1、2.4.2 抛物线的几何性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为 y22px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标 x 的取值范围是_，抛物线在 y 轴的_侧，当 x 的值增大时，|y|也_，抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫做 _(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_抛物线的顶点为_(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用 e 表示，其值为_(5)抛物线的
2、焦点到其准线的距离为_，这就是 p 的几何意义，顶点到准线的距离为 ，焦点到顶点的距离为_p22抛物线的焦点弦设抛物线 y22px(p0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x0，y 0)，则有以下结论(1)以 AB 为直径的圆与准线 _(2)AB _(焦点弦长与中点坐标的关系 )(3)AB x1x 2_.(4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2_，y 1y2_.一、填空题1边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为原点，ABx 轴，以 O 为顶点且过 A，B 的抛物线标准方程是_2抛物线 y22px (p0)上横坐标为 4
3、 的点到焦点的距离为 5，则此抛物线焦点和准线之间的距离是_3若过抛物线 x22py (p0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为 6，则其焦点坐标是_4若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为_x26 y225已知 F 是抛物线 C：y 24x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点为 M(2,2)，则 ABF 的面积为_6抛物线 y22px 与直线 axy40 的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为_7.设 O 为坐标原点，F 为抛物线 的焦点，A 为抛物线上一点，2x若 4，则点 A 的坐标为 _OA AF 8已知点 Q(4,0)
4、，P 为 y2x1 上任意一点，则 PQ 的最小值为_二、解答题9设抛物线 ymx 2 (m0)的准线与直线 y1 的距离为 3，求抛物线的标准方程10.已知抛物线 y22px (p0)的一条过焦点 F 的弦 AB 被焦点 F 分成长度为 m，n 的两部分求证： 为定值1m 1n能力提升11设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 ，那么 PF_.312已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点(1)若 AF4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值1研究抛物线的性质要结合定
5、义，理解参数 p 的几何意义，注意抛物线的开口方向2解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦，焦半径公式的应用解题时注意整体代入的思想，可以使运算、化简简便3与抛物线有关的最值问题具备定义背景的最值问题，可以转化为几何问题；一般方法是建立目标函数，求函数的最值24.2 抛物线的几何性质知识梳理1(1)x0 右 增大 (2) x 轴 抛物线的轴(3)顶点 坐标原点 (4) 离心率 1 (5) p p22(1)相切 (2)2(x 0 ) (3)p (4) p 2p2 p24作业设计1y 2 x36解析 易求得 A，
6、B 的坐标为 或 ，又由题意可设抛物线标准方程为(32，12) ( 32，12)y22px (p0)，将 A，B 的坐标代入即可求得22解析 由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故4 5，p2，此抛物线焦点和准线之间的距离为 p2.p23.(0， 32)解析 易知弦的两端点的坐标分别为 ， ，则有 2p6，p3.故焦点坐( p， p2) (p， p2)标为 .(0， 32)44解析 椭圆 1 的右焦点为(2,0)，即 2，得 p4.x26 y22 p252解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y 4x 1，y 4x 2.21 2(y 1 y2)(y1y
7、 2)4(x 1x 2) x 1x 2， 1.y1 y2x1 x2 4y1 y2直线 AB 的方程为 y2x2，即 yx.将其代入 y24x ，得 A(0,0)， B(4,4)AB4 .又 F(1,0)到 yx 的距离为 ，222S ABF 4 2.12 22 26.255解析 由已知得抛物线方程为 y24x，直线方程为 2xy 40，抛物线 y24x 的焦点坐标是 F(1,0)，到直线 2xy40 的距离 d .|2 0 4|22 1 2557(1,2)或(1 ， 2)解析 设 A（x 0,y0）,F(1,0), (x 0，y 0)，OA (1x 0，y 0)，AF x 0(1x 0)y 4
8、.OA AF 20y 4x 0，x 0x 4x 040，20 20即 x 3x 040，x 01 或 x04(舍) 20x 01，y 02.8.192解析 设点 P(x，y) y 2x1，x 1.PQ x 42 y2 x 42 x 1 .x2 7x 17 (x 72)2 194当 x 时，PQ min .72 1929解 由 ymx 2 (m0)可化为 x2 y，1m其准线方程为 y .14m由题意知 2 或 4，14m 14m解得 m 或 m .18 116所以所求抛物线的标准方程为 x28y 或 x216y.10证明 若 ABx 轴，直线 AB 的方程为 x ，p2则 A ，B ，mnp，
9、(p2，p) (p2， p) ，1m 1n 2p若 AB 不与 x 轴垂直，设直线 AB 的方程为yk ，设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，(x p2)则 mAFx 1 ，nBFx 2 .p2 p2将 AB 方程代入抛物线方程，得k2x2(k 2p2p )x 0.k2p24x 1x 2 ，x 1x2 ，k2p 2pk2 p24 1m 1n x1 x2 px1x2 p2x1 x2 p24 .x1 x2 pp2x1 x2 p22 2p故 为定值1m 1n11. 8解析 如图所示，直线 AF 的方程为 y (x2) ，与准线方程 x2 联立得 A3(2,4 )3设 P(x0,4 )，代入
10、抛物线 y28x，得 8x048，x 06，3PFx 028.12解 由 y24x ，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)分别过 A、B 作准线的垂线，垂足为 A、B.(1)由抛物线的定义可知，AFx 1 ，p2从而 x1413.代入 y24x，解得 y12 .3点 A 的坐标为(3,2 )或 (3， 2 )3 3(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1) 与抛物线方程联立Error!，消去 y，整理得 k2x2(2 k24)xk 20，因为直线与抛物线相交于 A、B 两点，则 k0，并设其两根为 x1，x 2，则 x1x 22 .4k2由抛物线的定义可知，ABx 1x 2p 4 4.4k2当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2) ，此时 AB4，所以，AB4，即线段 AB 的长的最小值为 4.
