1 所以 .AC1 AB AD AA1 5.AM 解析 如图所示，因为 ( ) ，12BD BC BM 所以 ( )AB 12BD BC .AB BM AM 6解析 观察平行六面体 ABCDA1B1C1D1 可知，向量 ， ， 平移后可以首尾相连，EF GH PQ 于
8、是 0.EF GH PQ 7相等 相反80解析 在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量9解 (1) .AB BC CD AC CD AD (2)E， F，G 分别为 BC，CD，DB 的中点 ， .BE EC EF GD .AB GD EC AB BE EF AF 故所求向量 ， ，如图所示AD AF 10证明 连结 BG，延长后交 CD 于 E，由 G 为BCD 的重心，知 .BG 23BE E 为 CD 的中点， .BE 12BC 12BD ( )AG AB BG AB 23BE AB 13BC BD ( )( )AB 13AC AB AD AB ( )13AB AC AD 11. a b23 13解析 AF AC CF a23CD a (ba)13 a b.23 1312证明 如图所示，平行六面体 ABCDABC D，设点 O 是 AC的中点，则 AO 12AC ( )12AB AD AA 设 P、M、N 分别是 BD、 CA、DB的中点则 AP AB BP AB 12BD ( )AB 12BA BC BB ( )AB 12 AB AD AA ( )12AB AD AA 同理可证： ( )AM 12AB AD AA ( )AN 12AB AD AA 由此可知 O，P，M，N 四点重合故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分
