1、第 1 页 共 21 页2019 届重庆巴蜀中学上学期高三期中复习数学（文）试题一、单选题1已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，则 的元素个数为（ ）A 4 B 3 C 2 D 1【答案】C【解析】【分析】解方程组 即得 的元素个数.【详解】联立两集合中的函数关系式得：，解得 ，故 ，元素个数为 2，故选 C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2设 ， ，则 是 成立的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质求出关于 p 的 x 的范围，结合集合的包含关系，得到答
2、案即可【详解】由 得， ，解得 或 ，所以 是 成立的必要不充分条件.故选：B【点睛】充分、必要条件的三种判断方法第 2 页 共 21 页1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件3若实数 x， y 满足 ，则 的最大值为（ ）A 7 B 8 C 9 D 14【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，平移直线 ，利用目标函数的几何意义，
3、可求最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由 得 ，平移直线 ，由图象可知，当直线 经过点 时，直线 的截距最大，此时 最大，由 ，解得 ，即 ，代入目标函数 得 ，即目标函数 的最大值为 ，故选 C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，第 3 页 共 21 页最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4为了得到函数 的图像，可以将 的图像向A
4、 右平移 个单位 B 左平移 个单位C 右平移 个单位 D 左平移 个单位【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式将函数化为同名，再根据函数左加右减的原则进行平移即可.【详解】= 将函数图像向右平移 个单位得到，.故答案为：A.【点睛】点睛：本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩.5等差数列 的首项为 1，公差不为 0，若 成等比数列，则 前 6 项的na236,ana和为（ ）A B C D 8243【答案】A【解析】等差数列a n的首项为 1,公差不
5、为 0.a2,a3,a6 成等比数列，a23=a2a6，(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且 a1=1，d0，解得 d=2，a n前 6 项的和为 .61524S本题选择 A 选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中第 4 页 共 21 页三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法6已知点 ，过点 恰存在两条直线与抛物线 有且只有一个公共点，则抛物线的标准方程为（ ）A B 或C D
6、 或【答案】D【解析】分析：由过点 恰存在两条直线与抛物线 有且只有一个公共点，可判定 一定在抛物线 上，讨论抛物线焦点位置，设出方程，将点 代入即可得结果.详解：过 ，过点 恰存在两条直线与抛物线 有且只有一个公共点，一定在抛物线 上：一条切线，一条对抛物线的对称轴平行的直线，若抛物线焦点在 轴上，设抛物线方程为 ，将 代入方程可得 ，物线 的标准方程为 ；若抛物线焦点在 轴上，设抛物线方程为 ，代入方程可得得 ，将物线 的标准方程为 ，故选 D.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线、点与抛物线的位置关系，属于中档题.求抛物线的标准方程，首项要判断抛物线的焦点位置以及开口方向
7、，其次根据题意列方程求出参数，从而可得结果.,7如图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）第 5 页 共 21 页A B C D 【答案】D【解析】【分析】运行程序框图即得解.【详解】根据程序框图，要得到 ，则需要循环 50 次，每次循环 加 2， 的初始值为 2， 的最大值为 100，故判断框内填入的条件应为 故选 D【点睛】(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 解答本题要注意等号问题，不要错选 B 了.8已知 ，则 的大小关系为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】构造函数 ，求导 当 ，当 ，所以函数在上增
8、函数在 上减函数，所以 ， 即可得出结论.【详解】第 6 页 共 21 页因为 ， 当 ，当 ，所以函数在 上增函数在 上减函数，所以 ， ，故选 C.【点睛】本题主要考查了观察推理能力，函数的极值，函数的导数在单调性极值方面的应用，属于中档题.9若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于A B C D 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径 圆心设为 M 半径为 r，球心到底面距离为 设球心为 O，根据勾股定理列出方程即可.【详解】由三视图知几何体是底面为边长为 3，4，5 的三角形，高
9、为 5 的三棱柱被平面截得的，如图所示，第 7 页 共 21 页截去的是一个三棱锥，底面是边长为 3，4，5 的直角三角形，高为 3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径 圆心设为 M 半径为 r，球心到底面距离为 设球心为 O，由勾股定理得到 故选 A.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。10庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的
10、几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 ， ， ， 为顶点的多边形为正五边形，且 .下列关系中正确的是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题【详解】在如图所示的正五角星中，以 A，B，C，D，E 为顶点的多边形为正五边形，且第 8 页 共 21 页在 A 中， ，故 A 正确； 在 B 中， ，故 B 错误；在 C 中， ，故 C 错误；在 D 中， ，若 ，则 ，不合题意，故 D 错误故答案为：A【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，
11、考查化归与转化思想11已知 （其中 ，的最小值为，将 的图像向左平移 个单位得 ，则 的单调递减区间是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件求出 ，再求出 g(x)=cos2x，最后求函数 g(x)的单调递减区间.【详解】第 9 页 共 21 页 （其中 ，由 可得， 是函数的极值点， 的最小值为 ，又 ，f(x)的图象的对称轴为 ，令 k=0 可得将 f(x)的图象向左平移 个单位得 的图象，令则 g(x)=cos2x 的单调递减区间是 ，故选 A【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12已知
12、函数 与 的图象关于 轴对称，当函数 和 在区间 同时递增或同时递减时，把区间 叫做函数 的“不动区间”，若区间 为函数的“ 不动区间” ，则实数 的取值范围是A B C D 【答案】C【解析】试题分析：易知 与 在 上单调性相同，当两个函数单调递增时， 与 的图象如图 1 所示，易知 ，解得 ；当两个函数单调递减时， 的图象如图 2 所示，此时 关于 轴对称的函数不可能在 上为减函数综上所述， ，故选 C第 10 页 共 21 页【考点】1、新定义；2、函数的图象二、填空题13已知 (a,b 是实数） ，其中 i 是虚数单位，则 _【答案】-2【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分
13、母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，再利用复数相等的性质求解即可.【详解】，即 ，故答案为-2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 _【答案】-5【解析】【分析】先对函数求导，再求出切点坐标和切线的斜率，写出切线的方程，最后求出 a 的值.第 11 页 共 21 页【详解】函数 的导数为而 ，切线方程为 y-a-2=(3+a)(x-1
14、)，切线方程经过(-1,1)，1-a-2=(3+a)(-1-1)，解得 a=-5故答案为 :-5【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是 .15 “斐波那契 ”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为： ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列 为“斐波那契 ”数列， 为数列 的前项和，若 ，则 _ （用 表示）【答案】【解析】【分析】利用迭代法可得： ，可得 ，代值计算即可得到结
15、果【详解】数列为： ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和则故答案为【点睛】本题主要考查了数列的求和，结合“斐波那契”数列，运用递推方法探究出数列的规律，第 12 页 共 21 页继而得出结果，有一定难度。16已知双曲线 的上支交抛物线 于 两点，双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点 为抛物线的焦点，且， 则 _.【答案】1【解析】【分析】由抛物线定义可得 ，求得 ，联立 利用韦达定理可得 ，从而可得结果.【详解】设 ，由 ，得 ，由抛物线定义可得 ，由 ，得 ， ，得 ，即 ，结合 解得 ，故答案为 1.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和双曲线的几何性质，属于难题.与
16、焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线第 13 页 共 21 页上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.三、解答题17 中，内角 的对边分别为 的面积为 ，若 （1 ）求角 ；（2 ）若 ，求角 【答案】 （1） ；（2） 或 【解析】【分析】(1)利用余弦定理和三角形的面积公式求得 ，即得 A 的值.(2)利用正弦定理求 B,再求 C.【详解】（1） 中， ， ， ， ， ；（2） ， ， ，由 得 ， ，且 ， 或 ， 或 【点睛】本题主要
17、考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.第 14 页 共 21 页18某县共有 90 间农村淘宝服务站，随机抽取 5 间，统计元旦期间的网购金额( 单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数（1 ）根据茎叶图计算样本均值；（2 ）若网购金额(单位：万元)不小于 18 的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站根据茎叶图推断 90 间服务站中有几间优秀服务站？（3 ）从随机抽取的 5 间服务站中再任取 2 间作网购商品的调查，求恰有 1 间是优秀服务站的概率【答案】 （1）12；（2）36；（3） 【解析】分析：（1）直
18、接利用平均值公式求解即可；（2）根据样本中优秀服务站的频率估计总体中优秀服务站的频率，从而可得结果； （3）利用列举法可得随机抽取的 5 间服务站中任取2 间的可能性共有 种，其中其中恰有 1 间是优秀服务站的情况有 种，由古典概型概率公式可得结果.详解：（1）样本均值（2）样本中优秀服务站为 2 间，频率为 ，由此估计 90 间服务站中有 间优秀服务站；（3）由于样本中优秀服务站为 2 间，记为 ，非优秀服务站为 3 间，记为 ，从随机抽取的 5 间服务站中任取 2 间的可能性有共 10 种情况，其中恰有 1 间是优秀服务站的情况为6 种情况，故所求概率为 .点睛：本题主要考查样本的平均值以
19、及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古第 15 页 共 21 页典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19在三棱柱 中，已知侧棱与底面垂直， ，且 ， ， 为 的中点， 为 上一点， （1 ）若三棱锥 的体积为 ，求 的长；（2 ）证明： 平面 【答案】 （1） （2）见解析【解析】【分析】（1）因 ，而 可求，故能求得 .（2）连
20、接 交 于 ，连接 ，可证明 即可证明 平面 .【详解】（1）设 ， ，三棱锥 的高为 ， ，第 16 页 共 21 页解得 ，即 .（2）如图，连接 交 于 ，连接 . 为 的中点， ， 又 ， ，而 平面 ， 平面 ， 平面 .【点睛】点到平面的距离的计算，可利用题设中的线面垂直，也可以利用已知的面面垂直构建线面垂直.线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.20已知椭圆 的标准方程为 ，该椭圆经过点 ，且离心率为 （1 ）求椭圆的标准方程；（2
21、 ）过椭圆 长轴上一点 作两条互相垂直的弦 若弦的中点分别为 ，证明：直线 恒过定点【答案】 （1） ;（2） 【解析】【分析】第 17 页 共 21 页(1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线 MN 的方程， ，即得直线 MN 经过的定点，再讨论当 时，直线也经过定点 ，综上所述，直线 经过定点 当 时，过定点 【详解】（1）解：点 在椭圆上， ，又 离心率为 ， ， ， ，解得 ， ，椭圆方程为 （2）证明：设直线 的方程为 ， ，则直线 的方程为 ，联立 ，得 ，设 ， ，则 ， ， ，由中点坐标公式得 ，将 的坐标中的 用 代换，得 的中点 ，直线 的方程为 ，
22、 ，令 得 ，直线 经过定点 ，当 时，直线 也经过定点 ，综上所述，直线 经过定点 第 18 页 共 21 页当 时，过定点 【点睛】（1）本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出直线 的方程为 ， ，其二是讨论当 时，直线 也经过定点 .21已知 ， 且函数 与 在 处的切线平行（1 ）求函数 在 处的切线方程；（2 ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（）先求得 ， ，由 可得结果；（） 时，由 恒成立等价于 恒成立，只需，利用导数研究函数的单
23、调性，求出 的最小值即可得结论.试题解析：（） ， .因为函数 与 在 处的切线平行所以 解得 ,所以 ， ,所以函数 在 处的切线方程为 .（）解 当 时，由 恒成立得时， 即 恒成立.设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增所以 .第 19 页 共 21 页所以 的取值范围为 .【方法点睛】本题主要考查导数几何意义、利用导数研究函数单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解
24、决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.22 （题文）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数)在以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 （1 ）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2 ）设点 若直线 与曲线 相交于不同的两点 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（1）将直线 的参数方程消去参数 ，得到普通方程，根据 ，将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）将直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，求出 的值，再根据直线参数方程的几何
25、意义，求出 的值。详解： () 由直线 的参数方程消去参数 ，得化简，得直线 的普通方程为又将曲线 的极坐标方程化为 ， ，曲线 的直角坐标方程为 .（）将直线 的参数方程代入 中，得第 20 页 共 21 页化简，得 .此时 .此方程的两根为直线 与曲线 的交点 对应的参数 ， .由根与系数的关系，得 ，由直线参数的几何意义，知点睛：本题主要考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程 ，直线参数方程的几何意义等，属于中档题 。23选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， 为不等式 的解集；（）求 ；（）证明：当 时， .【答案】 （1）（2）证明详见解析【解析】【分析】（）由绝对值进行分段，求出各段内解集，最后取并集.（）将不等式两侧分别平方后合并，并分解因式，结合 m、n 的取值范围，确定式子成立即可.【详解】（）解： ，由 的单调性及 得， 或 ，解得 或 .所以不等式 的解集为 .（）证明：由（）可知 ， ，所以 ， ， ，第 21 页 共 21 页所以 ，从而有 .【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解与证明，熟练掌握对绝对值型不等式分段讨论，对两侧均为单一不等式的问题，为了避免分情况讨论，通常采取两边同时平方的方法去进行证明.
