1、第 2 章 圆锥曲线与方程(B)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1以 x 轴为对称轴，抛物线通径长为 8，顶点在坐标原点的抛物线的方程为_2双曲线 9x24y 236 的渐近线方程是_3若抛物线 y22px 上的一点 A(6，y)到焦点 F 的距离为 10，则 p_.4已知双曲线 1 (ab0)的离心率为 ，椭圆 1 的离心率为x2a2 y2b2 62 x2a2 y2b2_5设 F1、F 2 是双曲线 y 21 的两个焦点，点 P 在双曲线上，F 1PF290，则x24F1PF2 的面积是 _6过双曲线 M：x 2 1 的
2、左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，若 l 与双曲线 M 的两条y2h2渐近线分别相交于点 B、C，且 ABBC ，则双曲线 M 的离心率是_7双曲线 1 (a0， b0)的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F1 作倾斜角为 30的x2a2 y2b2直 线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为_8椭圆 1 的离心率为 ，则 k 的值为_ x29 y24 k 459双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m_.10曲线 y1 与直线 yk( x2) 4 有两个交点时，实数 k 的取值范围是4 x2_11在平面直角坐标系中，椭圆 1 (ab0)的
3、焦距为 2，以 O 为圆心，a 为半x2a2 y2b2径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e_.(a2c，0)12椭圆 1 (ab0)的焦点为 F1，F 2，两条准线与 x 轴的交点分别为 M，N，x2a2 y2b2若 MN2F 1F2，则该椭圆离心率的取值范围是_13若点 M 是抛物线 y24x 到直线 2xy 30 的距离最小的一点，那么点 M 的坐标是_14过双曲线 1 的焦点作弦 MN，若 MN48，则此弦的倾斜角为_x29 y218二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分) 已知双曲线与椭圆 1 共焦点，它们的离心率之和为 ，求双曲线x29 y225 1
4、45方程16.(14 分) 抛物线 y22px (p0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是 y2x，斜边长是 5 ，求此抛物线方程317(14 分) 设 P 是椭圆 y 21 (a1)短轴的一个端点， Q 为椭圆上的一个动点，求x2a2PQ 的最大值18.(16 分) 点 A、 B 分别是椭圆 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，x236 y220点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PA PF.求点 P 的坐标19(16 分) 已知抛物线 y22 x，直线 l 过点(0,2)与抛物线交于 M，N 两点，以线段 MN的长为直径的圆过坐标原点 O，求直线 l 的方程
5、20.(16 分) 已知抛物线 C：y2x 2，直线 ykx2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N.(1)证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；(2)是否存在实数 k 使 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由NA NB 第 2 章 圆锥曲线与方程(B)1y 28x解析 2p8，抛物线开口向左或向右2y x3238解析 6 10，p8.p24.22解析 2 ，a2 b2a2 ( 62) 64 32 .a2 b2a2 12椭圆 1 的离心率为 .x2a2 y2b2 2251解析 由题意，得 PF1PF 24，PF PF
6、 5420.21 22PF 1PF220164，SF 1PF2 PF1PF21.126. 10解析 直线 l 的方程是 yx1，两条渐近线方程为 yhx，由 ABBC，可得 B 是A、C 的中点， 1 ，解得 h0(舍去)或 h3，故 e . 2h 1 1h 1 1 h21 107. 8. 或 2131925914解析 y 2 1， 4，m .x2 1m 1m 1410.(512，34解析 y1 即为 x2( y1) 24(y1)表示上半圆直线过 (2,1)时 k ；直4 x234线与半圆相切时， 2，得 k .所以 k .|3 2k|k2 1 512 (512，3411.22解析 由 2c2
7、，所以 c1.因为两条切线互相垂直，所以 R a，所以 .a2c 2 2 ca 2212.22，1)解析 MN ，F 1F22c ，MN2F 1F2，2a2c则 2c，该椭圆离心率 e 的取值范围是 .a2c 22，1)13.(14，1)解析 由Error!得 y22y 2m0.因为 0 得 m ，所以 y1，x ，12 14所以 M .(14，1)1460或 120解析 设弦的方程为 yk (x 3 )，3代入 2x2y 218得(2k 2)x26 k2x27k 2180，3所以 x1x 2 ，x 1x2 .63k2k2 2 27k2 18k2 2MN 48，1 k2 x1 x22 4x1x
8、2k .故倾斜角为 60或 120.315解 由于椭圆焦点为 F(0，4)，离心率为 e ，45所以双曲线的焦点为 F(0，4)，离心率为 2，从而 c4，a2，b2 .3所以所求双曲线方程为 1.y24 x21216解 设AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为 O，AO 边的方程是y2x，则 OB 边方程为 y x.12由Error! ，可得 A 点坐标为 .(p2，p)由Error! ，可得 B 点坐标为(8p，4p) AB5 ， 5 .3p 4p2 (p2 8p)2 3p0，解得 p ，23913所求的抛物线方程为 y2 x.4391317解 依题意可设 P(0,1)，Q (x，y
9、)，则 PQ ，又因为 Q 在椭圆上，x2 y 12所以，x 2a 2(1y 2)，PQ2a 2(1y 2)y 22y 1(1a 2)y22y 1a 2(1a 2) 2 1a 2.(y 11 a2) 11 a2因为|y| 1，a1 ，若 a ，则 1，2 |11 a2|当 y 时，PQ 取最大值 .11 a2 a2a2 1a2 118解 由已知可得点 A( 6,0)，F(4,0)，设点 P 的坐标是(x，y) ，则 (x6，y )， (x4，y)，AP FP 由已知得Error!，则 2x29x180，x 或 x6.32由于 y0，只能 x ，于是 y ，32 523点 P 的坐标是 .(32
10、，523)19解 由题意知直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 ykx2，解方程组Error!，消去 x 得 ky22y 40，4 16k0 k (k0)，14设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 y1y 2 ，y 1y2 ，2k 4kError! x1x2 (y1y2)2 .14 4k2OMONk OMkON1，x 1x2y 1y20， 0，解得 k1.4k2 4k所以所求直线方程为 yx 2，即 xy20.20(1)证明 如图，设 A(x1,2x )，B(x 2，2x )，把 ykx2 代入 y2x 2 得 2x2kx20，21 2由韦达定理得 x1x 2 ，x
11、 1x21，k2x Nx M ，x1 x22 k4N 点的坐标为 .(k4，k28)设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为y m ，k28 (x k4)将 y2x 2 代入上式得 2x2mx 0，mk4 k28直线 l 与抛物线 C 相切，m 28 m 22mkk 2(mk4 k28)(mk) 20，mk .即 lAB.(2)假设存在实数 k，使 0，NA NB 则 NANB，又M 是 AB 的中点，MN AB.12由(1)知 yM (y1y 2)12 (kx12kx 22)12 k(x1x 2)412 2.12(k22 4) k24MNx 轴，MN|y My N| 2 .k24 k28 k2 168又 AB |x1x 2|1 k2 1 k2x1 x22 4x1x2 1 k2(k2)2 4 1 .12k2 1k2 16 ，k2 168 14k2 1k2 16解得 k2.使 0.NA NB
